Теорема 2:
Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК определяет одну из следующих девяти линий
Теорема 2:
Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК определяет одну из следующих девяти линий
1. |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
1 |
a2 |
|
|
b2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
1 |
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
0 |
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
1 |
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
0 |
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.x2 2 py
7.x2 a2 a 0
8.x2 a2 a 0
9.x2 0
Эллипс
Мнимый эллипс
Две мнимые пересекающиеся прямые
Гипербола
Две пересекающиеся прямые Парабола Две параллельные прямые
Две мнимые параллельные прямые Две совпадающиеся прямые
Теорема 2:
Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК определяет одну из следующих девяти линий
1.
2.
I3.
4.
5.
x2
a2
x2
a2 x2
a2
x2
a2 x2 a2
y2
b2
y2
b2
y2
b2
y2
b2
y2
b2
1
1
0
1
0
II |
6. x2 2 py |
|||
|
|
7. x2 a2 a 0 |
||
III |
|
8. x2 a2 a 0 |
||
|
||||
|
|
9. x |
2 |
0 |
|
|
|
||
Эллипс
Мнимый эллипс
Две мнимые пересекающиеся прямые
Гипербола
Две пересекающиеся прямые Парабола Две параллельные прямые
Две мнимые параллельные прямые Две совпадающиеся прямые
По предыдущей теореме, ур (1) может быть преобразовано
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
|
|
0 |
(I) |
|
a11x |
|
a22 y |
|
|
a11 |
0, a22 |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(II) |
a11x |
|
2a2 y 0, |
a11 |
0, a2 |
|
||||||
a x2 |
D 0, a |
0 |
|
|
|
|
(III) |
||||
11 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
По предыдущей теореме, ур (1) может быть преобразовано
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
|
|
0 |
(I) |
|
a11x |
|
a22 y |
|
|
a11 |
0, a22 |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(II) |
a11x |
|
2a2 y 0, |
a11 |
0, a2 |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(III) |
|
a11x |
|
D 0, a11 |
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим какой вид могут принять простейшие уравнения в зависимости от знаков коэффициентов
(I) a x2 |
a |
y2 D 0, |
a |
0, a |
0 |
11 |
22 |
|
11 |
22 |
|
1) a’11 и a’22 одного знака, D противоположный знак
(I) a x2 |
a |
y2 D 0, |
a |
0, a |
0 |
11 |
22 |
|
11 |
22 |
|
1) a’11 и a’22 одного знака, D противоположный знак
Деля (I) на –D и обозначая |
D |
a2 , |
|
D |
b2 |
|
a |
a |
|||||
|
|
|
|
|||
|
11 |
|
|
22 |
|
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
1) a’11 и a’22 одного знака, D противоположный знак
Деля (I) на –D и обозначая |
D |
a2 , |
|
D |
b2 |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a11 |
|
a22 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получим |
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
1) a’11 и a’22 одного знака, D противоположный знак
Деля (I) на –D и обозначая |
D |
a2 , |
|
D |
b2 |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a11 |
|
a22 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получим |
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
каноническое |
||||||
|
a2 |
b2 |
|||||||
|
|
|
уравнение эллипса |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
(I) a x2 |
a y2 |
D 0, |
a |
0, a |
0 |
11 |
22 |
|
11 |
22 |
|
2) a’11 , a’22 и D одного знака,
(I) a x2 |
a |
y2 D 0, |
a |
0, a |
0 |
11 |
22 |
|
11 |
22 |
|
2) a’11 , a’22 и D одного знака,
Получим |
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
1 |
мнимый эллипс |
||
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
3) a’11 , a’22 одного знака, D=0
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
3) a’11 , a’22 одного знака, D=0
Получим |
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
0 |
пара мнимых прямых |
||
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
3) a’11 , a’22 одного знака, D=0
Получим |
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
0 |
пара мнимых прямых |
||
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
y |
i |
x y |
i |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
a b |
|
a |
||||||
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
3) a’11 , a’22 одного знака, D=0
Получим |
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
0 |
пара мнимых прямых |
||
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
y 2 |
y |
i |
x y |
i |
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
b |
|
a b |
|
a |
|||||||||
y |
|
i |
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(I) a x2 |
a |
y2 D 0, |
a |
0, a |
0 |
11 |
22 |
|
11 |
22 |
|
4) a’11 и a’22 разных знаков, D 0
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
4) a’11 и a’22 разных знаков, D 0
Получим |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
1 |
|
|
D |
|
|
D |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a11 |
|
a22 |
|
|||||
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
4) a’11 и a’22 разных знаков, D 0
Получим |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
1 |
|
|
D |
|
|
D |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a11 |
|
a22 |
|
|||||
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
4) a’11 и a’22 разных знаков, D 0
Получим |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
1 |
||
|
D |
|
D |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a11 |
|
|
a22 |
|
||||||
|
x2 |
|
|
y2 |
|
1 |
|
|
|||
|
a2 |
|
b2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
4) a’11 и a’22 разных знаков, D 0
Получим |
x2 |
|
|
|
y2 |
|
1 |
|
|
|
D |
|
D |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a11 |
|
a22 |
|
||||
x |
2 |
|
2 |
|
каноническое уравнение |
|
|
y |
1 |
гиперболы |
|
a |
2 |
2 |
|||
|
|
b |
|
||
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
5) a’11 и a’22 разных знаков, D=0
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
5) a’11 и a’22 разных знаков, D=0
Получим x2 |
|
y2 |
две пересекающие |
||
|
|
|
|
0 |
|
|
a2 |
b2 |
прямые |
||
(I) |
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
a11x |
|
a22 y |
|
a11 |
0, a22 |
5) a’11 и a’22 разных знаков, D=0
Получим x2 |
|
y2 |
две пересекающие |
||
|
|
|
|
0 |
|
|
a2 |
b2 |
прямые |
||
x |
|
y |
0, |
x |
|
y |
0 |
|
a |
b |
a |
b |
|||||
|
|
|
|
(II) a x2 |
2a y 0, |
a |
0, a 0 |
11 |
2 |
11 |
2 |
(II) |
|
2 |
|
|
|
0 |
a11x |
|
2a2 y 0, |
a11 |
0, a2 |
Замена |
|
a |
|
|
p |
2 |
0 |
|
a |
||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
(II) |
|
2 |
|
|
|
0 |
a11x |
|
2a2 y 0, |
a11 |
0, a2 |
Замена |
|
a |
|
|
p |
2 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
p>0 , иначе изменим положительное направление оси Oy на противоположное
(II) |
|
2 |
|
|
|
0 |
a11x |
|
2a2 y 0, |
a11 |
0, a2 |
Замена |
|
a |
|
|
p |
2 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
p>0 , иначе изменим положительное направление оси Oy на противоположное
x2 2 px
(III) a x2 |
D 0, |
a |
0 |
11 |
|
11 |
|
(III) |
|
2 |
D 0, |
|
0 |
a11x |
|
a11 |
x2 aD ,
11
(III) a x2 |
D 0, |
a |
0 |
11 |
|
11 |
|
x2 |
D |
, или |
x2 a2 , |
x2 a2 , |
x2 0 |
a |
|||||
|
11 |
|
|
|
|
(III) |
|
2 |
D 0, |
|
0 |
a11x |
|
a11 |
x2 |
D |
, или x2 a2 , |
x2 a2 , |
x2 0 |
|
||||
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(III) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
a11x |
|
D 0, a11 |
|
|
|||||||||
x2 |
D |
, |
|
|
|
или |
x2 a2 , |
x2 a2 , |
x2 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
0, |
|
|
D |
0, |
D 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a |
|
a |
|
|
|
|||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
||