§8.4. LLL-алгоритм факторизации: подъем разложения

226 Гл. 8. Факторизация многочленов над полем рациональных чисел

1 шаг. Присвоить (u1, u2, u3) := (1, 0, g(x)), (v1, v2, v3) := (0, 1, h(x)).

2шаг. Если v3 = 0, то выдать значение u(x) = u1, v(x) = u2, d(x) = u3

изакончить работу.

3 шаг. Разделить с остатком:

u3 = qv3 + r, deg r < deg v3.

4 шаг. Присвоить (t1, t2, t3) := (u1, u2, u3) −q(v1, v2, v3), (u1, u2, u3) := := (v1, v2, v3), (v1, v2, v3) := (t1, t2, t3) и вернуться на 2 шаг.

Конец алгоритма.

Легко видеть, что найденные многочлены u(x), v(x), d(x) действительно удовлетворяют равенству u(x)g(x) + v(x)h(x) = d(x) = = НОД(g(x), h(x)). Это проверяется в точности так же, как в обычном алгоритме Евклида для целых чисел (см. Приложение). Можно показать (см. [25, § 4.6.1, упр. 3]), что deg v(x) < deg g(x), deg u(x) < deg h(x).

Теперь рассмотрим поле K = Z/pZ.

Алгоритм 2.

На входе задано простое число p, j N, многочлены a(x), b(x), c(x), gj (x), hj (x) Z/pZ [x], такие, что старший коэффициент hj (x) обратим

в Z/pjZ и a(x)gj (x) + b(x)hj (x) = 1 в Z/pjZ [x]. На выходе получаем многочлены a (x), b (x) Z/pjZ такие, что a (x)gj (x) + b (x)hj (x) = c(x) в Z/pjZ [x], и при этом deg a (x) < deg hj (x).

1 шаг. Ввиду обратимости старшего коэффициента hj (x) можно произвести деление с остатком:

a(x)c(x) = hj (x) · q(x) + r(x), deg r(x) < deg hj (x).

2 шаг. Присвоить

a (x) := r(x), b (x) := b(x)c(x) + gj (x)q(x).

Конец алгоритма.

Корректность работы алгоритма следует из равенств

gj (x)a (x) + hj (x)b (x) =

=gj (x) (a(x)c(x) − hj (x)q(x)) + hj (x) (b(x)c(x) + gj (x)q(x)) =

=c(x) (gj (x)a(x) + hj (x)b(x)) = c(x).

Лемма 8.7. Пусть p — простое число, j N, t(x) Z/p2jZ [x]. Пусть gj (x), hj (x) Z/pjZ [x], t(x) ≡ gj (x)hj (x) (mod pj), старший коэффициент hj (x) обратим в Z/pjZ [x] и существуют многочлены aj (x), bj (x) Z/pjZ [x] такие, что aj (x)gj (x) + bj (x)hj (x) = 1

228 Гл. 8. Факторизация многочленов над полем рациональных чисел

описать также линейный подъем, т. е. переход от соотношений по модулю pj к соотношениям по модулю pj+1 (см. [1, гл. 6; 89, гл. 3]). Однако если мы хотим получить из соотношений по модулю p соотношения по модулю pk, где k достаточно велико, то лучше использовать квадратичный подъем, так как он быстрее приведет нас к требуемому результату.

§8.5. LLL-алгоритм факторизации: полное описание

Теперь мы можем детально описать LLL-алгоритм факторизации многочленов в кольце Z [x].

Алгоритм (LLL-факторизация).

На входе алгоритма задан примитивный многочлен f0 (x) Z [x], deg f0 = n0 > 1. На выходе получается разложение f0 (x) на неприводимые множители в Z [x].

1 шаг. Вычисляем g(x) = НОД(f0 (x), f0 (x)) Z [x], где f0 (x) — производная. Полагаем f(x) = fg0((xx)) . Заметим, что, если

— разложение f0 (x) на неприводимые множители в Z [x], то оно же есть разложение f0 (x) на неприводимые множители в Q [x] (см. лемму 8.2). Поэтому g(x) = f1 (x) 1−1 . . . fk (x) k−1−1 есть примитивный многочлен, и его можно найти с помощью алгоритма Евклида в Q [x]. Тогда f(x) = f1 (x) . . . fk (x) — многочлен, не имеющий кратных неприводимых множителей.

Обозначим n = deg f(x). Далее мы считаем, что n 2 (f(x) неприводим при n = 1 и f0 (x) = f(x) , где = deg f0 (x)).

2шаг. Вычисляем результант Res(f, f ) Z; Res(f, f ) = 0 (так как f

иf взаимно просты). Определение и свойства результанта см. в [9,

гл. 5].

3 шаг. Находим наименьшее простое число p, такое, что p Res(f, f ).

Тогда p не делит старший коэффициент f(x), и f(x) (mod p) Z/pZ [x] не имеет кратных неприводимых делителей. Можно доказать (см. [160]), что p удовлетворяет неравенству

p max 101, ,

поэтому мы быстро найдем его, перебирая все простые числа подряд.

4 шаг. Раскладываем f(x) (mod p) в Z/pZ [x] на неприводимые унитарные множители с помощью алгоритма Берлекэмпа. Пусть S — список этих множителей. Заводим список S1 неприводимых делителей f(x)

6 шаг. С помощью метода доказательства леммы 8.7 из § 8.4 (применяемого последовательно несколько раз), находим многочлен h1 (x) Z/pkZ [x], такой, что

h1 (x) (mod pk) | F(x) (mod pk),

deg h1 (x) = deg hˆ 1 (x), старший коэффициент h1 (x) обратим по модулю pk. Если в качестве коэффициентов h(x) Z/pkZ [x] рассматривать наименьшие неотрицательные вычеты элементов Z/pkZ, то можно считать, что h(x) Z [x]. Тогда для многочлена h1 (x) выполнены свойства Б), В) и Г) из § 8.2. Домножив h1 (x) Z/pkZ [x] на некоторый элемент a (Z/pkZ) , a ≡ 1 (mod p), можно обеспечить и условие А).

будем для них выполнять шаг 8, переходя к шагу 9, как только найдем h0 (x) Z [x], h0 (x) | F(x). Если делитель не будет найден для всех m,

решетки L находим приведенный базис b1, . . . , bm+1. Если выполняется неравенство