
- •Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями.
- •Содержание
- •Взять в библиотеке методичку:
- •1. Эллипс и его каноническое уравнение
- •Таким образом, мы доказали, что координаты любой точки M (x; y)
- •Таким образом, мы доказали, что координаты любой точки M (x; y)
- •Если числа x и y удовлетворяют уравнению (2), то точка M (x; y)
- •Если числа x и y удовлетворяют уравнению (2), то точка M (x; y)
- •Докажем это утверждение
- •Докажем это утверждение
- •Докажем это утверждение
- •Докажем это утверждение
- •Докажем это утверждение
- •Докажем это утверждение
- •из уравнения
- •из уравнен я
- •из уравнения
- •Таким образом, уравнение (2) есть уравнение эллипса, т.к. доказано, что координаты любой точки
- •2. Исследование формы эллипса.
- •2. Исследование формы эллипса.
- •2. Исследование формы эллипса.
- •из уравнения
- •из уравнения
- •Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса ( a;0 ) и
- •Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса ( a;0 ) и
- •Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса ( a;0 ) è
- •Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса ( a;0 ) è
- •Отношение половины расстояния между фокусами эллипса (фокальное расстояние) к большей полуоси эллипса называется
- •Отношение половины расстояния между фокусами эллипса (фокальное расстояние) к большей полуоси эллипса называется
- •Отношение половины расстояния между фокусами эллипса (фокальное расстояние) к большей полуоси эллипса называется
- •3.Директрисы эллипса.
- •3.Директрисы эллипса.
- •Теорема:
- •Самостоятельно изучить вопросы по данной теме:
- •4. Гипербола и её
- •Мы доказали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению
- •Докажем обратное: если координаты некоторой точки М(x,y) удовлетворяют уравнению (2), то для этой
- •Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2),
- •Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2),
- •Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2),
- •Так как b2 с2 a2 , значит
- •Так как b2 с2 a2 , значит
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Отрезки F1M и F2M назовем фокальными радиусами
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, получаем
- •Таким образом, уравнение (2) есть уравнение гиперболы, т.к. доказано, что координаты любой точки
- •5. Исследование формы гиперболы
- •5. Исследование формы
- •5. Исследование формы гиперболы
- •В силу того, что гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно начала координат, расстояние
- •Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно оси Оy, то она имеет
- •Гипербола, у которой полуоси равны, называется равносторонней
- •6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
- •6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
- •6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
- •6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
- •Перепишем формулы для фокальных радиусов
- •Перепишем формулы для фокальных радиусов
- •Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от центра гиперболы на расстояние
- •Для гиперболы, заданной каноническим
- •Для гиперболы, заданной каноническим
- •Теорема: Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы
- •Самостоятельно изучить вопросы по данной теме:
- •7. Парабола и её
- •7. Парабола и её
- •7. Парабола и её
- •Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).
- •Расстояние FD обозначим р (параметр параболы).
- •Расстояние FD обозначим р (параметр параболы). тогда в выбранной системе координат фокус F
- •Расстояние FD обозначим р (параметр параболы). тогда в выбранной системе координат фокус F
- •Расстояние FD обозначим р (параметр параболы). тогда в выбранной системе координат фокус F
- •Каноническое уравнение параболы
- •Каноническое уравнение параболы
- •8. Исследование формы параболы
- •8. Исследование формы параболы
- •8. Исследование формы параболы
- •8. Исследование формы параболы
- •8. Исследование формы параболы
- •8. Исследование формы параболы
- •8. Исследование формы параболы
- •8. Исследование формы параболы
- •Уравнение y2 2 px
- •Уравнение y2 2 px
- •Уравнение y2 2 px
- •Уравнение y2 2 px
- •Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что каждое из уравнений
- •Самостоятельно изучить вопросы по данной теме:
- •9.Уравнение эллипса, параболы и гиперболы в полярных координатах.
- •Полярная система координат на плоскости.
- •r OM полярный радиус М
- •r OM полярный радиус М
- •r OM полярный радиус Мамплитуда
- •Введём ДПСК
- •Формулы (1) позволяют вычислить декартовые прямоугольные координаты х, у точки М по её
- •Формулы (1) позволяют вычислить декартовые прямоугольные координаты х, у точки М по её
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
- •Введем полярную систему координат, совмещая полюс с фокусом F (в случае гиперболы берем
- •Пусть D-основание перпендикуляра, опущенного из F на директрису, соответствующего этому фокусу. Полярную ось
- •Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной
- •Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной
- •Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной
- •Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной
- •Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной
- •Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной
- •Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной
- •Половина длины фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной
Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями.
Содержание
•1. Эллипс и его каноническое уравнение.
•4. Гипербола и её каноническое уравнен ие
•7. Парабола и её каноническое уравнение
•Полярное уравнение эллипса, гиперболы
ипараболы
Взять в библиотеке методичку:
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА:
АДАПТИВНО-МОДУЛЬНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ
Методические рекомендации для самостоятельной работы студентов
1. Эллипс и его каноническое уравнение
• Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a , большая, чем расстояние между фокусами, равное 2c.

F1

F1 |
F2 |

M
F1 |
F2 |

M
F1 |
F2 |

M
F1 |
F2 |
По определению |F1М | + |F2 М | = 2a > 2c

M
F1 |
F2 |
По определению |F1М | + |F2 М | = 2a > 2c
|F1 F2 | = 2c

M
F1 |
F2 |

M
x
F1 |
F2 |

M
x
F1 |
F2 |

M
О |
x |
F1 |
F2 |

y |
|
|
M |
О |
x |
F1 |
F2 |
Так как |F1 F2 | = 2c,
Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты
Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2 (с; 0)
Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2 (с; 0)
произвольная точка |
M(x,y), |
тогда |
|

Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2 (с; 0)
произвольная точка |
M(x,y), |
|||||||||
тогда |
|
|
|
|
||||||
|
F М |
|
|
|
(x c)2 |
y2 ; |
||||
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F М |
|
(x c)2 |
y2 |
||||||
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)
тогда

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)
тогда
(x c)2 y2
(x c)2 y2 2a

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)
тогда
(x c)2 y2
(x c)2 y2 2a
преобразуем это выражение
(x c)2 y2 2a |
(x c)2 y2 |

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)
тогда
(x c)2 y2
(x c)2 y2 2a
преобразуем это выражение
(x c)2 y2 2a |
(x c)2 y2 |
возведем в квадрат обе части равенства
(x c)2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 (x c)2 y2

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)
Получим
(x c)2 y2
(x c)2 y2 2a
преобразуем это выражение
(x c)2 y2 2a |
(x c)2 y2 |
возведем в квадрат обе части равенства
(x c)2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 (x c)2 y2
раскроем скобки

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2
приведем подобные
4xc 4a2 4a(x c)2 y2

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2
приведем подобные
4xc 4a2 4a(x c)2 y2
разделим на 4

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2
приведем подобные
4xc 4a2 4a(x c)2 y2
разделим на 4
xc a2 a(x c)2 y2

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2
приведем |
подобные |
||||
|
|
|
|
|
|
4xc 4a2 4a (x c)2 y2 |
|||||
разделим |
на |
4 |
|||
|
|
|
|||
xc a2 a (x c)2 y2 |
|||||
возведем |
|
в |
квадрат обе части равенства |
a4 2a2 xc x2c2 a2 ((x c)2 y2 )

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2
приведем |
подобные |
|||||
|
|
|
|
|
||
4xc 4a2 4a (x c)2 y2 |
||||||
разделим |
на |
4 |
|
|
||
|
|
|
||||
xc a2 a (x c)2 y2 |
||||||
возведем |
|
в |
квадрат обе части равенства |
|||
a4 2a2 xc x2c2 |
a2 ((x c)2 y2 ) |
|||||
раскроем скобки |
||||||
a4 2a2 xc x2c2 |
a2 x2 2a2 xc a2c2 a2 y2 |

x2 2xc c2 y2 4a2 4a(x c)2 y2 x2 2xc c2 y2
приведем |
подобные |
|||||
|
|
|
|
|
||
4xc 4a2 4a (x c)2 y2 |
||||||
разделим |
на |
4 |
|
|
||
|
|
|
||||
xc a2 a (x c)2 y2 |
||||||
возведем |
|
в |
квадрат обе части равенства |
|||
a4 2a2 xc x2c2 |
a2 ((x c)2 y2 ) |
|||||
раскроем скобки |
||||||
a4 2a2 xc x2c2 |
a2 x2 2a2 xc a2c2 a2 y2 |
|||||
приведём |
подобные и сгруппируем |
x2 (a2 c2 ) a2 y2 a2 (a2 c2 );
x2 (a2 c2 ) a2 y2 a2 (a2 c2 );
в полученном выражении обозначим
a2 c2 b2 |
( a c ) |
x2b2 a2 y2 |
a2b2 |
x2 (a2 c2 ) a2 y2 a2 (a2 c2 );
в полученном |
выражении обозначим |
||||
a2 c2 b2 |
( a c ) |
|
|
||
x2b2 a2 y2 |
a2b2 |
|
|
||
умножим |
обе |
части на |
1 |
|
|
|
|
||||
a2b2 |
|||||
|
|
|
x2 (a2 c2 ) a2 y2 a2 (a2 c2 );
в полученном |
выражении обозначим |
||||||||
a2 c2 b2 |
( a c ) |
|
|
||||||
|
x2b2 a2 y2 |
a2b2 |
|
|
|||||
|
умножим |
обе |
части на |
1 |
|
||||
|
|
|
|||||||
a2b2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 |
|
y2 |
1 |
2 |
|
|
||
|
a2 |
|
|
|
|||||
|
|
b2 |
|
|
|
|