§ 10.3. Деление

260 Гл. 10. Целочисленная арифметика многократной точности

Теперь рассмотрим простой алгоритм деления многоразрядных целых чисел из [180, гл. 14]. Пусть b — основание системы счисления, u = un . . . u1u0, v = vt . . . v1v0 — натуральные числа, n t 1, vt = 0 (случай t = 0, т. е. деление на одноразрядное число, рассмотрен выше в алгоритме DO).

Алгоритм деления.

На входе u, v; на выходе частное q = qn−t . . . q0 и остаток r = rt . . . r0, u = qv + r, 0 r < v.

qn−t := qn−t + 1, u := u − vbn−t

(здесь определяется старшая цифра частного).

3 шаг. Для i = n, n − 1, . . . , t + 1 выполнять пункты 1—4:

1) если ui vt, то присвоить qi−t−1 := b − 1, иначе присвоить

4 шаг. r := u. Выдать q и r.

Конец алгоритма.

Покажем, что алгоритм работает верно. После 1 шага q = 0. После второго шага найдена старшая цифра qn−t частного, и текущее значение u меньше, чем vbn−t. Возьмем первое значение i = n; нам нужно определить цифру частного qn−t−1. Если un vt (неравенство 1 пункта 3 шага), то наибольшее возможное значение qn−t−1 равно b − 1

(например, при un = b − 1, vt = 1). Если же un < vt, то наибольшее воз-

можное значение qn−t−1 равно unb + un−1 . Действительно, vt

unbn + un−1bn−1 + . . . + u0 < unb + un−1 + 1 bn−t−1v, vt

и поскольку обе части строгого неравенства делятся нацело на bn−1,

3-го шага. Здесь величина qi−t−1 не меньше истинного значения цифры частного с номером i − t − 1, и не больше, чем b − 1, так как при

Во втором пункте 3 шага мы находим более точное значение qi−t−1.

Из первого неравенства следует, что

bn−t−1 (qn−t−1 + 1) (vtbt + vt−1bt−1) > unbn + un−1bn−1 + un−2.

Так как обе части делятся на bn−2 и un−3bn−3 + . . . + u0 < bn−2, то bn−t−1 + 1) (vtbt + vt−1bt−1) > u.

Тем более bn−t−1 (qn−t−1 + 1)v > u; значит, qn−t−1 + 1 больше искомой цифры частного, а qn−t−1 — не меньше.

Пусть для найденного значения qn−t−1 выполнено неравенство (10.8). Покажем, что тогда qn−t−1 либо равно истинной цифре частного, либо на единицу больше. Предположим противное. Тогда qn−t−1

Отсюда

unbn + un−1bn−1 + un−2bn−2 < (qn−t−1 − 1)bn−t−1 (vtbt + . . . v0).

262 Гл. 10. Целочисленная арифметика многократной точности

Применяя (10.8), получим

qn−t−1 (vtb + vt−1)bn−2 <

< (qn−t−1 − 1)bn−t−1 (vtbt + vt−1bt−1 + vt−2bt−2 + . . . + v0).

Пользуясь делимостью на bn−2, неравенствами vt−2bt−2 + . . . + v0 < bt−1 и 0 qn−t−1 < b, получим, что

qn−t−1 (vtb + vt−1)bn−2 (qn−t−1 − 1)bn−t−1 (vtbt + vt−1bt−1),

а это невозможно.

Итак, найденное во 2 пункте 3 шага значение qn−t−1 равно истинному значению цифры частного, или на единицу больше. Отсюда следует обоснование 3 и 4 пунктов 3 шага.

После прохождения 3 шага для i = n будет выполнено неравенство

u = unbn + . . . + u0 < vbn−t−1 = bn−t−1 (vtbt + . . . + v0).

Отсюда следует, что un = 0. Поэтому мы возвращаемся на 3-й шаг к значению i = n − 1, и т. д.

Мы обосновали корректность работы 3-го шага для i = n. Для меньших значений i все рассуждения повторяются дословно.

На этом завершается обоснование данного алгоритма деления.

Теперь мы опишем более тонкий алгоритм деления целых чисел многократной точности, следуя [25, гл. 4]. Мы дадим лишь несколько более подробные доказательства вспомогательных утверждений, чем это сделано в книге [25]. Заметим, что в книге [25] приведена также блоксхема алгоритма деления.

Пусть u = u0 . . . un и v = v1 . . . vn — неотрицательные целые числа, записанные в системе счисления с основанием b, причем v1 > 0, u/v < b. Нам нужно найти частное от деления u на v

0 q b − 1. Нахождение q при сделанных нами предположениях мы будем называть основной задачей.

Заметим, что u/v < b тогда и только тогда, когда u/b < v, что равносильно неравенству

Значение qˆ вычислить нетрудно, нужно найти частное от деления двух-

Так как u qv и u < (qˆ + 1)v, то qˆ q, что и требовалось доказать.

Теорема 10.4. Если в условиях основной задачи также выполнено неравенство v1 [b/2], то

qˆ − 2 q.

Доказательство. Так как (по теореме 10.3) q qˆ , то, предположив, что q < qˆ − 2, мы придем к противоречию. Пусть qˆ q + 3. По опреде-

264 Гл. 10. Целочисленная арифметика многократной точности

Значит

Далее, так как qˆ b − 1, то

b − u qˆ − 3 q = [u/v] 2v1 − 2.

Поэтому v1 b2 − 1, v1 < [b/2], что противоречит условию теоремы. Замечание 10.5. Мы показали, что если v1 [b/2], то пробное частное qˆ никогда не отличается от истинного частного q больше, чем

на две единицы.

Теперь обратимся к задаче нормализации: как, находясь в условиях основной задачи, попасть в условия теоремы 10.4? Оказывается,

Доказательство. Покажем сначала, что если a, c N, 1 a < c,

Второе и третье неравенства в (10.14) очевидны; докажем первое.

Теперь докажем теорему 10.6. Положим в (10.14) a = v1, c = b. Тогда

Так как одно из неравенств (10.16) строгое, то из (10.15) и (10.16) получим, что

поскольку 1 − 1b < 1. Далее применим индукцию: предположим, что пе-

Итак, мы доказали, что v останется n-разрядным. Из (10.17) следует, что старший разряд v будет не меньше [b/2]. Наконец, u будет

не более чем (n + 1)-разрядным, так как uv = uv < b.

Теперь опишем алгоритм деления целых чисел многократной точности, основанный на теоремах 10.3—10.6.

Алгоритм D (деление неотрицательных целых чисел).

u0u1 . . . um+n := u1 . . . um+n · d, v1 . . . vn := v1 . . . vn · d.

(Из теоремы 10.6 следует, что новое значение v1 больше или равно [b/2].)

2 шаг. j := 0.

3 шаг (обеспечение выполнения условий основной задачи). Присво-

Замечание 10.7. Покажем, что после 3 шага будет выполнено нера-

Действительно,

3bv 3bv1bn−1 3bn [b/2] > bn+1 − 1 uj . . . uj+n, так как при b = 2 неравенство

3 · 2n [2/2] > 2n+1 − 1

очевидно, а при b 3 либо [b/2] = b/2, либо [b/2] = b2 − 12 , и тогда 1 + 3bn [b/2] 1 + 3bn 2b − 12 = 1 + 32 bn+1 − 32 bn > bn+1,

так как 12 bn+1 32 bn. Итак, после 3 шага uj . . . uj+n < bv.

Замечание 10.8. Значение переменной l показывает, что из первоначального значения uj . . . uj+n мы вычли lbv. Впоследствии нам надо будет добавить lb в соответствующий разряд итогового частного на 9 шаге.

4 шаг (нахождение qˆ ). На этом шаге выполнено неравенство uj v1, так как, если uj > v1, то

ujuj+1 . . . uj+n − b · v1 . . . vn ujbn − (v1bn + v2bn−1 + . . . + vnb)

bn − (v2bn−1 + . . . vnb) > 0,

что противоречит условию основной задачи, которое выполнено.

Если оно выполнено, то qˆ := qˆ − 1. Снова проверить (10.19), и если оно выполнено, то присвоить еще раз qˆ := qˆ − 1.

Замечание 10.9. Поскольку n 2, то v — не менее чем двухразрядное, а число u = u0 . . . um+n — не менее чем трехразрядное; значит, цифра uj+2 с номером j + 2 определена.

Замечание 10.10. После 4 шага выполнены условия теорем 10.3 и 10.4. Значит, qˆ − 2 q qˆ , т. е. qˆ равно либо q, либо q + 1, либо

q + 2. Положим r˜ := ujb + uj+1 − qvˆ 1 — выражение, стоящее в формуле (10.19) в скобках. Покажем, что если

uj . . . uj+n − qvˆ uj . . . uj+n − qvˆ 1bn−1 − qvˆ 2bn−2 =

=uj+2bn−2 + . . . + uj+n + ujbn + uj+1bn−1 − qvˆ 1bn−1 − qvˆ 2bn−2 =

=rb˜ n−1 + uj+2bn−2 + . . . + uj+n − qvˆ 2bn−2 <

<rb˜ n−1 + (uj+2 + 1)bn−2 − qvˆ 2bn−2 =

=bn−2 (rb˜ + uj+2 + 1 − qvˆ 2). (10.21)

Если выполнено неравенство (10.20), то в формуле (10.21)

rb˜ + uj+2 + 1 − qvˆ 2 < rb˜ + uj+2 + 1 − (r˜ b + uj+2) = 1.

Поэтому

rb˜ + uj+2 + 1 − qˆ v2 < 0,

и из (10.21) следует, что

uj . . . uj+n − qˆ v < 0,

т. е. qˆ q + 1. Следовательно, надо заменить qˆ на qˆ − 1 — это будет лучшим приближением к q. Эта процедура 5 шага делается не более двух раз, так как qˆ q + 2 по теореме 10.4.

Замечание 10.11. Сейчас для текущего значения qˆ , удовлетворяющего неравенству q qˆ q + 2, и для значения r˜ = ujb + uj+1 − qvˆ 1 выполняется неравенство

Докажем, что в этом случае qˆ равно либо q, либо q + 1. Предположим противное, т. е. что q = qˆ − 2. Но тогда

uj . . . uj+n < (qˆ − 1)v < qˆ (v1bn−1 + (v2 + 1)bn−2) − v <

< qvˆ 1bn−1 + qvˆ 2bn−2 + bn−1 − v,

uj . . . uj+n < qvˆ 1bn−1 + (br˜ + uj+2)bn−2 + bn−1 − v =

= qvˆ 1bn−1 + (ujb2 + uj+1b + uj+2 − qvˆ 1b)bn−2 + bn−1 − v

и заносим ее абсолютную величину в uj . . . uj+n, а знак в переменную .

9 шаг. К значению qj прибавляем величину lb из 3 шага. Замечание 10.12. На 3-м шаге мы обеспечивали выполнение усло-

вий основной задачи, вычитая из исходного числа uj . . . uj+n число lbv. Поэтому к найденному частному qj от деления нового (после 3 шага) числа uj . . . uj+n на v надо добавить lb. После этого значение qj уже не всегда будет цифрой в b-ичной системе счисления, оно может стать больше, чем b.

10 шаг. Сейчас в текущем значении числа uj . . . uj+n цифра uj равна 0, так как в нем фактически стоит остаток от деления на n-разрядное число v1 . . . vn. Присваиваем j := j + 1. Если j m, то возвращаемся на 3 шаг.

11 шаг. Искомое частное от деления u на v равно q := q0bm + q1bm−1 + . . . qm−1b + qm

(здесь qj уже могут не быть цифрами в b-ичной системе счисления, см. замечание на шаге 9). Остаток от деления u на v равен

r = r1 . . . rn := um+1 . .d. um+n ,

где d — из 1 шага алгоритма, um+1 . . . um+n — значение, полученное после последнего выполнения 10 шага.

Конец алгоритма.

Корректность работы алгоритма деления мы обосновали по ходу его описания.

Замечание 10.13. Описание некоторых алгоритмов для выполнения арифметики многократной точности можно найти в книгах [101, гл. 9; 180, гл. 14]. Обзор арифметики многократной точности содержится в работе [70].

§10.4. Некоторые алгоритмы модулярной арифметики

В этом параграфе мы описываем некоторые алгоритмы для вычисления в кольцах вычетов Z/nZ.

Начнем с китайской теоремы об остатках. В Приложении мы привели формулировку этой теоремы о решении системы сравнений

где (mi, mj) = 1 при i = j. Формулировка является конструктивной, т. е. представляет собой метод решения (10.25). Однако в ряде случаев более эффективным является алгоритм Гарнера, см. [25, § 4.3.2; 124; 180, гл. 14]. По сравнению с классической китайской теоремой об остатках он не требует приведения по модулю M = m1 . . . mk.

Алгоритм Гарнера.

На входе алгоритма заданы числа a1, . . . , ak, m1, . . . , mk, (mi, mj) = = 1 при i = j, и число M = m1 . . . mk. На выходе получается решение x

системы (10.25), 0 x < M.

1 шаг. Для i = 2, . . . , k выполнить пункты 1) и 2):

1)ci := 1;

2)для j = 1, . . . , i − 1 выполнить: u := m−j 1 (mod mi) (нахождение

обратного элемента можно делать с помощью обобщенного бинарного алгоритма, см. Приложение), ci := uci (mod mi).

2 шаг. u := a1, x := u.

3 шаг. Для i = 2, . . . , k вычислить u := (ai − x)ci (mod mi) — наименьший неотрицательный вычет по модулю mi,

x := x + u i−1 mj.

j=1

Поскольку итоговое значение x в алгоритме по построению удовлетворяет сравнениям x ≡ xi (mod mi), i = 1, . . . , k, алгоритм Гарнера работает верно.

Теперь опишем вкратце модулярное умножение и возведение в степень по Монтгомери, см. [101, гл. 9; 180, гл. 14; 191]. Зафиксируем натуральное число N > 1 и натуральное число R, R > N, (R, N) = 1. Число R выбирается так, чтобы вычисления по модулю R были достаточно легкими (например, R — размер машинного слова или степень двойки). Пусть заданы R , N Z, такие, что

0 < R < N, RR − NN = 1

(R и N можно найти с помощью обобщенного алгоритма Евклида,

TR (mod N) с помощью следующего алгоритма (фактически здесь R ≡ R−1 (mod N)).

Алгоритм REDC (приведение по Монтгомери).

1 шаг. m := T (mod R) — наименьший неотрицательный вычет.

2 шаг. m := mN (mod R) — наименьший неотрицательный вычет.

T + mN . R

4 шаг. Если t N, то выдать t − N, иначе выдать t.

Конец алгоритма.

Покажем, что алгоритм работает верно. Поскольку значение m, получающееся на 2 шаге, удовлетворяет сравнению

mN ≡ TN N ≡ −T (mod R),

то значение t, определяемое на 3 шаге, будет целым числом. Далее, tR ≡ T + mN ≡ T (mod N), т. е. t ≡ TR−1 (mod N). Наконец, 0 T + mN < RN + RN, откуда 0 t < 2N. Это завершает обоснование корректности алгоритма REDC.

Заметим, что поскольку мы считаем вычисления по модулю R (в том числе, деление на R) быстрыми, то сложность выполнения алгоритма REDC в основном заключается в двух умножениях целых чисел, по модулю не превосходящих R.

Аналогично можно описать приведение по Монтгомери для целых

по Монтгомери (т. е. для x, N, e N вычисляется x (mod N)), см. [101, гл. 9; 180, гл. 14; 191]. Возведение в степень по Монтгомери оказывается эффективным и рекомендуется для практического использования, см. также [69].

Еще один алгоритм для эффективного модулярного возведения в степень был предложен в работе [132]. Авторы этой работы утверждают, что их алгоритм эффективнее алгоритма Монтгомери.

Для вычисления x (mod m) при заданных x и m эффективен алгоритм Баррета, см. [69; 180, гл. 14]. В [101, гл. 9] описаны быстрые алгоритмы для вычисления по модулям специального вида, например, по модулю N = 2q + c, c Z, q N, или по модулям Прота, имеющим вид N = k · 2q + c.

Ряд методов возведения в степень элементов конечных групп и способов записи и представления показателей описан в [180, § 14.6, 14.7].

Теперь опишем еще один алгоритм Монтгомери, который при за-

данном N N и заданных a1, . . . , ak Z находит b1 . . . , bk Z такие, что aibi ≡ 1 (mod N), i = 1, . . . , k. Этот алгоритм описан в [89, гл. 10];

он может применяться в алгоритме факторизации целых чисел с помощью эллиптических кривых, см. гл. 4. С его помощью можно работать одновременно с несколькими кривыми.