Дифференциальные уравнения

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»)

Троицкий филиал

Кафедра

математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению

подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 11 из 31

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Непрерывная зависимость

Теорема о непрерывной зависимости решения от правой

3

решения от правой части

части уравнения. Следствие о непрерывной зависимости

уравнения,

начальных

решений от начальных условий. Теорема о непрерывной за-

значений и параметров.

висимости решения от параметра.

Дифференцируемости

ре-

Теорема о дифференцируемости решения по параметру, сис-

3

шения по параметру, на-

тема уравнений в вариациях. Следствие о дифференцируе-

чальным

значениям.

мости решения по начальным значениям, система уравнений

Уравнения в вариациях по

в вариациях.

параметру и по начально-

му значению.

Метод малого параметра.

Теорема о дифференцируемости по параметру высоких по-

2

рядков, следствие о разложении решения по степеням мало-

го параметра.

Автономные

системы

Понятие автономной системы и нормальной автономной

2

дифференциальных урав-

системы. Кинематическая интерпретация решения автоном-

нений и их фазовые про-

ной системы. Совпадение двух траекторий. Положения рав-

странства.

новесия и замкнутые кривые.

Фазовые

пространства.

Фазовые пространства. Фазовые траектории. Критерий по-

1

Фазовые

траектории.

ложения равновесия. Связь геометрической и кинематиче-

Критерий

положения

ской интерпретаций решений нормальной системы.

равновесия.

Связь

геометрической

и

кинематической

интерпретаций решений

нормальной системы.

Фазовая плоскость

Фазовая плоскость линейной однородной системы второго

3

линейной однородной

порядка с постоянными коэффициентами. Невырожденный

системы второго порядка

случай. Вырожденный случай. Нулевые собственные

с постоянными

значения.

коэффициентами.

Первые интегралы.

Критерий первого интеграла. Функциональная независи-

4

мость первых интегралов в области, ее связь с линейной не-

зависимостью. Теорема о существовании n независимых

первых интегралов. Теорема о получении решения с помо-

щью первых интегралов. Теорема о выражении любого пер-

вого интеграла через систему n независимых первых инте-

гралов. Первые интегралы автономных систем, теорема о

существовании n-1 независимого первого интеграла, не со-

держащего t.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»)

Троицкий филиал

Кафедра

математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению

подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 12 из 31

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Теория устойчивости. Ос-

Устойчивость решения по Ляпунову, асимптотическая ус-

2

новные понятия.

тойчивость по Ляпунову, связь этих понятий. Переход от

исследования устойчивости произвольного решения к ис-

следованию устойчивости нулевого решения. Достаточное

условие устойчивости для линейной однородной системы с

постоянными коэффициентами.

Метод функций Ляпунова.

Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова.

2

Производная функции в силу системы уравнений. Теорема

Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимпто-

тической устойчивости.Теорема Четаева о неустойчивости.

Примеры.

Теорема Ляпунова об ус-

Теорема об устойчивости по первому приближению. При-

2

тойчивости

по

первому

мер. Замечание о предельных циклах. Система уравнений

приближению.

«Хищник-жертва».

Уравнения

с

частными

Линейные однородные уравнения первого порядка. Выра-

4

производными

первого

жение решения через первые интегралы. Квазилинейные

порядка

уравнения, характеристики. Теорема об общем решении ква-

зилинейного уравнения (формулировка). Задача Коши для

квазилинейного уравнения. Теорема существования и един-

ственности решения задачи Коши для квазилинейного урав-

нения в случае двух независимых переменных. Геометриче-

ский смысл условия существования и единственности.

Итого за 4 семестр

36

Итого

72

Версия документа - 1

стр. 13 из 31

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Литера-

тура

Но-

Ко-

(ссылка

Но-

Наименование и краткое со-

ли-

на ис-

мер

мер

Цель и характер занятия

че-

точник

раз-

держание занятия

ство

из спи-

ПЗ

дела

ча-

ска ос-

сов

новной

литера-

туры)

1

1

Изоклины. Составление диффе-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

ренциального уравнения семей-

тических

знаний

по соответст-

ства кривых.

вующей

лекции.

Практическое

№: 1,3,6,16(в,г),17,20,30,33; Д/З

занятие по решению задач

№: 5,7,11,15,18,32,34

2

1

Уравнения с разделяющимися

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

переменными. Задача Коши.

тических знаний по соответст-

№: 51,54,60,62,64;

вующей

лекции.

Практическое

Д/З №: 52,53,57,63,65

занятие по решению задач

3

1

Однородные уравнения и сво-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

дящиеся к ним.

тических знаний по соответст-

№:101,103,108,113,114,119,121;

вующей

лекции.

Практическое

Д/З №: 102,107,109,115,122

занятие по решению задач

4

1

Квазиоднородные уравнения.

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

№: 122,126,127;

тических знаний по соответст-

Д/З №: 123,125,128

вующей

лекции.

Практическое

занятие по решению задач

4

1

Линейные уравнения 1-го по-

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

рядка.

тических знаний по соответст-

№: 137,139,145,162;

вующей

лекции.

Практическое

Д/З №: 138,149,166

занятие по решению задач

5

1

Уравнения Бернулли. Уравне-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

ния Риккати.

тических знаний по соответст-

№:151,158,160,167,170;

вующей

лекции.

Практическое

Д/З №: 153,156,159,169,171

занятие по решению задач

Версия документа - 1

стр. 14 из 31

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

6

1

Уравнения в полных диффе-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

ренциалах.

Интегрирующий

тических знаний по соответст-

множитель.

вующей

лекции.

Практическое

№:187,190,193,203,205;

занятие по решению задач

Д/З №: 191,194,195,208,210

7

1

Метод выделений и замен.

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

№: 195,196,207,212,220; Д/З №:

тических знаний по соответст-

197,211,213,215,219

вующей

лекции.

Практическое

занятие по решению задач

7

1

Подготовка к контрольной ра-

Практическое занятие по реше-

1

[6]

боте.

нию задач и закреплению полу-

№:

301-416 (исключая уравне-

ченных ранее знаний.

ния, неразрешенные относи-

тельно производной)

8

1

Контрольная работа №1

Контроль полученных знаний по

2

теме «Уравнения первого поряд-

ка, разрешенные

относительно

производной».

9

2

Линейные однородные уравне-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

ния с постоянными коэффици-

тических

знаний

по соответст-

ентами. Квазимногочлены. За-

вующей лекции. Практическое

дача Коши.

занятие по решению задач

№:511,519,528,540,543,548,582;

Д/З №:512, 518, 531, 537, 541,

546, 585

10

2

Метод вариации постоянных.

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

Уравнения с комплексными ко-

тических

знаний

по соответст-

эффициентами.

вующей

лекции.

Практическое

№: 575,578,581,604;

занятие по решению задач

Д/З №: 577,579,580,603,605

10

2

Линейные однородные системы

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

с постоянными коэффициента-

тических знаний по соответст-

ми.

Случай

действительных

вующей

лекции.

Практическое

корней.

занятие по решению задач

№: 786,798,792,807,811,812; Д/З

№: 799,800,795,806,810

Версия документа - 1

стр. 15 из 31

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

11

2

Линейные однородные системы

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

с постоянными коэффициента-

тических знаний по соответст-

ми. Случай комплексных кор-

вующей

лекции.

Практическое

ней.

занятие по решению задач

№: 789,803;

Д/З №: 790,802

12

2

Линейные неоднородные сис-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

темы с постоянными коэффи-

тических знаний по соответст-

циентами. Квазимногочлены.

вующей

лекции.

Практическое

№: 826,831,842;

занятие по решению задач

Д/З №: 832,838,845

13

2

Линейные неоднородные сис-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

темы с постоянными коэффи-

тических знаний по соответст-

циентами. Метод вариации по-

вующей

лекции.

Практическое

стоянных.

занятие по решению задач

№: 846,847;

Д/З №: 848,849

14

2

Экспонента от матрицы.

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

№:852,854,868,872,874;

тических знаний по соответст-

Д/З №: 853,869,870,871,875

вующей

лекции.

Практическое

занятие по решению задач

15

2

Контрольная работа №2

Контроль полученных знаний по

2

теме «Линейные

уравнения и

системы с постоянными коэффи-

циентами».

16

2

Линейная зависимость. Опре-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

делитель Вронского. Составле-

тических знаний по соответст-

ние линейных уравнений с не-

вующей

лекции.

Практическое

прерывными коэффициентами

занятие по решению задач

по фундаментальной системе

решений. Теорема существова-

ния и единственности.

№:642,646,648,653,659,665,666,

671,672,677,679;

Д/З№:644,645,649,650,653,668,6

73,676,678

Версия документа - 1

стр. 16 из 31

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

17

2

Решение линейных

однород-

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

ных уравнений с непрерывны-

тических знаний по соответст-

ми коэффициентами. Поиск ча-

вующей

лекции.

Практическое

стного решения. Формула Лиу-

занятие по решению задач

вилля.

№:681,686,691,697,700,704;

Д/З№: 683 ,690,696,701,705

17

2

Метод вариации постоянных

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

для неоднородных уравнений.

тических

знаний

по соответст-

№: 702;

вующей

лекции.

Практическое

Д/З №: 703

занятие по решению задач

18

3

Элементы качественной теории

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

линейных

уравнений

второго

тических

знаний

по соответст-

порядка с переменными коэф-

вующей

лекции.

Практическое

фициентами.

занятие по решению задач

№:706,711,719,720,721,728,729;

Д/З№:707,712,718,722,727,730,7

32

18

4

Краевая задача для уравнения

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

второго порядка.

тических знаний по соответст-

№: 751,753,755;

вующей

лекции.

Практическое

Д/З №: 752,754,756

занятие по решению задач

Итого

за 3

семестр

36

19

5

Теоремы

существования

и

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

единственности.

тических знаний по соответст-

№:

вующей лекции. Практическое

221(г),222(а,в),223(в),225(б,г,е),

занятие по решению задач

228(б,г,е),229-231,233;

Д/З

№:221(в),222(б,г),223(г),225(а,в,

д),228(а,в,д),232,234

20

6

Уравнения

неразрешенные

от-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

носительно

производной. Осо-

тических знаний по соответст-

бые решения.

вующей лекции. Практическое

№: 243,244,260,262,265;

Д/З

занятие по решению задач

№:249,251,257,259,263

Версия документа - 1

стр. 17 из 31

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

21

6

Уравнения

неразрешенные

от-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

носительно

производной.

Ме-

тических знаний по соответст-

тод введения параметра. Урав-

вующей лекции. Практическое

нения Лагранжа и Клеро.

занятие по решению задач

№:269,275,278,282,287,292,294;

Д/З №: 272,279,284,290,296

22,23

7

Уравнения,

допускающие

по-

Закрепление, применение теоре-

4

[6]

нижение порядка.

тических знаний по соответст-

№:421,431,432,445,457,462,468,

вующей лекции. Практическое

470, 473,502;

занятие по решению задач

Д/З№:424,430,433,441,459,4614

63,467,470,504,505

24

6-7

Контрольная работа №3.

Контроль знаний, полученных на

2

ПЗ №19-23

25

9

Оценка точности приближенно-

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

го решения.

тических знаний по соответст-

№: 1056,1057,1060;

вующей лекции. Практическое

Д/З №: 1058,1061,1062

занятие по решению задач

25,26

9

Производная решения по пара-

Закрепление, применение теоре-

3

[6]

метру.

тических знаний по соответст-

№: 1064,1068,1071,1072; Д/З №:

вующей лекции. Практическое

1065,1067,1069

занятие по решению задач

27

9

Производная решения по

на-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

чальному условию.

тических знаний по соответст-

№: 1066,1073;

вующей лекции. Практическое

Д/З №: 1070

занятие по решению задач

28

9

Метод малого параметра.

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

№: 1075,1077;

тических знаний по соответст-

Д/З №: 1074,1078

вующей лекции. Практическое

занятие по решению задач

29,30

10

Фазовые портреты линейных

Закрепление, применение теоре-

3

[6]

систем.

тических знаний по соответст-

№:

961-963,967,969,972-

вующей лекции. Практическое

975,977,979;

занятие по решению задач

Д/З№:964-966,968,970,971,

976,978,980,998

Версия документа - 1

стр. 18 из 31

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

30

10

Положения

равновесия

нели-

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

нейных систем

тических знаний по соответст-

№: 985,992;

вующей лекции. Практическое

Д/З №: 988,991

занятие по решению задач

31

10

Консервативные системы с од-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

ной степенью свободы.

тических знаний по самостоя-

№:1004,1005,1006,1009;

Д/З№:

тельно изученной теме. Практи-

1003,1007,1008,1010

ческое занятие по решению задач

32

12

Устойчивость

по Ляпунову,

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

определение.

тических знаний по соответст-

№: 881(а),889,890;

вующей лекции. Практическое

Д/З №: 881(в),891,893

занятие по решению задач

33

12

Исследование

на устойчивость

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

по первому приближению.

тических знаний по соответст-

№:894,896,903,908,910,913,917;

вующей лекции. Практическое

Д/З№:895,897,904,907,909,914,9

занятие по решению задач

22

33

12

Функция Ляпунова.

Закрепление, применение теоре-

1

[6]

№: 924,926,928;

тических знаний по соответст-

Д/З №: 923,925,927

вующей лекции. Практическое

занятие по решению задач

34

11

Первые интегралы.

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

№:1147,1149,1151,1159,

тических знаний по соответст-

1161,1163;

вующей лекции. Практическое

Д/З№:1148,1150,1155,1160,1162

занятие по решению задач

35

13

Уравнения

в

частных

произ-

Закрепление, применение теоре-

2

[6]

водных первого порядка.

тических знаний по соответст-

№:1169,1171,1177,1189,

вующей лекции. Практическое

1195,1213;

занятие по решению задач

Д/З№:1170,1172,1178,1190,1194

,1214

36

9-13

Контрольная работа №4.

Контроль знаний, полученных

2

на ПЗ №25-35

Итого

за 4

семестр

36

Итого

72

Версия документа - 1

стр. 19 из 31

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Литерату-

Ко-

ра (ссылка

Но-

на номер в

ли-

списке

мер

Тема СРС

чест

лит-ры)

Формы контроля успе-

раз-

-во

и/или

ваемости

дела

ча-

электрон-

сов

ный ис-

точник

1

Общие понятия.

2

эл/к№2

Решение задачи на

эл/к№6

контрольной работе

[4]

1

Некоторые элементарные методы интегри-

6

эл/к№2

Решение задачи на

рования уравнений первого порядка.

эл/к№6

контрольной работе

[4]

2

Комплексные дифференциальные уравне-

2

[3]

Решение задачи на

ния.

контрольной работе

2

Линейные уравнения с постоянными коэф-

6

эл/к№2

Решение задачи на

фициентами.

эл/к№6

контрольной работе

[3]

2

Нормальная линейная однородная система с

4

эл/к№2

Решение задачи на

постоянными коэффициентами.

эл/к№6

контрольной работе

[3]

2

Показательная функция матрицы.

2

эл/к№6

Решение задачи на

[5]

контрольной работе

2

Нормальная система линейных уравнений с

2

эл/к№2

Решение задачи на

переменными коэффициентами.

[3]

контрольной работе

2

Линейные уравнения n-го порядка с

2

эл/к№2

Решение задачи на

переменными коэффициентами.

[3]

контрольной работе

3

Теоремы о нулях решений линейных урав-

2

[5], [4]

Решение задачи на

нений второго порядка.

контрольной работе

4

Краевые задачи.

4

[5], [4]

Решение задачи на

контрольной работе

5

Теоремы существования и единственности

4

[3]

Решение задачи на

решения задачи Коши.

контрольной работе

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»)

Троицкий филиал

Кафедра

математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению

подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1

стр. 20 из 31

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

1-5

Подготовка к экзамену

36

[1]-[6]

экзамен

эл/к№1-6

6

Уравнения, неразрешенные относительно

2

[5]

Решение задачи на

производной.

контрольной работе

7

Уравнения, допускающие понижение по-

2

[5], [4]

Решение задачи на

рядка.

контрольной работе

8

Непродолжаемые решения.

2

[3], [5]

Решение задачи на

контрольной работе

9

Непрерывная зависимость решения от пра-

3

[5]

Решение задачи на

вой части уравнения, начальных значений и

контрольной работе

параметров.

9

Дифференцируемости решения по парамет-

3

[5]

Решение задачи на

ру, начальным значениям. Уравнения в ва-

контрольной работе

риациях.

9

Метод малого параметра.

2

[5]

Решение задачи на

контрольной работе

10

Автономные системы дифференциальных

2

[3], [5]

Решение задачи на

уравнений и их фазовые пространства.

контрольной работе

10

Предельные циклы

2

[3], [5], [1]

Опрос, подготовка со-

общения по теме

10

Консервативные системы с одной степенью

2

[1]

Опрос, подготовка со-

свободы.

общения по теме

13

Асимптотические методы решения

5

[5]

Опрос, подготовка со-

дифференциальных уравнений.

общения по теме

11

Первые интегралы.

3

эл/к№4

Решение задачи на

[5]

контрольной работе

12

Теория устойчивости.

4

[5]

Решение задачи на

контрольной работе

13

Уравнения с частными производными пер-

4

эл/к№4

Решение задачи на

вого порядка

[5]

контрольной работе

6-13

Подготовка к экзамену

36

[1]-[6]

экзамен

эл/к№1-6

Итого

144