matan-1_2

n

≤ B(|a1| + 2|an|).

k=1 ak bk

n

m

L , 7 S =

akbk

7 Bm = bk: m = 1, 2, . . . , n

#

k

=1

k=1

S = (a1 − a2)B1 + (a2 − a3)B2 + · · · + (an−1 − an)Bn−1 + anBn,

n−1

k

− ak+1)Bk + anBn.

S =

(ak

=1

L

n−1

k

− ak+1| · |Bk| + |an| · |Bn|.

|S| ≤

|ak

=1

C |Bk | ≤ B: k = 1, 2, . . . , n: M 7

|S| ≤ B n−1 |ak − ak+1| + |an| .

(8.2)

k

=1

" ak ≥ ak+1: k = 1, 2, . . . , n − 1:

n−1

n−1

|ak − ak+1| = (ak − ak+1) = a1 − an ≤ |a1| + |an|.

k=1

k=1

|ak − ak+1| = (ak+1 − ak ) = an − a1 ≤ |a1| + |an|.

k=1

k=1

4 $ $ (

yk

(8.3)

n+p

< 3x n > N p N.

yk

k=n+1

ε

!

n+p

xkyk < 3x(|xn+1| + 2|xn+p|) < ε n > N p N.

k=n+1

ε

L

% E 7

|xk| <

ε

k > N.

6Y

C

k=n+q yk

= |Yn+q − Yn| ≤ 2Y q N,

k=n+1

7 7

k=n+p

≤ 2Y (|xn+1| + 2|xn+p|) < 2 · 6Y · ε = ε

xkyk

k=n+1

3Y

5 + 6 ($7$ $

∞

(−1)k+1xk,

(8.4)

k

=1

n

1

n

, 7

Yn = k=1 (−1)k+1 =

0

n

, 7;

k

0

xk <≥0,

k

−xk xk < 0.

x+ =

xk

xk

0,

x− =

0

xk ≥ 0,

xk+: xk−: , : : , 7

x

k

= x+

−

x−, x

= x+ + x−.

k

k

| k|

k

k

#"L " .-

∞

xk !

∞

k=1

∞

+

xk−

xk

+

∞

k

k=1

=1

k

:

x

C k=1 xk

D C |xk| ≥ xk

x−

| | ≥

k

∞

x+

∞

x−

D 7

k

k

k

=1

k=1

5

+ 6 ($7$ $

" D

∞

xk+

∞

xk−: xk+ +

x− = xk

k=1

k=1

k

|

|

D D

∞

D 7

xk

k=1

("5 #!$" .- A ! ' #

∞

+

∞

∞

+

xk <

! 7 .-

D 7

k=1

D 7

x

x−

x

x− = x

D D

k

k !

k − k

k

k=1

k=1

D 7 7

L : ,

C$" .- 7 7

∞

(−1)k+1

= 1

1

+

1

. . . .

k

k

− 2

3 −

=1

D ( L

M D :

∞

(

1)k+1

= 1 +

1

1

+ . . . .

k=1

− k

2

+ 3

#"L " . 3 N 7

% E

D D DO

∞

∞

k=1

xk

! # )

yk

k=1

! #

5

∞

yk 7 {yk+} {yk−} <

k

+

∞

+

=1

, 7 {xk } {xk−} C 7: ,

xk

=

∞ y+

∞ x− =

∞ y−

k

7 7

Yn = y1 +· · ·+yn .

=1

k

k

y1 , . . . , yn

k=1

k N

k=1

, O

k=1

+

+

+

+

+

, ,

77

D

∞ xk+ 7 7 k1, . . . , kn C N Q <

=

+ +

Q , ,

k=1

x+

x+

E D X+

· · ·

N

1

N

8 ($7$ $

n

n

n

xk− = xk+ + xk,

k

k=1

=1

k=1

n1

< n2 < . . . 7 E , : D

n1

n

x+

1

Sn1 =

> S,

(10.1) Sn

= Sn1

k

x− < S (10.2),

k

1

k

k=1

−

=1

n2

n

x+ > S,

2

Sn2

= Sn +

(10.3)

Sn

= Sn2

x− < S (10.4), . . .

1

1

k

2

k= 1

k=n +1

−

k

n +1

! 7 , nk nk

D 7 <

∞

xk+

∞

xk−

k=1

k=1

C 7: ,

n1

n

n2

n

∞

xk+ −

1

2

xk− +

xk+ −

xk− + · · · = yk

1

k= 1

k=1

k=1

k=n +1

n +1

k=1

C xk+ → 0 k → ∞: xn+k → 0 k → ∞ L

→

k

→

Snk

S , : , Sn

∞

S 7 7 <

k+1

k

:

, , 77 Sn

k=1

yk C

k

k

n

N

7 n

n

: n n

8 ($7$ $

k ≤

≤

k ≤

≤

, Sn

Sn

Snk+1 :

Sn

Sn

Snk L 7

C$" -A- 7 : ,

∞

(−1)k+1

k

k D

=1

1 − 2

− 4

+

3

− 6 −

8

+ · · · +

2k − 1 −

4k − 2 −

4k

+ . . .

1

1

1

1

1

1

1

1

7 7 , ,

77 S3m

m

1

1

1

1 m

1

1

1

S3m = k=1

−

−

=

k=1

−

=

S2m,

2k

−

1

4k

−

2

4k

2

2k

−

1

2k

2

S2m Q , , 77 D L, :

lim S

=

1

lim S2m =

1

S.

2

m→∞

3m

2 m→∞

% 7 :

S

= S3m +

1

, S

= S

+

1

.

3m−1

4m

3m−2

3m−1

4m − 2

C M 7 , 7 7

lim S

=

lim S

=

lim S

=

1

S.

2

m→∞

3m

m→∞

3m−1

m→∞ 3m−2

dom

f : , lim x

=

x

0

x

n =

x

n

N:

n→∞

n

0

{f (xn)} D y0 N O

7

, 7 M E

7

(

y

lim f

(

x

)) := ( {

x

n} dom

f

\ {

x

0}

0 = x x0

→

(lim x

n =

x

0

lim f

(

x

n) =

y

0))

.

n→∞

(

0

= x x0

0

dom f

y

lim f (x)) := (

ε > 0

δ >

x

→

(0 < |x − x0| < δ

|f (x) − y0| < ε)).

! ) &

0 < |xn − x0| < δn |f (xn) − y0| ≥ ε.

( ,

: ,

lim x

n =

x

0) (

x

n =

x

0)

:

, : , lim f

(

x

n)

=

y

(n→∞

C ,

n→∞

0