5.3. Алгоритмы решения уравнений

Пусть задана непрерывная функция • Требуется опре-

делить такое значение > , чтобы f[X) = О • Мы будем считать, что корни уже отделены,т.е. известны-числа а и в такие, что в промежутке [а, 6] существует единственный ко­рень, либо известно значение Х_с , достаточно близко располо­женное к корню. Наиболее часто используются методы половинного деления, метод Ньютона, метод простой итерации.

В методе половинного деления промежуток [ й-_} о] делится точкой с - (ti i-Ь)/ ¿ на две равные части. Образуется два промежутка [а>С] и 1С, Si в одном из которых находится корень (если f(C) р-0 ). Для следующего шага промежуток уже будет вдвое меньше длины. Выбирается тот промежуток,в котором произ­ведение на концах будет ¿ О .

Таким образом,в алгоритме будут использованы две перемен­ные, которые можно рассматривать как левый и правый конец про­межутка. Для левого конца на разных шагах знак функции будет один и тот же. Таким образом,вычисляется точка с , вычисля­ется fíe) и определяется оС■ j\u.)-f(C) . Если ОС ? О , то ко­рень находится в промежутке ¿c_} 6J , т.е. правый конец оста­ется тот же самый (6) , а левый конец изменится,т.е. теперь ле­вым концом станет С . Если OL <. О , то корень находится на промежутке £■'£■. í J , и следовательно, не изменяется левый ко­нец {&), а изменяется правый (#). После анализа сС мы пришди к той же задаче, но с половинной длиной промежутка. Продолжается цикл до тех пор, пока длина промежутка не станет Ъ . Алгоритм можно записать в виде ;

_fx = f(CL)) F¿ jit); „,.í -:c¿\<£l tJ/¿; f*f(^c>i *u\f-fi'C),h¿ ; c'-j; f:-*; *á-&h¿)#4; ó'iу Mf_t .m¿: * с; Fx •■ f_t- éiij ми; **Ц- ^x~^c»

■ oiidmí,' x - (U * mf: ...

Метод простой итерации предполагает, что уравнение записа-но в виде^ v - и известно начальное значение Хс - ПодставляяК_в а правую часть, получим некоторое значение k_i , под'ставицХ_А в правую часть, получим Ж_г и т.д. Если известно Х_л , товычисляется по формуле x„rí • Следует сразу от-

метить, что Mi,Ji_2> .■■ ,Х*. не рекомендуется рассматривать как элементы массива, хотя бы потому, что мы не знаем сколько элемек­tob в этом массиве и, как правило, нам нужны не все^л.'_г, .. , а то значение, к которому стремится(если стремится) последова­тельность {Х_л} при >г—»-<■«. анализ формулы показывает, что по прежнему, старому значению приближения вычисляется новое, более точное, лучшее приближение у .

так как х,*₂- i.) • ^{т0 П}Р^И продолжении процесса "но-

вое" значение на предыдущем шаге станет"старым" для следующего шага.

условие выхода должно предусматривать два случая - схо­димость процесса и его расходимость. если процесс сходится, то для достаточно большого п iX_nrL-x_n_\ - <£ , т.е. разница между X и У для сходящегося процесса » О й можно остановить­ся, если модуль этой разности будет меньше заданной величины d . для того, чтобы расходящийся процесс обрабатывался данным алго­ритмом (часто до решения трудно определить сходимость), необхо­димо задать условие расходимости. оно обычно задается по количест­ву итераций - если оно больше У₀ (например 100), то считается, что процесс расходится.

алгоритм можно записать в виде:j. - х₀; i+ij М •' Учу (-Я ) •Mi i У~ <f(*)',d ; У -к, д -- У, yiiy(iüi ' •■ ■

часто для решения уравнения используется метод ньютона. как и в методе простой итерации в этом методе требуется знание начального, достаточно близкого к искомому корню,приближения Х₀ . X_L вычисляется по формуле х_х io - jM/j"'(-ко), где f*(X_e) -производная от функции /,' ji ) .

если известно х_л> то Х„. _t вычисляется по формуле

алгоритм метода ньютона получается из алгоритма простой итерациипри 1уХ)~!l- f (х) . рассмотрим пример. пусть исполнитель

не умеет извлекать квадратный корень, как самостоятельную опе­рацию. требуется выразить эту операцию через 4 арифметические операции. X * Си эквивалентно решению уоавнения Х^г-й. 'О. применим метод ньютона

-^lcn.'i⁼ Хщ * ч£ *в - ■*■ (Хп~* а-/.!*.).

в качестве Х₀ выберем iL прц^&*0 . алгоритм запишем в виде;

X -Щ *и:-у; (X* 1/£ )/. ;

у-х; х- у; Упу^оСЛ? і

можно показать,что этот процесс сходится при любом 0->о , поэтому блок расходимости из алгоритма простей итерации изъят. важно подчеркнуть,что если имеется койкретное уравнение, корни которого определены,то мы можем найти эти корни, независимо от вида функции /(х) ,т.е.можно сказать,что построенные алгоритмы применимы к достаточно широкому классу уравнений.

5.4. пример решения задачи 10 спортсменов принимают участие в забеге на 5000 м. из­вестно,что скорость і- -го спортсмена в момент Ь зависит от его начальной скорости V?*и степени его физической подготовки

и Определяется по йоэмуле ... ¿0) -А-У-^УТ

требуется составить прогноз распределения мест не финише.

обозначим через 1£ время преодоления дистанции і-ым спорт­сменом. 7порядочим числе (г в порядке возростания.З этом случае с какдым ^связывается определенный номер К , который является ис­комой величиной. таким образом, определиз уиелвь£,мы сведем нашу задачу к упорядочению чисел.

пусть і)-расстояние, пройденное і -)Ш спортсменом за время І , тогда числа ііявляются корнймй уравнений 5^ (^) '5000-О следовательно,определение ^ при известной функции сведено к решению трансцендентного урамнения.для его решения мы можем при­менить один из описанных выше методов.т.к. мн находим значение ¿¿ приближенно,будем считать,что погрешность не должна превышать' о.оісек. при использовании метода.половинного деления необходимо Зі -ние интервала,содержащего корень. нижней границей такого интер­вала можно взять число С, а верхней- число ЗбОС, т.к. за это время дистанция будет преодолена любим спортсменом, дл- определения 5^(0 вспомним,что

интеграл необходимо вычислять приближенно,т.к. он не выражается чорей элементарные функции.ьудем считать, что для вычисления интегра.ла достаточно промежуток интегрирования разбить на

106 чаете»! и интеграл рассматривать как сумму 100 слагаемых.

в качестве исходных данных выступает массив А , содержащий 10чисел,определяющих .

Алгоритм решения задачи состоит из четырех блоков. В первом осуществляется ввод информации, организация циклов перебора эле­ментов массива, подготовке информации для второго блока, обраще­ние к четвёртому блоку, видача результатов счета. Зо втором блоке осуществляется решение уравнения для определения t; . Для каждого L уравнение имеет свои параметры, поэтому эту часть алгоритма желательно оформить как самостоятельный елок., с изме­няющейся входной информацией.

Второй блок обращается к блоку определения функций Sitt) для различных значений і , определяемых алгоритмом второго блока. Следовательно, блек вычисления интеграла должен допускать не толь­ко изменение параметров подынтегральной функции, но и изменение верхнего предела интегрирования, четвёртый блок предназначен для упорядочения (одним из возможных методов) массива чисел.

Такие блоки с переменней входной информацией называются под­программами. Подпрограммы решают определенный класс задач и до­пускают обращение с различных мест основной программы,и возвраща­ют результат счета в основную программу.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гурова Л.И. Основы программирования,-М. :Статистика,1976.-

318с.

7. К р и н и ц к и й H.A., Миронов Г.А., Фролов Г.Д. Программирование и алгоритмические языки.-М. :Наука,1975..-ч90с.

8. Ж оголев Е.А., Трифонов Н.П. Курс программирования.-М.:Наука,1971,-ЗВОс.

СОДЕРЖАНИЕ

1. АНАЛИЗ ЗАДАЧИ 3

9. Моделирование процесса решения 3

10. Формализация процесса решения задачи 4

11. Примеры 7

2. ПОНЯТИЕ АЛГОРИТМА 9

12. Интуитивное понятие алгоритме 9

13. Некоторые свойства алгоритмов 10

14. Пример 13

2.4. Связь интуитивного понятия алгоритма и строгогоопределения алгоритма 15

3. СПОСОБЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ АЛГОРИТМОВ 16

3.1. Связь алгоритма и метода решения задачи 16

15. 3.2. Общая структура оператора и набор основныхоператоров Формульнс—словесный способ записи алгоритмов 21

16. Операторные схемы записи алгоритмов 22

17. Блок-схема - рабочий инструмент программиста 24

4. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ АЛГОРИТМОВ 29

18. Линейные и ветвящиеся участки алгоритма 29

19. Общая структура циклического процесса 31

20. Вида циклов ¹⁷

³⁴

5. ОСНОВНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬЯНЕ АЛГОРИТМЫ 36

21. Алгоритмы обработки массивов 36

22. Вычисление функций 39

23. Алгоритмы решения уравнений 43

24. Пример реяения задачи ⁴⁵ Список рекомендуемой литературы ⁴⁶

ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ

Методические указания по курсу

" ПРАКТИКУМ НА Э В М "

Состз жители: доц. И.Г.ГУБАРЬ, вссист В.Н.2ШЮВ

Редактор З.В.Иванова Техрг актор Н.Р.Алексеева

Формат 60x34 1/16. Бумага типографская # 2. Печать плеская. Усл.печ.л. 2,01. Уч.-изд.л. 2,01, Заказ * 45 Тираж 500 экз. Цена 45 к.

^редакЦионно-издательский отдел ЛГУ, г. Глепропетровск, пр. Гагарина, 72.

Ротапринт ЛГУ, г. Днепропетровск, ул. Генерале Пушкин?, 4