Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями.

1. Эллипс и его каноническое уравнение.

1. Эллипс и его каноническое уравнение.

• Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a и большая, чем расстояние между фокусами, равное 2c.

F1

M

M

M

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a > 2c

M

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a > 2c

|F1 F2 | = 2c

M

M

x

M

x

M

Так как |F1 F2 | = 2c,

Так как |F1 F2 | = 2c,

значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты

Так как |F1 F2 | = 2c,

значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты

F1 (-c; 0), F2 (с; 0)

Так как |F1 F2 | = 2c,

значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты

F1 (-c; 0), F2 (с; 0)

Так как |F1 F2 | = 2c,

значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты

F1 (-c; 0), F2 (с; 0)

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)

тогда

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)

тогда

(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)

тогда

(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a

преобразуем это выражение

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)

тогда

(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a

преобразуем это выражение

возведем в квадрат обе части равенства

(x c)2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 (x c)2 y2

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)

Получим

(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a

преобразуем это выражение

возведем в квадрат обе части равенства

(x c)2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 (x c)2 y2

раскроем скобки

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2

приведем подобные

4xc 4a2 4a(x c)2 y2

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2

приведем подобные

4xc 4a2 4a(x c)2 y2

разделим на 4

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2

приведем подобные

4xc 4a2 4a(x c)2 y2

разделим на 4

xc a2 a(x c)2 y2

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2

a4 2a2 xc x2c2 a2 ((x c)2 y2 )

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2

x2 (a2 c2 ) a2 y2 a2 (a2 c2 );

x2 (a2 c2 ) a2 y2 a2 (a2 c2 );

в полученном выражении обозначим

x2 (a2 c2 ) a2 y2 a2 (a2 c2 );

x2 (a2 c2 ) a2 y2 a2 (a2 c2 );