Алгоритм Миллера Af.

Если одно из условий (i)— (iii) выполнено, то n — составное, и алгоритм останавливается.

3 шаг. Если мы дошли до этого шага, то n — простое число.

Конец алгоритма.

Теорема 1.37. Если f(n) = c · n0,133 (где c — некоторая положительная постоянная), то алгоритм детерминированно проверяет простоту n за O(n1/7) арифметических операций. Если же f(n) = c log2 n, то алгоритм детерминированно проверяет простоту n за O(log4 n) операций в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана.

Замечание 1.38. В работе [64] показано, что проверку 1 шага можно выполнить за (log n)1+o(1) арифметических операций.

Мы докажем вторую часть этой теоремы, следуя работе [187]. Мы будем считать, что f(n) = c log2 n для некоторой достаточно большой абсолютной постоянной c, и что n не является степенью, т. е. n = ms, m, s N, s > 1. Значение c = 2 было получено в более поздних работах, см. для справок [60, гл. 9; 101].

Пусть n — нечетное составное число, n > 1, n = pv11 . . . pvuu — разложение n на простые сомножители. Везде далее используем это обозначение. Тогда u 2.

Определение 1.39. Функция Кармайкла определяется равенством

(n) = НОК(pvi i−1 (pi − 1));

i

функция (n) определяется равенством (n) = НОК(pi − 1).

3 О. Н. Василенко

34 Гл. 1. Тестирование чисел на простоту и построение больших простых чисел

Лемма 1.41. Если (n) n − 1, то найдутся простые числа p, q такие, что

1)p | n, p − 1 n − 1 и при некотором m 1 qm | p − 1, qm n − 1;

2)если для этих p и q число a является невычетом q-й степени по модулю p (т. е. уравнение xq ≡ a (mod p) неразрешимо),

то an−1 ≡ 1 (mod n).

Доказательство. 1) По условию среди чисел pi найдется число p, очередь, означает, что найдутся

ральное число a такое, что (a, p) = 1 и a есть невычет q-й степени по модулю p. Число N(p, q) определено лишь при q | p − 1.

Теорема 1.43 (см. [54]). При условии выполнения расширенной

гипотезы Римана

N(p, q) = O(log2 p).

Следствие 1.44. Если (n) n − 1 и выполняется расширенная гипотеза Римана, то случай (ii) 2 шага алгоритма обнару-

an−1 ≡ 1 (mod n).

Фактически мы обосновали алгоритм Миллера и доказали теорему в случае (n) n − 1. Далее считаем, что (n) | n − 1.

Определение 1.45. Скажем, что число n имеет тип A, если найдется такой номер j, что

2 ( (n)) > 2 (pj − 1).

Иначе n имеет тип B, т. е. в этом случае для любого j, 1 j u,2 ( (n)) = 2 (pj − 1).

Лемма 1.46. Пусть n — составное типа A, простые p, q делят n, причем

2 ( (n)) = 2 (p − 1) > 2 (q − 1).

Пусть 1 < a < n, ap = −1. Тогда либо a, либо (a (n)/2 − 1) (mod n)

имеет нетривиальный наибольший общий делитель с n (т. е. этот делитель отличен от 1 и n).

Доказательство. Заметим, что 2 ( (n)) 2, поскольку 2 (q − 1)

1. Пусть (a, n) = 1. Так как q − 1 2(n) , то a (n)/2 ≡ 1 (mod q). Кроме того,

a (n)/2 ≡ ±1 (mod p).

Если a (n)/2 ≡ 1 (mod p), то (ind a) · (n)/2 ≡ 0 (mod p − 1), где ind a — индекс a (mod p) по отношению к какому-либо первообразному корню

Поэтому (a (n)/2 − 1, n) делится на q и не делится на p, что и требовалось доказать.

Лемма 1.47. Пусть n — составное число типа B, простые числа p и q делят n, p = q, и число a удовлетворяет условиям

Доказательство. Пусть (a, n) = 1, и предположим, не ограничивая

Отсюда НОД((a (n)/2 − 1) (mod n), n) делится на q и не делится на p. Лемма доказана.

Теперь нужно обеспечить проверку утверждений лемм 1.46, 1.47,

3*