ТЕМА:
Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями.
4. Гипербола и её
каноническое уравнение
4. Гипербола и её
каноническое уравнение
Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное положительное число 2a меньшее, чем расстояние 2c между фокусами.
M
M
F1
M
F1 |
F2 |
M
F1 |
F2 |
По определению |F1М - F2 М | = 2a < 2c
M
F1 |
F2 |
По определению |F1М - F2 М | = 2a < 2c
|F1 F2 | = 2c
M
F1 |
F2 |
M
F1 |
F2 |
M
F1 |
F2 |
M
F1 |
F2 |
x |
M
F1 |
F2 |
x |
M
F1 |
О |
F2 |
x |
y 
M
F1 |
О |
F2 |
x |
Так как |F1 F2 | = 2c,
Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты
Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2 (с; 0)
Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2 (с; 0)
произвольная точка |
M(x,y), |
тогда |
|
Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты
|
|
|
|
F1 (-c; 0), F2 (с; 0) |
||||||
произвольная точка |
M(x,y), |
|||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x c)2 |
y2 ; |
||||||
|
F Ì |
|
|
|
||||||
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F Ì |
|
|
|
(x c)2 |
y2 |
||||
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению |F1М - F2 М | = 2a (1) Получим
По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим
(x c)2 y2 
(x c)2 y2 2a
По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим
(x c)2 y2 
(x c)2 y2 2a
избавимся от модуля и преобразуем
По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим
(x c)2 y2 
(x c)2 y2 2a
избавимся от модуля и преобразуем
(x c)2 y2 2a 
(x c)2 y2
По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим
(x c)2 y2 
(x c)2 y2 2a
избавимся от модуля и преобразуем
(x c)2 y2 2a 
(x c)2 y2
возведём обе части в квадрат
По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим
(x c)2 y2 
(x c)2 y2 2a
избавимся от модуля и преобразуем
(x c)2 y2 2a 
(x c)2 y2
возведём обе части в квадрат
(x c)2 y2 4a2 4a
(x c)2 y2 (x c)2 y2
По определению |F1М - F2М | = 2a (1)
Получим
(x c)2 y2 
(x c)2 y2 2a
избавимся от модуля и преобразуем
(x c)2 y2 2a 
(x c)2 y2
возведём обе части в квадрат
(x c)2 y2 4a2 4a
(x c)2 y2 (x c)2 y2 x2 2xc c2 y2 4a2 4a
(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2
4xc 4a2 4a
(x c)2 y2
4xc 4a2 4a
(x c)2 y2
Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат
4xc 4a2 4a
(x c)2 y2
Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат
x2c2 2a2 xc a4 a2 ((x c)2 y2 )
4xc 4a2 4a
(x c)2 y2
Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат
x2c2 2a2 xc a4 a2 ((x c)2 y2 )
x2c2 2a2xc a4 a2x2 2a2xc a2c2 a2 y2
4xc 4a2 4a
(x c)2 y2
Разделим на 4 и возведём обе части в квадрат
x2c2 2a2 xc a4 a2 ((x c)2 y2 )
x2c2 2a2xc a4 a2x2 2a2xc a2c2 a2 y2
x2 (c2 a2 ) a2 y2 a2 (c2 a2 )
x2 (c2 a2 ) a2 y2 a2 (c2 a2 )
x2 (c2 a2 ) a2 y2 a2 (c2 a2 )
Так как по определению a < c, обозначим
x2 (c2 a2 ) a2 y2 a2 (c2 a2 )
Так как по определению a < c, обозначим
b2 ñ2 a2
x2 (c2 a2 ) a2 y2 a2 (c2 a2 )
Так как по определению a < c, обозначим
b2 ñ2 a2
получим выражение |
b2 x2 a2 y2 a2b2 |
|
x2 (c2 a2 ) a2 y2 a2 (c2 a2 )
Так как по определению a < c, обозначим
|
|
b2 ñ2 a2 |
получим выражение |
b2 x2 a2 y2 a2b2 |
|
|
|
|
умножим его на |
1 |
получим |
|
||
a2b2 |
||
x2 (c2 a2 ) a2 y2 a2 (c2 a2 )
Так как по определению a < c, обозначим
|
|
|
|
|
b2 ñ2 a2 |
|
получим выражение |
|
b2 x2 a2 y2 a2b2 |
||||
|
|
|
||||
умножим его на |
1 |
получим |
||||
|
||||||
a2b2 |
||||||
|
|
|
x2 |
|
y2 |
1 |
|
|
|
a2 |
b2 |
||
|
|
|
|
|
||