1.Вектор.Свойства.

Вектор- направленный отрезок, нулевой вектор-точка. Длина вектора- длина отрезка вектора или расстояние от начала до конца. Два вектора равные если: лежат на парал. прямых или на одной. их длины равны, напр в одну сторону. Векторы, которые лежат на парал прямых или на одной- коллинеарные, 2 коллин. вектора напр в одну сторону- соноправл., в разнае стороны- противополнапр. векторы лежащ на парал прямых – компланарные.

Операции: 1.Сложение:правило треуг, правило парал-рама.

2.Умножение вектора на число: Произведение вектора А на число наз В: 1) В колинеарен А, 2) соноправлен, есль>0 против. есль<0 3) |В|=||*|А|Теорема: пусть А0, В коллин А, тогда: В=А.Док-во: В=*|А|=> |В|=||*|А|=> ||=|В|/|А|=>Единственность: Пусть сущи=> В=||*|А|=||*|А| => ||*|А|=||*|А| , А0, ||=|| =>=2;=или=(не может).

Свойства операций: 1)А+В=В+А, 2)(А+В)+С=А+(В+С), 3)А+0=А, 4) Для АВ: А+В=0.Опр: Разностью А-В=А+(-В). 5) (А+В)=А+В 6) (+)А=А+А.Док-во: 1) иодного знака: Длина:Направл:=>;=>,}=>. 2)иразного знака: а) ||=||=-=> (+)А=0,А+А=0 => 0=0 б) ||>||,,,}=>.Длина:. 7)(А)= ()А 8)1*А=А

2.Проекция на ось.

Опр: Осью наз прямую на которой задано направл. Оно задается произвольным не 0вым вектором. Опр: Рассм множество векторов плоскости.

-проекция вектора на ось(рис)

Рассм произв ось. Пусть l прямая пересек ось в произв точке. Еще есть точка М(не лежащая на оси). Проводим через нее прямую || l. Получаем -проекцию точки на ось вектора А ||l . Опр: Рассм множество всех векторов 3-х метром пространстве. Берется ось, через нее проводится плоскость Пи. Берется М, через нее проводится еще одна плоскость || Пи. Алгебраич значением проекции вектора на ось наз число которое опр след образом:Свойства алгебр значений:

1)2). Опр: Под углом между векторами будем принимать угол между векторами равных данным и имеющими общее начало и абсолютной величине не больше 180. По часовой угол с минусом, против +. Опр: Рассм проекциб вектора на ось ||l или || плоскости Пи., если эта прямая или плоскость перпендик оси, то она ортогональна. Теорема: Алгебр значение ортогональной проекции АВ на ось вектора а Док-во:

1) , проводим ||AB из точки С (лежащей на оси), получается CD => т.к. длины АВ иCD равны =>

2) ,.

3.Базис системы векторов

. Опр: Рассм некоторую систему векторов: вектор равный:наз линейной комбинацией. Если комбинация системы =0, тока если все, система векторов- линейно независима, в обратном- зависима.Опр: Наз базисом системы векторов, такую её подсистему, что выполняется: 1) подсистема линейнонезависима, 2)произ вектор можно представить в виде линейной комбинации данной подсистемы. Опр: Число векторов в базисе- размерность системы. Теорема: Пустьбазис некоторой подсистемы, тогда любой вектор системы единственным образом может быть представлен в виде:Док-во: (от обратного,единств) Пусть =>, т.к.-базис и лин независ система> =>.Опр: Представление наз разложением вектора по базису, а- координаты вектора а, в базисеТеорема: Пустьбазис некоторой системы векторов. При сложении 2 произвольных векторов системы, их координаты в базисе складываются, при умножении вектора на число, все координаты вектора умножаются на число.Док-во: Рассмотрим 2 вектора- координатыв базисе. Умножение:- координв базисе

4.Базис множества всех векторов на прямой и плоскости.

Теорема1: Произвольный не 0ой вектор обр базис множества всех векторов прямой. Док-во: Рассмотрим любой 1)-лин независ система векторов,т.к.=>=>=>. 2) Любой произвольный вектор принадлеж прямой.коллинеарен:координата вектора в базисе=> множество всех векторов на прямой обр базис величиной 1.Теорема2:

2 произв неколинеарн вектора обр базис множества всех векторов плоскости. Док-во: Пусть произ неколин векторы. 1)лин независ система векторов, т.к. оба они не равно нулю, т.к. о коллинеарен всем. Подставл в лин комбинацию:, от обратного. Пустьпротиворечие. =>лин независ система.

2) .базис на АВ.базис на АС=>координаты векторав базисе.