7. Изоморфизм групп.

Группы наз изоморфными группами, если сущ, если вып 2 условия: 1)f –биекция

2)

Отображение f назыв изоморфным или изоморфизмом

Свойства:

1св) При изоморф нейтральный эл-т из множества G отбраж-ся на множ-во . Д-во: Пустьe – нейтр эл-т G ;;- нейт эл-тG

2св) При изом отображ сим эл-т для э-та а отобр в сим эл-т.е. для эл-та f(a). Д-во: Пусть у а есть сим эл-т - нейтрсим дляf(a)

3св) обратное отобр к изом отобр так же явл изом. Д-во: - изом отобртакое что 1.- биекция 2.и тут еще чет самостоятельно доказать надо:)

- обозначение

Примеры: 1) 1. биекция 2.

2) Множ-во скалярн матриц: ;

3) Множ-во преобразований симметрий прав треуг

В этом мн-ве рассмотрим композицию и симметрическую группу степени 3: ;и т.д.)Табл кэли:

Теорема: Все цикл группы одного и того же порядка (в том числе бесконечного) изоморфны

Теорема Кэли: произвольная конечная группа порядка n изоморфна в некоторой подгруппе симетр группе степени n.

8.Кольцо. Свойства. Примеры.

Опр: не пустое множество К на котором задано две операции +,* называется кольцом. если выполн след условия: 1)а+в=в+а 2) (а+в)+с=а+(в+с) 3) 0+а=а+0=а

4)

а+(-а)=0.

5) а(вс)=(ав)с

6) а(в+с)=ав+ас Коммутативное кольцо, если операция сложения явл коммутативной, Если есть единица, то кольцо с единицей. Если число элементов конечно, то кольцо конечно, иначе бесконечно.Свойства: 1) 2)3) в кольце а-в=а+(-в) 4) в кольце можно решить ур-ние вида: а+х=в => х= в-а 5) можно определить целочисленное кратное6) Степень:Примеры: 1) (Z,+,*)- бесконечное коммутативное с единицей.

2) бесконецч, некомутат, с единицей.

3) - беск, некомут с единицей.

9.Сравнения. Кольцо классов вычетов. Делители нуля.

Пусть Назовём сравнимыми по модулюm, если a и b при делении каждого из них на m дают одинаковый остаток. ,,Примеры:m=3 .класс вычетов по модулюm. 0,1,2…m-1 ;….,m - классов вычетов. ;,.множество всех классов вычетов образуют кольцо. Примеры: 1) ;;;2);Делители нуля могут быть в кольце (К,+,*) ав- делители нуля, если выполняется ав=0, при этом. В поле не могут быть, т.к..

10. Поле. Определение. Свойства. Поле классов вычетов. Тело. Пример .

Кольцо с единицей не равной нулю, в котором каждый не нулевой элемент обратим называется телом. Коммутативное тело- поле. (F,+,*) 1) (F,+,*)-тело 2) ав=ва

Свойства:

1) 2)3)4)5)

6) а+х=в => х=в-а; ах=в => 7)na, ;

Примеры: 1) (Q,+,*) 2) (R,+,*) 3) (C,+,*) - бесконечные поля. 4) Пример конечного поля: (Z(p),+,*).

Поле классов вычетов:Теорема множество классов вычетов, где p- простое число- поле. Док-во: надо доказать, что у любого не нулевого элемента есть обратный. , покажем, что все эти числа различные и не равны 0, в этом случае данное множество будет совпадать с, это будет означать, что1)от обратного,а этого быть не может, т.к.p-простое, а m,a<p. 2) , 1<l, l<p-1 От обратного: ,не может такого быть.

Тело. Пример:

Кольцо с единицей не равной нулю, в котором каждый не нулевой элемент обратим называется телом.

(В,+,*)

1) (В,+)- абелево

2) (В\{0},*)- группа

3) дистрибутивность а(в+с)=ав+ас, (в+с)а=ва+са

Пример тела: Тело кватернионов Т={a+bi+cj+dk,a,b,c,dR} i,j,k- мнимые единицы.;