Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
50
Добавлен:
23.03.2015
Размер:
1.17 Mб
Скачать

Мы доказали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению

x2

 

y2

 

(2)

a2

 

b2 1

 

Докажем обратное: если координаты некоторой точки М(x,y) удовлетворяют уравнению (2), то для этой точки выполнятся равенство |F1М - F2 М | = 2a (1)

Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2),

тогда выразим :

 

x2

 

y2

b2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

a

 

 

подставим

Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2),

 

 

тогда выразим :

 

y2

b2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подставим

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

(x c)2

y2

(x c)2 b2

 

 

MF

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

x2 2xc c2 b2x2

b2

x2 (a2 b2 )

2xc c2 b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

Так как b2 ñ2 a2 ,

Так как b2 ñ2 a2 , значит

a2 b2 c2

c2 b2 a2

Так как b2 ñ2 a2 , значит

a2 b2 c2

 

c2 b2 a2

После замены получим

 

Так как

b2 ñ2 a2 , значит

 

a2 b2 c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2 b2

a2

 

 

После замены получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

2c2

2xc a

2

 

xc

 

xc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

a2

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

b2 ñ2 a2 , значит

 

a2 b2 c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2 b2

a2

 

 

После замены получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

2c2

2xc a

2

 

xc

 

xc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

a2

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аналогично

MF2

Так как

b2 ñ2 a2 , значит

 

a2 b2 c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2 b2

a2

 

 

После замены получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

2c2

2xc a

2

 

xc

 

xc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

a2

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аналогично

 

 

ñx

 

 

MF

 

 

a

 

 

 

2

 

 

a