190 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения

откуда следует утверждение теоремы.

Теорема 7.10. Пусть b1, . . . , bn — LLL-приведенный базис решетки Λ, x1, . . . , xt — линейно независимые векторы решетки Λ. Тогда при всех j t выполнены неравенства

|bj|2 2n−1 max(|x1|2, . . . , |xt|2).

Доказательство. Разложим xi по базису:

Обозначим для каждого i, 1 i t, через j(i) наибольший номер j такой, что rij = 0. Тогда, аналогично доказательству теоремы 7.8, выполнены неравенства

номер i такой, что j(i) < i, то x1, . . . , xi Lоб (b1, . . . , bj(i)), что противоречит линейной независимости x1, . . . , xi. По теореме 7.7 имеем

|bi|2 2j(i)−1|bj(i) |2 2n−1|xi|2;

последнее неравенство следует из определения j(i).

§7.3. Алгоритм построения LLL-приведенного базиса решетки

Вэтом параграфе мы опишем построение LLL-приведенного базиса решетки Λ Rn. Мы сохраняем обозначения § 7.2.

Алгоритм построения LLL-приведенного базиса.

Вначале работы алгоритма задан b1, . . . , bn — какой-то базис решетки Λ. В конце работы b1, . . . , bn — LLL-приведенный базис.

Проводится индукция по k {1, 2, . . . , n + 1}. В начале k = 2; когда k = n + 1, алгоритм заканчивает работу и выдает LLL-приведенный базис.

Для каждого k символом ( )k мы будем обозначать совокупность

Если k = 2, то условия ( )2 выполнены, поскольку для i получится пустое множество значений 1 < i < 2. Если k = n + 1, то ( )n+1 означает, что базис приведенный (по определению).

Предположим, что для некоторого k, 1 < k < n + 1, выполнены неравенства ( )k. Мы хотим обеспечить выполнение ( )k+1. Для начала обеспечим выполнение неравенства

Если (7.4) уже выполнено, то двигаемся дальше. В противном случае находим r — ближайшее целое к k,k−1, и заменяем bk на

j = 1, . . . , k − 2. Все остальные коэффициенты ij и векторы bi при i < k и при i > k, а также вектор bk не изменятся. Действительно, bi есть

проекция bi на Lоб (b1, . . . , bi−1) ; при замене bk на bk − rbk−1 данные линейные оболочки не изменяются, значит, не изменяются и все bi . Далее, поскольку ij = (bi, bj )/(bj , bi ), то, при i = k, ij не меняются в силу того, что bi не изменился и все bj также не изменились.

Продолжим обеспечение условий ( )k+1 в предположении, что (7.4) выполнено.

1 случай. Пусть k 2 и выполнено неравенство

192 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения

это есть проекция нового вектора bk на Lоб (b1, . . . , bi) . Из неравен-

ства (7.5) следует, что при нашей замене значение |b − |2 уменьшилось

k 1

более чем в 3/4 раза.

Сделав эту замену местами bk и bk−1

зываемся в условиях ( )k−1.

2 случай. Пусть либо k = 1, либо

Если k = 1, то присваиваем k значение 2 и продолжаем процесс, т. е. обеспечиваем выполнение ( )2.

Если выполнено условие (7.6) и k > 1, то обеспечиваем выполнение

(для j = k − 1 (7.7) уже выполнено в силу (7.4)). Пусть l — наибольший номер, для которого | kl| > 12 . Тогда l k − 2. Возьмем r — ближай-

шее целое к kl — и заменим bk на bk − rbl. При этом kj заменятся на kl − r. Все остальные ij и все векторы bi останутся при этом неизменными. Мы продолжаем этот процесс, уменьшая l, пока не достигнем значения l = 1. В этом случае мы обеспечим выполнение условий ( )k+1.

Если мы достигли выполнения условий ( )n+1, то алгоритм останавливается, поскольку b1, . . . , bn образуют приведенный базис; в противном случае мы продолжаем процесс, т. е. увеличиваем значение k.

Конец алгоритма.

Докажем, что алгоритм заканчивает работу. Обозначим через

di = det (bj, bl) 1 j,l i, i = 1, . . . , n.

Очевидно, что

di = det (bj · bl T) = (det bj 1 j i)2 =

= (det bj 1 j i)2 = det( bj · bl T) = i |bj |2.

j=1

194Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения

§7.4. Алгоритм Шнорра—Ойхнера

ицелочисленный LLL-алгоритм

Вэтом параграфе мы вкратце изложим некоторые модификации алгоритма построения LLL-приведенного базиса. Эти модификации описаны в работах [239; 102; 240; 216] и в книге [89].

Мы будем обозначать через Bi следующие величины:

Одна из модификаций LLL-алгоритма была предложена Шнорром и Ойхнером. Она называется LLL-алгоритмом с глубокой вставкой. Для этой модификации теоретическая оценка сложности хуже, чем для исходного LLL-алгоритма, однако на практике с ее помощью зачастую можно получать более короткие вектора решетки, что немаловажно для практических приложений.

Идея LLL-алгоритма с глубокой вставкой заключается в следу-

равносильна одному из шагов LLL-алгоритма. Однако если i = k − 1, то приходится перевычислять больше значений коэффициентов ij, чем в исходном LLL-алгоритме; это увеличивает время работы алгоритма