b1, . . . , bn не предполагается. MLLL-алгоритм вычисляет ранг Z-мо- дуля Λ и находит его LLL-приведенный базис. Блок-схему алгоритма также можно найти в [89, гл. 2, алгоритм 2.6.8].

§ 7.5. Некоторые приложения LLL-алгоритма

Одним из возможных приложений LLL-алгоритма является нахождение ядра и образа линейного отображения евклидова пространства, задаваемого целочисленной матрицей. Соответствующие алгоритмы описаны в [89, § 2.7]. В данном параграфе мы опишем другие приложения LLL-алгоритма: нахождение целочисленной линейной зависимости для заданных действительных чисел и нахождение коротких векторов в решетках.

Пусть z1, . . . , zn — фиксированные действительные числа, z1 = 0.

где не все xi равны 0. Выберем достаточно большое натуральное число N и рассмотрим квадратичную форму

Поскольку Q(a) — положительно определенная квадратичная форма, она задает скалярное произведение на Rn. Идея нахождения x1, . . . , xn, удовлетворяющих (7.13), заключается в следующем: если вектор (a1, . . . , an) Zn является коротким относительно нормы, индуцированной квадратичной формой Q(a), то величина z1a1 + . . . + znan будет небольшой, небольшими будут и коэффициенты aj при j > 1. Поэтому если z1, . . . , zn линейно зависимы, то мы скорее всего найдем решение (7.13).

Мы начинаем со стандартного базиса решетки Λ Rn, состо-

произведение в Rn задается квадратичной формой Q(a) из (7.14)). Когда LLL-приведенный базис будет построен, один из его коротких векторов, возможно, даст решение (7.13), как это было объяснено выше.

Лемма 7.17. Если b1, . . . , bn — стандартный базис Zn, то в процессе ортогонализации Грама—Шмидта выполняются равен-

Далее, если Bi = |bi |2 — длины векторов bi в нашей метрике, задаваемой Q(a), то

B1 = Nz21, Bi = 1 при i = 2, . . . , n.

Доказательство. Пусть [u, v] — скалярное произведение на Rn, индуцируемое Q(a). Тогда по определению

[u, v] = 12 (Q(u + v) − Q(u) − Q(v)).

являются ортогональными. В самом деле, при i, j 2, i = j,

Q(bi + bj ) − Q(bi ) − Q(bj ) =

=1 + 1 + N((−zi − zj) + zi + zj)2 −

−(1 + N(−zi + zi)2) − (1 + N(−zj + zj)2) = 0

и, при j 2,

Q(b1 + bj) − Q(b1) − Q(bj ) =

= 1 + N((z1 − zj) + zj)2 − Nz21 − (1 + N(−zi + zi)2) = 0.

Утверждение леммы о значениях Bi также очевидно.

Прежде чем описывать алгоритм нахождения линейной зависимости, скажем несколько слов о выборе натурального параметра N в формуле (7.14). Число N выбирается эвристически; можно попробовать несколько различных значений N. В книге [89, гл. 2] рекомендуется

с точностью . Число также должно быть достаточно малым: если мы

200 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения

предполагаем, что решения xi в (7.13) не превосходят X, то можно взять равным X−3n/2. Число всегда следует выбирать меньшим X−n (здесь, однако, значение X нам неизвестно и также определяется эвристически).

Алгоритм нахождения линейной зависимости (эвристический). На входе алгоритма заданы z1, . . . , zn R, не все равные нулю, и параметр N N. На выходе малая по абсолютной величине линейная комбинация x1z1 + . . . + xnzn с небольшими коэффициентами xi Z, не все-

2 шаг. Теперь к базису b1, . . . , bn (и соответствующему ему ортогональному базису b1 , . . . , bn и коэффициентам ij) применяем LLL-ал- горитм из § 7.3; скалярное произведение в Rn задается квадратичной формой (7.14). В результате будет построен LLL-приведенный базис Λ решетки Zn.

3 шаг. Берем короткие векторы из найденного LLL-приведенного базиса; их координаты x − 1, . . . , xn, возможно, являются решениями (7.13), что устанавливается проверкой.

Конец алгоритма.

Замечание 7.18. Вместо стандартного LLL-алгоритма можно использовать LLL-алгоритм с глубокой вставкой, описанный в § 7.4, поскольку он зачастую выдает более короткие векторы.

Теперь опишем алгоритм для нахождения всех достаточно коротких векторов решетки. Точнее, пусть Λ = Zb1 + . . . + Zbn — решетка в Rn, C — положительная постоянная; требуется найти все векторы b Λ такие, что

Эта задача является трудной; описываемый ниже алгоритм в некоторых случаях может иметь сложность, экспоненциально зависящую от размерности пространства n.

Если b Λ, то b = x1b1 + . . . + xnbn при некоторых x1, . . . , xn Z. Тогда неравенство (7.15) примет вид

|Q(x)| = |Q(x1, . . . , xn)| C,

где

Q(x1, . . . , xn) = (x1b1 + . . . + xnbn, x1b1 + . . . + xnbn) = n (bj, bj)xixj

i,j=1

— положительно определенная квадратичная форма. Ее мы приводим к более удобному виду

также является положительно определенной квадратичной формой, поскольку при очевидной замене переменных справедливо равенство

Q(x1, . . . , xn) = a11y21 + Q1 (y2, . . . , yn).

Далее аналогично поступаем с Q1 (x2, . . . , xn) и в конечном итоге приводим Q(x) к виду (7.16). Представление (7.16) называется разложением Холецкого для квадратичной формы Q(x).

Алгоритм нахождения коротких векторов решетки.

На входе алгоритма заданы положительно определенная квадратичная форма Q(x) = Q(x1, . . . , xn) вида (7.16) и положительная постоянная C. На выходе получаются все векторы x Zn такие, что Q(x) C (из каждой пары ±x выдается только один вектор).

202 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения

=i+1

и вернуться на 2-й шаг.

4 шаг. Если (x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0), то алгоритм заканчивает работу. Иначе выдается очередной вектор x = (x1, . . . , xn), значение Q(x) = C − T1 + q11 (x1 + V1)2 и мы возвращаемся на 3 шаг.

Конец алгоритма.

Покажем, что алгоритм работает корректно. По сути, в этом алго-

может удовлетворять неравенству Q(x) C. Действительно, для век-

на 2 шаг. Здесь мы аналогично выберем минимально возможное (при уже имеющемся значении xn) значение xn−1. Оно будет удовлетворять неравенству

если на 3 шаге xn−1 > Ln−1, то мы вышли за пределы диапазона изменения xn−1 (при данном xn), и тогда мы перейдем к следующему значению xn. Далее, аналогично, при заданных xn и xn−1, мы перебираем xn−2 и так далее. Перебор закончится, когда (возрастающая) переменная xn достигнет значения 0 и все остальные (возрастающие)

переменные при xn = 0 также достигнут значения 0. Тогда, действительно, из каждой пары ±x, удовлетворяющей неравенству Q(x) C, мы найдем ровно один вектор. Заметим также, что на шаге 3 очередное

Дальнейшее усовершенствование данного алгоритма было предло жено Финке и Постом. В нем после нахождения разложения Холецкого для квадратичной формы Q(x) = xT Ax, что равносильно представлению A в виде A = RT R для некоторой верхнетреугольной матрицы R, применяется LLL-алгоритм к строкам матрицы R−1. В результате мы сможем существенно уменьшить перебор значений xi в алгоритме; на практике это значительно ускоряет его работу. Дальнейшие детали см. в [121] и [89, гл. 2].

Замечание 7.19. Неизвестно, является ли задача нахождения кратчайшего вектора решетки NP-полной. NP-полнота этой задачи доказана для нормирований | · |∞ и | · |1 пространства Rn, см. [48].

§ 7.6. Алгоритм Фергюсона—Форкейда

В данном параграфе мы опишем алгоритм Фергюсона—Форкейда, см. [117], а также см. [116; 119; 120; 118; 76]. Этот алгоритм предназначен для нахождения целочисленной линейной зависимости заданного конечного набора действительных чисел. Один алгоритм для решения этой задачи мы уже описали выше в § 7.5.

Введем некоторые обозначения. Фиксируем n N, n 2. Для ве-

Фиксируем вектор x = (x1, . . . , xn) R . Вектор m Z , m = 0, мы

Мы будем считать, что все координаты вектора x отличны от нуля, поскольку в противном случае поиск соотношения (7.17) тривиален. Также обозначим через P матрицу размера n × n:

где Il обозначает единичную матрицу размера l × l, l = 1, 2, 3, . . . Тогда

Рассмотрим матрицу H размера n × (n − 1), столбцы которой составляют базис (Lоб (x)) . Очевидно, rank H = n − 1, xH = 0. Далее мы покажем, как вычислить матрицу H. Обозначим через vi i-ю строку матрицы H, i = 1, . . . , n; vi Rn−1. Положим H0 = 0 Rn−1,

i = 1, . . . , n. Так как все координаты вектора x отличны от нуля, то матрицы Gi обратимы при 1 i < n. Действительно, поскольку xH = 0, то x1v1 + . . . + xnvn = 0. Следовательно, vn линейно выражается через v1, . . . , vn−1, и так как rank H = n − 1, то v1, . . . , vn−1 линейно независимы. Значит, Gi — матрицы Грама для v1, . . . , vi и поэтому являются невырожденными при i < n. Положим

Для всех остальных номеров j, k положим C(k, j) = 0. Получаем массив значений C(H), определяемый матрицей H.

Следующий алгоритм является вспомогательным. Он переводит пару x, H в пару xA−1, AH для некоторой матрицы A, вычисляемой в ходе его работы.

Алгоритм 1.

Шаг 0. Если существует координата xi = 0, то алгоритм заканчивает работу.

Такой вектор мы будем называть нормализованным.

Теорема 7.20. Пусть вектор x нормализован и имеет соотношение m нормы M. Тогда при некотором k, удовлетворяющем неравенству

один из столбцов матрицы Rk является соотношением. Прежде, чем приступить к доказательству теоремы, докажем ряд

вспомогательных утверждений. Пусть по-прежнему Hj, Gj, Pj, Qj

то dim V = n − 1.

Лемма 7.21. Для всех j, k, 1 j, k n, справедливы следующие утверждения:

1) PjT = Pj, QTj = Qj, PjPj = Pj, QjQj = Qj, PjQj = 0, и если v Rn, vPj = 0 (vQj = 0), то vPjvT > 0 (vQjvT > 0);

2)PjPk = Pmin(j,k) , QjQk = Qmax(j,k) , PjQk = Pj −Pmin(j,k) = Qk −Qmax(j,k) ;

3)При j k VPj VPk, VQj VQk, vj = vjPk, PjQk = 0;

4)QkPj = PjQk;

− Qj) = PjQj−1 есть ортогональ-

1 j n−1 1 j n−1

ные разложения единичной матрицы In−1;

6) rank PjQj−1 = 1, vjQj−1 = 0 при 1 j n − 1. Доказательство. Так как GTj = Gj, то очевидно, что PjT = Pj, от-

куда QTj = Qj. Далее, PjPj = HjT (HjHjT)−1HjHjT (HjHjT)−1Hj = Pj; тогда из (7.22) следует, что QjQj = Qj. Поэтому PjQj = Pj − Pj2 = 0. Наконец, из vPj = 0 следует, что vPjvT = vPj2vT = vPjPjTvT > 0; аналогично,

из vQj = 0 следует vQjvT > 0. Таким образом, первое утверждение леммы доказано.

Так как In−1 = Pj + Qj, то V = VPj + VQj. Это разложение является ортогональным, поскольку PjQj = 0. Действительно, (uPj, wQj) = = (uPjQTj , w) = 0. Поэтому из включения VPj VPk при j k следует, что VQj VQk. Из этого также следует, что при j k имеем PjQk = 0, так как если PjQk = 0, то найдется вектор u такой, что w = uPjQk = 0. Отсюда 0 < (w, w) = (uPjQk, uPjQk) = (uPjQk, uPj). Но uPjQk VQk,

третьему утверждению леммы. Аналогично доказываются остальные равенства второго пункта леммы.

Четвертое утверждение леммы следует теперь из равенств

QkPj = QTk PjT = (PjQk)T = (Pj − Pmin(j,k))T = Pj − Pmin(j,k) = PjQk.

Равенство In−1 = n−1 PjQj−1 следует из доказанной формулы (7.32)

j=1

и равенства Qj−1 − Qj = PjQj−1.

Докажем ортогональность разложений в пятом утверждении леммы. При i = j имеем

(Qj−1 − Qj) (Qi−1 − Qi) = Qj−1Qi−1 − QjQj−1 − Qj−1Qi + QjQi = Mij.

Если i < j, то Mij = Qj−1 − Qj − Qj−1 + Qj = 0, аналогично рассматривается случай i > j. Пятое утверждение леммы доказано.

Наконец, докажем шестое утверждение леммы. Выполнены неравенства rank PjQj−1 1, поскольку для вектора v V имеем

То есть PjQj−1 переводит (n − 1)-мерное пространство V в не более

чем одномерное. Но так как матрица In−1 = n−1 PjQj−1 имеет ранг n − 1,

j=1

то ранг каждого слагаемого равен 1 и vjQj−1 = 0 при j = 1, . . . , n − 1.

Следствие 7.22. C(j, j) = vjPjQj−1vTj > 0.

Лемма 7.23. Пусть B — вещественная матрица размера n × n; обозначим Bj матрицы размера j × j, образованные первыми j строками и столбцами матрицы B, j = 1, . . . , n. Пусть det Bj = 0, Hj = BjHj, j = 1, . . . , n, и матрицы Pj, Qj получены с помощью формул (7.21) и (7.22) с заменой Hj на Hj. Тогда Pj = Pj, Qj = Qj.

Доказательство. По определению

Pj = HTj (HjHTj )−1Hj = HjTBTj (BjHjHjTBTj )−1BjHj =

= HjTBTj (BTj )−1 (HjHjT)−1B−j 1BjHj = Pj.

Равенство Qj = Qj теперь очевидно.

В этом параграфе для действительного числа мы будем обозначать через [[ ]] ближайшее целое к число и {{ }} = − [[ ]]; при = 12 + n, n Z, будем для определенности считать, что [[ ]] = n.

212 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения

Из леммы 7.21 следует, что uwT = 0. Отсюда, поскольку w, v = , следует второе утверждение леммы, при v = u + cw для некоторого c. Но по лемме 7.21 имеем

Снова uwT = 0. Так как Qi−1 − Qi = PiQi−1, то

vi+1 (Qi−1 − Qi) = vi+1PiQi−1 = cviPiQi−1 = cw

при некотором c R. Поскольку v, w = , из наших рассуждений следует первое утверждение леммы.

Лемма 7.26. Если найдется номер i, 1 i < n такой, что ai+1,i = = {{ai+1,i}} и при этом

viQi−1vTi > 2vi+1QivTi+1,

то

3viQi−1vTi > 4vi+1Qi−1vTi+1.

Доказательство. Поскольку Qi−1 − Qi = PiQi−1, то

vi+1Qi−1 = vi+1Qi + ai+1,iviQi−1,

причем слагаемые в правой части этого равенства являются ортогональными векторами. Отсюда

vi+1Qi−1vTi+1 = vi+1QivTi+1 + a2i+1,iviQi−1vTi .

Тогда, пользуясь условием леммы, получим

4vi+1Qi−1vTi+1 < 2viQi−1vTi + viQi−1vTi ,

поскольку 4a2i+1,i 1.

Теперь приведем некоторые оценки, связанные с величиной

Мы будем обозначать символом Λ(A) сумму диагональных элементов квадратной матрицы A.

Лемма 7.27. Пусть матрица B и числа akj определены формулами (7.33) и (7.38). Тогда

2)если для всех k, j, k = j, выполнено равенство akj = {{akj}}, то Λ(HHT) < L(H);

3)для матрицы H = BH выполнено равенство L(H) = L(H).

Доказательство. Нетрудно видеть, что справедливо равенство