Таким образом, получаем
r1 |
|
cx |
|
|
|
r1 |
cx |
|
|
|
|
||
|
a |
a |
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
если |
x a |
|
|
|
если |
x a |
|||
|
|
|
cx |
|
|
cx |
|
|
|||||
r2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
r2 |
|
a |
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, получаем
r1 |
|
cx |
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
cx |
|
|
|
|
||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
если |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
если |
x a |
|||
|
|
|
cx |
|
|
|
|
|
|
cx |
|
|
|||||
r2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
r2 |
|
a |
a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим в равенство |
|
r1 r2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, получаем
r1 |
|
cx |
|
|
|
|
|
|
r1 |
cx |
|
|
|
|
||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
если |
x a |
|
|
|
|
|
|
если |
x a |
|||
|
|
|
cx |
|
|
|
|
|
cx |
|
|
|||||
r2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
r2 |
|
a |
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим в равенство |
|
r1 r2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(|F1М - F2 М | = 2a) |
||||||||
Таким образом, получаем
r1 |
|
cx |
|
|
|
|
|
|
r1 |
cx |
|
|
|
|
||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
если |
x a |
|
|
|
|
|
|
если |
x a |
|||
|
|
|
cx |
|
|
|
|
|
cx |
|
|
|||||
r2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
r2 |
|
a |
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим в равенство |
|
r1 r2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(|F1М - F2 М | = 2a) |
||||||||
если x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, получаем
r1 |
|
cx |
|
|
|
|
|
|
r1 |
cx |
|
|
|
|
||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
если |
x a |
|
|
|
|
|
|
если |
x a |
|||
|
|
|
cx |
|
|
|
|
|
cx |
|
|
|||||
r2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
r2 |
|
a |
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим в равенство |
|
r1 r2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(|F1М - F2 М | = 2a) |
||||||||
если x a выполняется
r1 r2 2a
Таким образом, получаем
r1 |
|
cx |
|
|
|
|
|
|
r1 |
cx |
|
|
|
|
||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
если |
x a |
|
|
|
|
|
|
если |
x a |
|||
|
|
|
cx |
|
|
|
|
|
cx |
|
|
|||||
r2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
r2 |
|
a |
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим в равенство |
|
r1 r2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(|F1М - F2 М | = 2a) |
||||||||
если x a выполняется
r1 r2 2a
если x a , то
Таким образом, получаем
r1 |
|
cx |
|
|
|
|
|
|
r1 |
cx |
|
|
|
|
||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
если |
x a |
|
|
|
|
|
|
если |
x a |
|||
|
|
|
cx |
|
|
|
|
|
cx |
|
|
|||||
r2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
r2 |
|
a |
a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим в равенство |
|
r1 r2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(|F1М - F2 М | = 2a) |
||||||||
если x a выполняется
r1 r2 2a
если |
x a , то |
|
r |
r |
|
2a |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Таким образом, уравнение (2) есть уравнение гиперболы, т.к. доказано, что координаты любой точки M (x; y) гиперболы, т.е. любой точки, для которой выполняется выражение
(1) удовлетворяет уравнению (2) и обратно, если два числа x и y удовлетворяет уравнению (2), то точка M (x; y) удовлетворяет соотношению (1), т.е. лежит на гиперболе.
x2 |
|
y2 |
1 |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
каноническое уравнение гиперболы
x2 |
|
y2 |
1 |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
каноническое уравнение гиперболы