
- •ТЕМА:
- •4. Гипербола и её
- •4. Гипербола и её
- •Для вывода канонического уравнения гиперболы
- •Для вывода канонического уравнения гиперболы зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом,
- •Для вывода канонического уравнения гиперболы зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом,
- •Для вывода канонического уравнения гиперболы зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом,
- •Для вывода канонического уравнения эллипса зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом,
- •Для вывода канонического уравнения эллипса зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом,
- •Для вывода канонического уравнения эллипса зададим на плоскости прямоугольную систему координат таким образом,
- •Мы доказали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению
- •Докажем обратное: если координаты некоторой точки М(x,y) удовлетворяют уравнению (2), то для этой
- •Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2),
- •Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2),
- •Так как b2 ñ2 a2 , значит
- •Так как b2 ñ2 a2 , значит
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, уравнение (2) есть уравнение гиперболы, т.к. доказано, что координаты любой точки
- •5. Исследование формы гиперболы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы гиперболы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы гиперболы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы
- •В силу того, что гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно начала координат, расстояние
- •Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно оси Оy, то она имеет
- •Гипербола, у которой полуоси равны, называется равносторонней
- •6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
- •6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
- •6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
- •6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
- •Перепишем формулы для фокальных радиусов
- •Перепишем формулы для фокальных радиусов
- •Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от центра гиперболы на расстояние
- •Для гиперболы, заданной каноническим
- •Для гиперболы, заданной каноническим
- •Теорема: Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы
- •Самостоятельно изучить вопросы по данной теме:
Мы доказали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению
x2 |
|
y2 |
|
(2) |
|
a2 |
|
b2 1 |
|||
|
Докажем обратное: если координаты некоторой точки М(x,y) удовлетворяют уравнению (2), то для этой точки выполнятся равенство |F1М - F2 М | = 2a (1)
Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2),
тогда выразим : |
|
x2 |
|
||
y2 |
b2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
подставим

Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2),
|
|
тогда выразим : |
|
y2 |
b2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
подставим |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
(x c)2 |
y2 |
(x c)2 b2 |
||||||||||||||||||||
|
|
MF |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||
x2 2xc c2 b2x2 |
b2 |
x2 (a2 b2 ) |
2xc c2 b2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
Так как b2 ñ2 a2 ,
Так как b2 ñ2 a2 , значит |
a2 b2 c2 |
c2 b2 a2
Так как b2 ñ2 a2 , значит |
a2 b2 c2 |
|
c2 b2 a2 |
После замены получим |
|

Так как |
b2 ñ2 a2 , значит |
|
a2 b2 c2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 b2 |
a2 |
|
|
||
После замены получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
2c2 |
2xc a |
2 |
|
xc |
|
xc |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
||
a2 |
|
a |
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Так как |
b2 ñ2 a2 , значит |
|
a2 b2 c2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 b2 |
a2 |
|
|
||
После замены получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
2c2 |
2xc a |
2 |
|
xc |
|
xc |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
||
a2 |
|
a |
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналогично
MF2

Так как |
b2 ñ2 a2 , значит |
|
a2 b2 c2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 b2 |
a2 |
|
|
||
После замены получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
2c2 |
2xc a |
2 |
|
xc |
|
xc |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
||
a2 |
|
a |
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналогично |
|
|
ñx |
|
|
|
MF |
|
|
a |
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|