- •Линии 2-го порядка, заданные общим уравнением
- ••Переход от одной АСК к другой
- •Переход от одной АСК к другой
- •Переход от одной АСК к другой
- •Переход от одной АСК к другой
- •Теорема: о переходе от одного базиса к другому
- •Теорема: о переходе от одного базиса к другому
- •Теорема:
- •Теорема: о переходе от одного базиса к другому
- •Теорема: о переходе от одного базиса к другому
- •Теорема: о переходе от одного базиса к другому
- •Теорема: о переходе от одного базиса к другому
- •Теорема: о переходе от одного базиса к другому
- •Переход от одной ДПСК к другой ДПСК с той же ориентацией и с
- •Формулы перехода
- •Формулы перехода
- •Формулы перехода
- •Теорема: о переходе от одной АСК к другой
- •Теорема: о переходе от одной АСК к другой
- •Теорема: о переходе от одной АСК к другой
- •Теорема: о переходе от одной АСК к другой
- •Теорема: о переходе от одной АСК к другой
- •Теорема: о переходе от одной АСК к другой
- •Линии 2-го порядка, заданные общим уравнением
- •Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
- •Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
- •Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
- •Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
- •Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс,
- •Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс,
- •Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс,
- •Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс,
- •Теорема: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс,
- •По условию
- •По условию
- •По условию
- •По условию
- •По условию a 0
- •Теорема 2:
- •Теорема 2:
- •Теорема 2:
- •По предыдущей теореме, ур (1) может быть преобразовано
- •По предыдущей теореме, ур (1) может быть преобразовано
- •Преобразование многочлена 2-й степени при замене АСК
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей
- •Приведение к каноническому виду квадратичной части уравнения второго порядка
- •Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.
- •Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.
- •Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.
- •Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.
- •Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.
- •Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.
- •Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.
- •Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.
- •Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.
- •Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны, то соответствующие собственные векторы ортогональны и
- •Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны, то соответствующие собственные векторы ортогональны и
- •Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны, то соответствующие собственные векторы ортогональны и
- •Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны, то соответствующие собственные векторы ортогональны и
- •Преобразование коэффициентов при параллельном переносе
- •Преобразование коэффициентов при параллельном переносе
- •Преобразование коэффициентов при параллельном переносе
- •Преобразование коэффициентов при параллельном переносе
- •Преобразование коэффициентов при параллельном переносе
Линии 2-го порядка, заданные общим уравнением
Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
a x2 |
2a xy a |
22 |
y2 2a x 2a |
2 |
y a |
0 |
0 |
1 |
11 |
12 |
1 |
|
|
|
Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
a |
x2 |
2a xy a |
22 |
y2 2a x 2a |
2 |
y a |
0 |
0 |
1 |
||||||||||
11 |
|
|
12 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
, a |
|
, a |
22 |
, a , a |
, a |
0 |
R, |
a , a , a |
22 |
0 |
одновременно |
|||||||
11 12 |
|
1 |
2 |
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
||||||
Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
a |
x2 |
2a xy a |
22 |
y2 2a x 2a |
2 |
y a |
0 |
0 |
1 |
||||||||||
11 |
|
|
12 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
, a |
|
, a |
22 |
, a , a |
, a |
0 |
R, |
a , a , a |
22 |
0 |
одновременно |
|||||||
11 12 |
|
1 |
2 |
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
||||||
ДПСК
Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые
Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые
Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов
Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые
Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов
a |
X 2 a Y 2 |
D 0, |
a |
0, a |
0 |
11 |
22 |
|
11 |
22 |
|
Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые
Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов
|
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
0 |
|
a11 X |
|
a22Y |
|
a11 |
0, a22 |
||||
a |
X 2 |
2a Y 0, |
a |
0, a 0 |
|
||||
11 |
|
|
2 |
|
|
11 |
|
2 |
|
Теорема: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые
Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов
|
2 |
|
2 |
D 0, |
|
|
|
0 |
a11 X |
|
a22Y |
|
a11 |
0, a22 |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
a11 X |
|
2a2Y |
0, a11 |
0, a2 |
|
|||
a X 2 |
D 0, a 0 |
|
|
|
||||
11 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
y2 2a x 2a |
|
|
1 |
a x2 |
2a xy a |
22 |
2 |
y a 0 |
||
11 |
12 |
1 |
0 |
|
|
|
|
y2 2a x 2a |
|
|
1 |
a x2 |
2a xy a |
22 |
2 |
y a 0 |
||
11 |
12 |
1 |
0 |
|
||
а12 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 2a x 2a |
|
|
1 |
a x2 |
2a xy a |
22 |
2 |
y a 0 |
||
11 |
12 |
1 |
0 |
|
а12 0
Докажем, что можно повернуть оси xOy на такой угол , что в преобразованном уравнении коэффициент при xy обратится в 0
|
|
|
y2 2a x 2a |
|
|
1 |
a x2 |
2a xy a |
22 |
2 |
y a 0 |
||
11 |
12 |
1 |
0 |
|
а12 0
Докажем, что можно повернуть оси xOy на такой угол , что в преобразованном уравнении коэффициент при xy обратится в 0
M(x;y) в Oxy
M(x;y) в Oxy
M(x’;y’) в Ox’y’
M(x;y) в Oxy |
x x cos y sin |
||
M(x’;y’) в Ox’y’ |
|
|
|
y x sin y cos |
|||
|
|||
M(x;y) в Oxy |
x x cos y sin |
|||
M(x’;y’) в Ox’y’ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
||||
|
y x |
sin y cos |
||
Подставим в (1)
M(x;y) в Oxy |
x x cos y sin |
|
M(x’;y’) в Ox’y’ |
|
|
y x sin y cos |
||
|
|
|
Подставим в (1)
a11 x cos y sin 2 2a12 x cos y sin x sin y cos
a22 x sin y cos 2 2a1 x cos y sin 2a2 x sin y cos a0 0
M(x;y) в Oxy |
x x cos y sin |
||
M(x’;y’) в Ox’y’ |
|
|
|
y x sin y cos |
|||
|
|||
Подставим в (1)
a11 x cos y sin 2 2a12 x cos y sin x sin y cos
a22 x sin y cos 2 2a1 x cos y sin 2a2 x sin y cos a0 0
a x 2 |
2a x y a |
y 2 2a x 2a y a |
0 |
0 |
||
11 |
12 |
22 |
1 |
2 |
|
|
M(x;y) в Oxy |
|
|
|
|
|
x x cos y sin |
|||||||
M(x’;y’) в Ox’y’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y x sin y cos |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в (1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a11 x cos y sin 2 |
2a12 x cos y sin x sin y cos |
||||||||||||
a22 x sin y cos 2 |
2a1 x cos y sin 2a2 x sin y cos a0 0 |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a0 0 |
||
a11 x |
|
2a12 x y |
|
a22 y |
|
2a1x |
2a2 y |
|
|||||
где |
a |
a cos2 |
2a |
cos sin a |
22 |
sin 2 |
|||||||
|
11 |
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
||||
M(x;y) в Oxy |
x x cos y sin |
|
M(x’;y’) в Ox’y’ |
|
|
y x sin y cos |
||
|
|
|
Подставим в (1)
a11 x cos y sin 2 2a12 x cos y sin x sin y cos
a22 x sin y cos 2 |
2a1 x cos y sin 2a2 x sin y cos a0 0 |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a0 |
0 |
|
|
||||
a11 x |
|
2a12 x y |
|
a22 y |
|
2a1x |
2a2 y |
|
|
|||||||||
где |
a11 a11 cos |
2 |
2a12 cos sin a22 sin |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a cos sin a |
cos2 |
sin2 |
a |
22 |
cos sin |
|||||||||||
|
12 |
11 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||
M(x;y) в Oxy |
x x cos y sin |
||
M(x’;y’) в Ox’y’ |
|
|
|
y x sin y cos |
|||
|
|||
Подставим в (1)
a11 x cos y sin 2 2a12 x cos y sin x sin y cos
a22 x sin y cos 2 2a1 x cos y sin 2a2 x sin y cos a0 0
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
a0 |
|
0 |
||||||
a11 x |
|
2a12 x y |
|
a22 y |
|
2a1x |
2a2 y |
|
|||||||||
где |
a11 a11 cos |
2 |
2a12 cos sin a22 sin |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
sin a12 cos |
|
|
|
|
|
|
a22 cos sin |
|||||
|
|
a11 cos |
2 |
sin |
2 |
|
|||||||||||
|
a12 |
|
|
||||||||||||||
|
a22 a11 sin |
2 |
2a12 cos sin a22 cos |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(x;y) в Oxy |
x x cos y sin |
|
M(x’;y’) в Ox’y’ |
|
|
y x sin y cos |
||
|
|
|
Подставим в (1)
a11 x cos y sin 2 2a12 x cos y sin x sin y cos
a22 x sin y cos 2 |
2a1 x cos y sin 2a2 x sin y cos a0 0 |
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a0 |
|
0 |
||||||
a11 x |
|
2a12 x y |
|
a22 y |
|
2a1x |
2a2 y |
|
|||||||||||
где |
a11 a11 cos |
2 |
2a12 cos sin a22 sin |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
a11 cos sin a12 cos |
|
|
|
|
|
|
a22 cos sin |
||||||||||
|
|
2 |
sin |
2 |
|
||||||||||||||
|
a12 |
|
|
||||||||||||||||
|
a22 a11 sin |
2 |
|
2a12 cos sin a22 cos |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 a1 cos a2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
a sin a |
2 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|