ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по курсу „ПРАКТИКУМ на ЭВМ"

\

ДНЕПРОПЕТРОВСК, ДГУ 1980

Министерство высшего и среднего специального образования СССР

Днепропетровский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет имени ЗОй-летия воссоединения Украины с Россией

Кафедра математического обеспечения ЗВМ

ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ Методические указания по курсу "Практику* не ')?

Ллєнропетровск, ДГУ

Г9Є0

Яаннне методические указания предназначены для формирования навыков разработки и записи алгоритмов решения задач. В указаниях рассмот­рены следуйте вопросы: Анализ задачи, понятие и и-зобрякение алгоритма, структурные элементы алгоритмов и основные вычислительные алгоритмы. Методические указания рассчитаны на студентов, изучающих курс программирования.

I. АНАЛИЗ ЗАДАЧИ

1.1. Моделирование процесса решения

При решении задач прикладной математики всегда приходится иметь дело с реальными явлениями и их свойствами - движение тел, различные производственные процессы, явления общественного разви­тия и так далее. Считается, что мевду отдельными элементами за­дачи существует взаимосвязи, которые могут быть известны или не­известны исследователе. Основными источниками знаний о взаимосвя­зях являются фундаментальные законы, которым подчиняется дан­ные явления: законы сохранения, законы неразрывности, законы взаимодействия и другие.

Обычно задача первоначально формулируется в словесном ви­де - определить как связаны интересующие нас элементы: например, определить объем сооружения по известным его измерениям, опре­делить движение тела в заданной среде при известных приложенных силах, предсказать выходную величину процесса и т.д.

Первым этапом анализа является построение математической модели исследованного явления. При этом мы отвлекаемся от тех свойств явления, которые не используются в данной задаче (на­пример, цвет здания или материал из которого оно построено,, химический состав среды в которой движется тело), выделяя инте­ресующие нас в данной задаче геометрические или количественные характеристики, подменяем реальное явление абстрактной моделью -вместо дома рассматриваем параллелепипед, вместо движущегося реального тела - .движение точки, на которую действуют определен­ные силы. Можно сказать, что переходах математической модели мы количественную характеристику явления заменяем математической ве­личиной, с которой будем в любое время связывать одно число. Взаимосвязи между характеристиками явления заменяются взаимосвя­зями между соответствующими им математическими величинами. Пра­вильно составленная математическая модель хороао описывает (т.е. с достаточной степенью точности) количественные взаимосвязи между характеристиками реального явления. Таким образом,задача, сформулированная Для реального явления,заменяется задачей для метематической модели явления.

Наиболее существенной выгодой от такого перехода является использование одних и тех же математических методов для анализа

^щ

различных по природа моделей. Так, например, модель движения грунтовых год, модель распределения потенциала на плоском про­воднике, модель двидения воздуха описываются одними и теми же математическими соотношениями.

Рассмотрим структуру данных в модели. Прежде всего,отме-тим, что элементами задачи выступают различные понятия,связан-ные с процессом - сила, упругость, масса, коэффициент при неиз-вестном во второй степени и т.д. При построении модели мы этипонятия рассматриваем только с точки зрения тех величин, которыеони могут принимать в процессе решения задачи. В модели анало-гом понятия является переменная, которая характеризуется своимименем (обозначением) и значением, закон изменения которогоопределяется моделью и исходными данными. Очень часто перемен-ные объединяются в массив (совокупность), которому присваивает-ся одно имя. Массив характеризуется количеством координат, ин-дексов, которые однозначно определяют любой элемент массива.Количество координат называется размерностью массива. Элементмассива обозначается как переменная с индексом - имя массивас указанием индексов. Например, Л , ь ■ , с . и т.д.

1.2. -Нормализация процесса решения задачи

Моделирование является хотя и важным, но не г^ззательным этапом постановки задачи, так как очень чаото задача сразу ста­вится как математическая.В математической задаче величины можно разделить на известные и неиз естные (подлежащие определению). Очень часто величины зависят от времени,другого параметра, т.е. представляют собой функции. В этом случае по предыстории известных величин требуется определить значение искомой вели­чины в данный момент.

Мы можем пседставить процесс решения задачи как после­довательное преобразование исходной информации х в выходную

3 . Насяду с известными данными исследователь обладает определенными знаниями об исследуехо* тлении- различные опре­деления, теоремы, формулы и так далее. Каждому определению (как правило) соответствует какая-то величина. Теоремы, форму­лы позволяют опре.:елить зту величину через другие величины. Если от исходных данных исследователь может построить цепочку вспомогательных величин, через которые может сыть выражена в

- 5 -

явном виде искомая величина, то эта цепочка определяет метод решения задачи. Таким образом, процесс решения задачи мы рас­сматриваем как дискретную последовательность шагов. Такая последовательность может быть не единственной.

Обычно о данном явлении нам известно очень много и па основании исходных данных ( ) мы можем непосредственно об­разовать переменные первого уровня ("•'") (т.е. такие перемен­ные, которые выражаются только через исходные данные), ^ис^поль_ зуя исходные данные и переменные \ можно строить и.' и т.д.

Такое множество переменных и определяет какие данные мы можем получить на основе исходных, £-максимальный уровень -за сколько шагов.

Следует отметить, что количество связей (переменных) за­висит как от свойств объекта, так и от объема знаний исследова­теля о данном объекте и представляет обычно очень большое чис­ло. Еще больше можно составить путей, только некоторые из кото­рых ведут к цели.

Анализ задачи (построение и⁽' ) продолжается до тех пор,пока на каком-то шаге У . Такой метод называется методом

прямого поиска. В качестве исходной точки можно взять искомую информацию и строить вспомогательные переменные ■С¹*'.-Процесс продолжается до тех пор,пока 1/^ - X . Такой метод на­зывается обратным поиском. Обратный метод приводит к меньшему количеству вспомогательных переменных ( к более короткому пути решения), однако получение такого решения является более слож­ным. Наиболее оптимальным является комбинированный метод, когда исходная задача заменяется задачей между ^^гС'⁾ и и '³⁾ . Основ­ным вопросом при решении задачи являются выбор шагов, выбор подзадач данной задачи с убывающей сложностью,т.е. таких для решения которых требуется все меньшее количество шагов ( вспо­могательных переменных). Очевидно, для этого исследователь дол­жен иметь возможно большее количество сведений о данном явлении, т.е. с увеличением объема знаний увеличивается возможность по­лучения решения задачи.

Но объем знаний (понятий, формул) это только одна сторона, которая является решающей при одношаговом решении. В противном случае ( т.е. для 1многошегового решения) решающим является фактор выбора вспомогательных переменных - выбор пути решения

(одного или нескольких прпвильных из огромного количества воз­можных). Для этого исследователь должен обладать умением, опы­том выбора правильного пути, что обеспечивается умением распо­знавать ситуации более "близкие" к искомой,чем исходная. Такое умение развивается только при значительном количестве самостоя­тельно решенных задач с последующим анализом решения. Без после­дующего енализа почти нет закрепления, не вырабатывается навык классификации, распознавания задачи, что является самым сущест­венным для выоора метода.

По степени близости (подобия) задачи можно разделить на три группы - тождественные, эквивалентные и однотипные. I. Тождественные задачи. Две задачи называются тождественными, если у них совпадают по значениям все исходные и искомые пере­менные. Например, решение одного и того же уравнения, одного и того же треугольника и т.д. Решение тождественных задач представляет повторение уже проделанного пути для его закрепле­ния.

2. Эквивалентные задачи. Задачи будем вазывать эквивалентными, если они совпадают с точностью до значений и обозначений пере­менных. Например, решение любого квадратного уравнения, реше­ние треугольника по двум сторонам и углу между ними. Эквивален­тные задечи имеют один и тот же путь решения, одни и те же вспомогательные переменные. Эквивалентные задачи являются аб­стракцией тождественных задач по значениям переменных и по их обозначениям.

Щ Однотипные задачи. Пае задачи судем называть однотипными,

са': ким применим один и гот же математический метод решения. ••л"от-:т'ые задачи являются обобщениями (абстракцией) эквивалент­ных зоД'іч по информации в определенных классах. Задачи этого типа г--ч'сотся определенном математическим методое, либо объе­диняют определенные математические зьдгчи. Например, решение г: ой- ,л.;ьного треугольника, решение произвольной системы линейных алгебраических уравнений, дифференцирование заданных функция, вычисление значений по заданным формулам, вычисление определенного интеграла методом трапеций и т.д.

іїо* решети задачи желательно вспомнить не решалась ли тоаде:-Тве<ыая задача. Если нет, то не з,.ием ли мы такую же экви-в»-.-' нтную задачу, если нет, то не можем ли мы нашу задачу от­нести г. ка/ому-то типу задач.

Для сложных задач это, как пэавило,*невозможко и в этом

•случае наиболее действенным методом является разбиение предложенной задачи на ряд подзадач известного типа, которые уже можно свести к определенным эквивалентным задачам. Такое разбиение зависит от зна­ний и опыта исследователя и, к сожалению, нет универсальных мето­дов оазбиения произвольных задач. Иногда приводит к цели замена данной задачи другой, более общей (но с известным решением) при конкретных значениях параметров. Фактически и этот прием является разложением задачи на подзадачи. Следует остановиться ещё на введе­нии вспомогательных параметров. На каком-то этапе мы предполагаем, что величина известна и решаем задачу в этом предположении. После : выражения искомых величин через "параметр" (неизвестную величину) мы её определяем или она "исчезает", если задача однородная относи­тельно этого "параметра".

1.3. Примеры

Пример I. Из прямоугольного треугольника с острым углом оС вырезан полукруг максимального радиуса. Определить отношение пло­щадей полукруга и треуголвника. В качестве исходной информации за­дачи выступает форма геометрических фигур и угол треугольника. По исходных данным можно только определить остальные углы треугольника. Перейдем от данной задачи к новой, в которой кроме указанных данных задан один катет (например, тот который лежит против угла Ы,) . В этой задаче треугольник имеет линейный элемент и два угловых, сле­довательно, по этим данным можно определять любой элемент треугольни­ка ( в том числе и его площадь) - это первая подзадача.

Второй подзадачей является определение положения искомого по­лукруга. Очевидно, радиус будет максимальным, если диаметр полукруга лежит на одной стороне треугольника и окружность касается двух дру­гих (докажите это). Из трех экстремальных полукругов выбираем наи­больший, опирающийся на гипотенузу (докажите это).

Теперь, когда положение полукруга определилось, в третьей за­даче определим его радиус и искомое отношение.

Анализ покаэяэает, что в решение не входит величина катета и,следовательно,решение второй задачи будет решением и основной задачи. Если бы решение зависело от величины катета, ги иилидиая задача не имела бы решения.

Решение можно записать в виде 1.

Логической предпосылкой такой замены задач является пропорциональное уве­личение радиуса при увеличении линей­ного размера треугольников.

(скорость) будет падать с увеличением времени.

Прежде всего,надо выразить высоту воды как функцию време-ни. Пусть прошло -Ь единиц времени, объем воды TT* J-t . С дру-гой стороны V - ЖХ^г 6/J . но X - Ь * • Следова-тельно, (U = -Т^г?²^ /3, • Отсюда можно определитьфункцию Ш={3ц,- ^>4с ■£/&}^/3. Момент времени *«\ при котором

L - Ао, Определится ёо = S"По * /•

Следовательнс,

_{dk\ VJ-. 7? i €Ж±-»}

Пример 2. Правильная четырехугольная пирамида с двухгран­ным углом при основании равным и , объемом У вписана в нар. Определить радиус шара.

В этом примере целесообразно использоватьобратный метод анализа задачи. Наиболееочевидным треугольником, содержащим ис-комый радиус является 6ЛЗ'(33 '= 2Л).Задача была бы решена,если бы былоизвестно ребро и угол Аь'О .

Таким образом,иы приходим к трем задачам-

^Рио- 1*2 определение ребра, определение' I Л^О

и определение диаметра. Легко получить, что сторона основания

определяется а,- {2 4 4р ос)*'*_} &= (¿¿£-=¿/2, 4у(*А±'0):

Д х £ /('2 • со^) = си {1+ 2 Ыу^г<£)/(2с^о<).

Таким образом,мы получим возможность решить задачу весьма ко­ротким методом.

Пример 3. В прямой круговой конус С углом при вершине 2чС наливается вода со скоростью *с . Определить скорость подъе­ма воды при высоте Ко .

Прежде всего,уточним задачу - за единицу времени добавляется один и тот же объем воды. Следовательно,с течением времени высота в конусе Судет увеличиваться, но так как плошадь коуга увеличивается, то кожно предположить, что темп увеличения

Этот же результат можно пшучить существенно быстрее,если воспользоваться тем,что \ ³ 1у £ 4 р т.к. точка,в которой требуется определить производную, зависит от £

2. ПОНЯТИЕ АЛГОРИТМА 2.1. Интуитивное понятие алгоритма

В своей повседневной жизни чедове! постоянно сталкивает­ся с правилами.предписывающими последовательность действии, ведущих к достижению некоторого результата. Это аогут быть пра­вила пользования телефоном-автоматом, умножения в столбик, рецепт приготовления какого-нибудь блюда, метод решения квад­ратного уравнения и многие другие. Эти правила могут храниться в голове людей и передаваться из поколения в поколение,от стеэших к младшим (например, профессиональные секреты в древ­ности). Они могут быть написаны на телефоне-автомате, напеча­таны в поваренной книге или учебнике арифметики. Эти правила различными людьми в различных ситуациях могут называться по-разному. Например, рецепт, метод, способ, процесс, инструкция, программа и др. Но математик скажет, что все это примеры алго­ритмов. Мы сталкиваемся с ними на каждом шагу, может быть, даже не замечая этого. .Невозможно представить жизнь человека без использования алгоритмов, которые может быть, самыми надежными путями ведут его к решении сложнейших проблем.

Также невозможно представить математику без понятия алго­ритме. Это понятие возникло и развивается вместе с математикой. Еяе в древности стели возникать различные вычислительные про­цессы, которые позволяли вычислять искомые величины путем чисТо механического применения определенных правил и инструкций «. определенны* исходным данным. Их стали называть алгоритмами.

Термин алгоритма происходит от имени средневекового узбек­ского математика Аль-Хорезми, который еще в 825 году дал прави­ло выполнения четырех арифметических действий в десятичной сис­теме счисления. Их называли алгоризмами. Со временем слово алго-ризм превратилось в слово алгоритм и в это понятие стали вкла­дывать всякое точное предписание о выполнении в определенном по­рядке некоторых дегствий для достижения нужного результата. Вплоть до 30-х годов нкшего столетия это понятие алгоритма в основе смей не менялось, хотя приобретало все большую и бОЛоЯуВ отчетливость. Ко все же такое представление ос алгоритме оста­ется интуитивным, т.е. основанным на обширном человеческом опы­те и является еще недостаточно четким и строгим. И это естест­венно, так как понятие алгоритма в широком смысле относится к ос­новным понятиям математики,, таким как:число, множество, прямая и т,д. и. не может быть сведено к другим понятиям. Содержание этого понятия непрерывно меняется,обогащается по мере накопле­ния человеческого опыта. Все же можно заметить нечто постоянное, неизменное, неотделимое от алгоритма и что в будущем может толь­ко ^таногиться яснее, богаче. Рассмотрим такие характерные для алгоритма черты. ; •

V . 2.2», Цекрторае свойства алгоритмов

Прежде всего бросается: в глаза, что каждый алгоритм предполагает наличие некоторых.исходных данных, преобразуя ко­торые с помощью определенной цепочки действий, он- приводит к искомому результату. Всякое,простое дейбтзие, определенное ьягооитмом, называюсь в^гом- алгоритме.' Таким образом, 'алгоритм разбивает псоцесе получения искового результата но дискрет--иув последовательность действий .(вйгое), шшмняем'их над исход­ными (для данном лага) 'данными. Для алгоритма характерно,,что ста последовательность является конечной., У то значит»' что' ляго-рггм заканчивает свое работу через конечное число вагокя ' го число может сыть очень б'ольиим и можно не зкатъ заранее <&ол\ -ко необходимо выполнить шагов, чтоои для иоикретногз ИСХОДИЛИ

данного получить результат. Говорят, что алгоритм обладает свойством конечности.

В процессе выполнения иагов алгоритма получаются некото­рые промежуточные данные. Можно сквзеть, что алгоритм опреде­ляет процесс последовательного построения величин таким оора­зом, что для одного вага они являются выходными данными, а для следующего - исходными. Для первого шага существует система ис­ходных данных, внешняя по отношению к алгоритму (т.е. такие данные вводятся, задаются, считаются известными и т.д.). Для последнего шага выходные данные являются искомыми результата­ми. Свойство представимости алгоритма в виде дискретной после­довательности шагов называется дискретностью.

Переход от одной системы величин к следующей должен быть достаточно простым и локальным, т.е. наг алгоритма должен быть элементарным. Если же допускать неограниченную сложность иьгоъ алгоритма, можно прийти к выводу, что алгоритмом нужно считать СЯКре требование решить какую-нибудь задачу, требуя только, чтобы сна имела решение. Но что значит потребовать, чтобы шаг алгоритма был простым и локальным. Ведь то, что просто инжене­ру может быть сложно для старшеклассника и,наверняка,будет сов­сем непонятно первокласснику. Значит алгоритм, написанный для инженера, не будет алгоритмом для первоклассника, так как он, лапример, не умеет вычислять определенный интеграл. Мы приходим к выводу, что алгоритм нельзя рассматривать оторвано от испол­нители алгоритма.

Чтобы исполнитель мог выполнить алгоритм, необходимо,, чтобы алгоритм был понятен для исполнителя. Иными словами, ис­полнитель должен знать, уметь, быть в состоянии выполнить лю­бви лег алгоритма. То есть для исполнителя выполнение алгорит­му представляет собой задачу, которую он должен уметь решать. Полная ясность будет лишь тогда, когда известно, что надо де­лать, чтобы выполнить алгоритм. Можно сказать, что исполнителю должен быть известен алгоритм выполнения алгоритмов, которые поступают ему для выполнения.

Значит, исполнителем алгоритмов может быть чело-пик¹ ей знает как ввполнять алгоритм, животное, если оно специальным образом дресироваяо, механическое устройство, если оно соответ­ствующим образом устроено.

Но если алгоритм способно выполнять животное или даже ме­ханическое устройство, это значит, что исполнитель алгоритма не только не нуждается в какой-то фентезии, но, более того, алго­ритм не оставляет место для проявления этих качеств в порядке его выполнения, если исполнитель ими обладает. Выполняя алгоритм,дейст­вует механически. И это является одним из важнейших качеств алго­ритма. После того, как алгоритм создан, выполнение его становится скучной, однообразной и утомительной работой, неоправданным рас­ходом человеческой энергии. Такую работу нужнее всего и легче все­го, переложить на плечи автоматов. Мы живем в эпоху научно-техничес­кой революции, одной из важнейших черт которой является автоматиза­ция труда. Автоматизация освобождает человека от бремени однообраз­ной, утомительной работы, оставляет для него самое главное, самое существенное, требующее разносторонних знаний, изобретательности, интуиции, творческого порыва и вдохновения, усилий ума, воли, эмо­ций, выработанных многовековой историей общественного развития. За человеком остается логическая деятельность на высшем этапе обобще­ния, ведущем к сознательному принятию тех или иных наиболее ответ­ственных решений, программированию работы автоматов. Именно для создания новых алгоритмов понадобятся все эти человеческие качест­ва. Эта работа не под силу ни одному другому существу на земле. Богатство, человечества во многом будет определяться совершенством набора таких алгоритмов, которыми оно располагает. А исполнение алгоритмов будет поручено механическим и электронным устройствам.

Применяя один и тот же алгоритм к одним и тем же исходным дан­ным, мы вправе ожидать одних и тех же результатов. Если же провести более детальный анализ процесса выполнения алгоритма путем фикса­ции промежуточных результатов, получаемых после каждого шага, можно заметить, что для одних и тех же исходных данных возникающие после­довательности одинаковы. Более того, действия,выполняемые на каждом вагу, однозначны незавиоимо от исходных данных алгоритма. Отсюда следует, что система величин, получаемая после выполнения рассмат­риваемого шага, однозначно определяется системой величин, получен­ной всеми предыдущими шагами. Такая особенность алгоритмического процесса называется определённостью (детерминированностью) алгорит­ма.

Алгоритм, как правило, строится для различных вариантов исход­ных данных. Говорят, что для каждого алгоритма существует некоторый класс допустимых исходных данных. Свойства допустимых всех исход­ных данных из данного класса называются массовостью алгоритма.Причем число элементов в этом классе может быть бесконечным или конечным и даже нулевым. Сам алгоритм и допустимые исходные данные всегда

доводятся до исполнителя в некоторой форме. Часто этой формой является текст на некотором языке. Чтобы не возникало неопре­деленности, этот язык должен быть строгим и формальным. Как правило, каждый алгоритм связан только с двумя языками: на од­ном он сформулирован сам, а предположения другого являются до­пустимыми для него вариантами исходных данных. Первый язык обычно называют алгоритмическим, а второй - языком операндов (языком данных).

Если алгоритм, отправляясь от некоторого допустимого входного данного, приводит к результату, то говорят/ что алго­ритм применим к- этому данному. Если же данное допустимо, но результат получить нельзя,то говорят, что алгоритм к этому дан­ному не применим. Неприменимость алгоритма к допустимому исход­ному данному будет заключаться в том, что он или никогда не закончится или в процессе своего выполнения натолкнется на пре­пятствие.

При реальном выполнении алгоритма, исполнитель на его вы­полнение затрачивает определенные ресурсы (время, память и т.д.) и эти ресурсы,как правило, ограничены.

И если не учитывать реальные возможности исполнителя, а требовать лишь, чтобы алгоритм закончил свою работу за конечное число шагов, то можно говорить лишь о потенциальной выполнимос­ти алгоритма. Например, известны многие алгоритмы, основанные на прямом переборе. Они, как правило, требуют конечного, ко очень большого числа шагов для получения результата. Так существует алгоритм выбора наилучшего хода при игре в шахматы. Но для вы­полнения одного хода даже при использовании грандиозных возмож­ностей современной вычислительной техники потребуются сотни лет работы ЭВМ. Ясно, что такой алгоритм з настоящее время не имеет сколько-нибудь существенной практической ценности. Поэтому на практике- важна реальная выполнимость алгоритма.

2.3. Пример

По заданным действительным коэффициентам квадратного трех­члена определить его корни.

Сначала уточним постановку задачи. Прежде всего,напомним, что коэффициент при X... должен быть отличен от нуля,и решение та­кой задачи существует в классе комплексных чисел. Исходными ден­ными являются всевозможные тройки действительных чисел Л , Ь , С 1*0

Результатами являются либо два действительных корня, либо действительная часть и коэффициент при мнимой части комплексных корней. Результатом является также указатель типа корней.

Со школьного курса известно, что для действительных кор­ней х_{1г⁼ (~^{в ±} -чж?)/^2Л) _{> а мя} комплексных-в/

Х_г= {чж - в*/, где Х_х -действительная часть; _!с_г - коэффициент при мнимой части. Указанные формулы опреде­ляют метод решения задачи. Будем считать, что мы можем опериро­вать только с действительными числами. Свойство применимости алгоритма к любой тройке (т.е. для любых таких троек алгоритм выдает результат) определяет его массовость.

Так как существуют случаи комплексных и действительных кор­ней, то, очевидно,должны существовать части алгоритма для обра­ботки этих случаев (различные пути реализации - различные алго­ритмические процессы для различных вариантов исходных данных).

Выбор ветви определяется знаком дискриминанта, вычисление которого является первым шагом алгоритма: Ъ = - %АС. При Ь^О должны вычислять комплексные корни, а при Ъ> ^-действительные. Следовательно, вторым шагом алгоритма является проверка знака и выбор пути. На третьем шаге мы определяем действительные кор­ни и задаем признак действительных корней (например, Р = 2). На шаге 3 ' определяем части комплексных корней и задаем при­знак (Р ■ 0). Четвертый шаг реализирует выдачу результатов (^.^, ^р)-

Для каждой конкретной тройки мы будем идти только по одно­му из двух возможных путей:

1. шаг I — таг 2 — шаг 3 >— шаг ч;

2. шаг I -«-шаг 2 —шаг 3 -—-шаг 4.

Зидно, что в различных путях имеются общие части (шаги I,

?,ч).

Очевидно,построенный алгоритм является конечным, дискрет­ным, результативным.

При составлении алгоритма мы считаем, что исполнитель мо­жет реализовать любой шаг (в том числе 3 и 3).

Если исполнитель умеет выполнять только Ч арифметических действия, то в этом случае шаги 3 и 3 являются невыполнимыми. Следовательно,для такого исполнителя приведенная схема не явля­ется алгоритмом.

Эти шаги содержат самостоятельную задачу. - извлечение

квадратного корня с заданной погрешностью из положительного числа D • Наиболее просто это реализовать следующей схемой:

Шаг 5 - значению Z задается Ъ . '

Шаг 6 - вычисляется Z¿ ( по формуле (Z +Ъ/2)/2).

Шаг 7 - проверяется, если I ¿ - Z_si ¿ ¿ , то результатом является Z_x , если | 2 - ¿i I * { , то ¿ - г₁ и повто­ряется схема,начиная с шага б.

Можно показать, что алгоритм конечный, т.е. для любого ¿?c наступит момент, когда ¡¿-¿¿¡^ á

Возвратимся к постановке задачи. Так как тройки чисел яв-ляются внешними данными, то среди них могут оказаться и такие,у которых В этом случае схема не является алгоритмом,

т.к. вычисление по формулам осуществить невозможно. Для расши­рения области исходных данных мы должны дополнить алгоритм третьей ветвью - решение линейного уравнения. Эта ветвь содер­жит шаги:

lar 8- если 8*0 , то определяется корень X_t = - С/6 и задается £>= і . Переход на шаг Ч .

Шаг 9- если С = о , то задать Р- 3 (решение неопре­деленное). Переход на шаг Ч.

lar Ю- Р = Ч (решение не существует). Переход на шагч.

Шаг 0- если J = О , то перейти на шаг 8, если не равно, то перейти на шаг I.

Выполнение алгоритма начинается с шага 0.

2.ч-. Связь интуитивного понятия алгоритма и строгого определения алгоритма

Свойства алгоритма, рассмотренные выше, дают некотороецельное представление о понятии алгоритма. Такое представлениеоб алгоритме известно всем математикам и долгое время такогопонимания алгоритма хватало для практики. Действительно, хотяэто понятие и не строгое, но оно настолько ясное, что у мате-матиков не возникало сколько-нибудь существенных расхожденийв том, считать предложенную совокупность правил алгоритмом илинет. \

Но в начале'XX века появилась необходимость в строгом математическом определении понятия алгоритма. Одно дело - дока­зать существование¹ алгоритма, другое - доказать отсутствие ал­горитма. Первое можно сделать путем построения процесса, ре­шающего задачу;в этом случае достаточно и интуитивного понятия алгоритма, чтобы удостовериться в том, что описанный процесс есть алгоритм. Доказать несуществование алгоритма таким путем невозможно. Для этого недостаточно знать, что такое алгоритм.

В 20-х годах XX века эта проблема стала одной из централь­ных математических проблем. Решение этой проблемы было получено в середине 30-х годов в работах математиков Гильберта, Гёделя, Чёрча, Клини, Поста и Тьюринга. Эти работы положили начало те­ории алгоритмов, которая в настоящее время имеет огромное зна­чение и,в первую очередь, служит теоретической основой при созда­нии ЭВМ и их математического обеспечения.

Формальное определение понятия алгоритма было получено в терминах рекурсивных функций, в терминах машин Тьюринга-Поста и позднее в терминах нормальных алгоритмов Маркова. Как оказалось, эти три определения алгоритма являются эквивалентными. Это зна­чит, что научные результаты, полученные с помощью алгоритмов, изученных в одной из этих теорий, могут быть также получены с помощью алгоритмов, изученных в любой другой.

Связь любой из этих теорий со всеми алгоритмами в интуитив­ном смысле осуществляется с помощью основных тезисов этих тео­рий. Суть этих тезисов заключается в том, что они утверждают о совпадении класса алгоритмов в интуитивном смысле с классом ал­горитмов, определенных в каждой из этих теорий. Эти тезисы не­доказуемы, но до сих пор они хорошо подтверждались практикой. То есть любой из практически полученных алгоритмов можно было записать в терминах любой из этих теорий.

3. СПОСОБЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ АЛГОРИТМОВ 3.1. Связь алгоритма и метода решения задачи

После того, как задача поставлена математически, необходи­мо разбить нашу задачу на ряд подзадач, решать которые мы уже умеем,т.е. знаем метод их решения. Таким образом формируется некоторый план решения всей задачи. После этого можно приступать к разработке алгоритма.

Переход к алгоритмизации решения задачи связен с дальней­шей конкретизацией возможного исполнителя. Если метод ориенти­ровен на достаточно широкий класс пользователей, обладающих раз­носторонними знаниями и возможностями, то алгоритм предполагает, что исполнитель способен выполнять довольно ограниченный набор операций, но выполняет их чисто механически, в строго определен­ном порядке, который и задается алгоритмом. Именно в этом кроет­ся основное различие между методом и алгоритмом решения одной и той же задачи.

Значит,прежде чем приступать к составлению алгоритма реше­ния задачи необходимо четко определить набор элементарных опера­ций, которые мы вправе использовать для описания решения задачи, т.е. необходимо выбрать исполнителя или некоторое множество ис­полнителей алгоритма.

Набор элементарных операций и исполнитель взаимосвязаны. Если мы начинаем использовать некоторые операции, не предусмот­ренные нами ранее, то тем самым мы заменяем допустимых исполни­телей. В примере об алгоритме решения квадратного уравнения мы можем в шаге 3 и 3'использовать операцию извлечения квадратного корня или расписать процесс извлечения квадратного корня вплоть до четырёх арифметических действий (шаги 4-7). В зависимости от этого будет различным набор элементарных операций, а значит и исполнитель алгоритма.

3 дальнейшем такой элементарный шаг алгоритма мы будем называть оператором. То есть оператор - это некоторая операция (действие, шаг), которую на данном уровне детализации можно рас­сматривать как единое целое, и эта операция может быть выполне­на исп^г .ли" лем

3.2. Общая структура оператора и набор основных операторов

От постановки задачи до создания алгоритма её решения и по­лучения результатов проходит, как. правило, значительное время. От первых набросков алгоритма.которые зарождаются в голове чело­века, до законченного алгоритма, пригодного к выполнению, алго­ритм претерпевает существенные изменения. Любой промежуточный этап создания алгоритма и его окончательный вариант должны быть каким-то способом записаны.

Существуют различные способы изображения алгоритмов, но все они основаны на представлении алгоритма в виде последова­тельности элементарных действий, т.е. в виде последовательное­ти оперйтор_ов> Чтобы изображать алгоритмы, надо, прежде всего, уметь изображать операторы, из которых строятся алгоритмы.

Разрабатывая алгоритм решения квадратного уравнения, мы -за­метили,что каждый оператор может иметь имя (шаг I, шаг 2, и т.д.) для ссылки _{на него И}з другого места алгоритма, и, как правило, содержит о_{писание} определенных действий (например, вычисление дискриминац_{та п0} формуле Т) = 6 - ЧЛС )„ Кроме этого каждый опера­тор должен указать исполнителю алгоритма своего преемника, т.е. имя оператрра, который должен быть выполнен вслед за этим опера­тором.

Таким образом, действие оператора можно разделить на преоб­разование информации и выбор преемника (передача управления дру­гому оператору). Часто операторы выполняются последовательно, т.е. преемц_иком является следующий по написанию оператор. В этом случае имя преемнике не указывается. Но есть операторы, в которых преемник зь,д_ается обязательно (например, шаг 2,7,9,0).

3 дальнейшем будем считать, что всякий оператор состоит не солее чем 1,3 трёх частей (полей):

^ ^п<зле имени > : <: поле описания действия 7-і имя преемникам Наличие всь_х трёх полей необязательно,но наличие хотя бы одной части в операторе необходимо.

Гели Ьператор не содержит поле имени, то будем его называть неименованц_ым. Если же оператор состоит из одного имени, то бу­дем называть _ег0 пустым.

Операторы, основным назначением которых является выбор пре­емника, называются операторами перехода. Только в таких операто­рах 'удем Допускать имя преемника, т.е. кы несколько сузим поня­тие оператора, считая что оператор или осуществляет преобразова­ние информации (следующим выполняемым оператором является следую­щий по напи,_Санию), или определяет имя преемника (операторы перехо­да^.

Ориентируясь, в основном, на задачи вычислительного характе­ра, введем н,а(5ор допустимых в дальнейшем операторов.

Отмети,_{м> ЧТ}о процесс решения задачи состоит во взаимодействии зчказчи.ча и, исполнителя алгоритма. Заказчик подготавливает алго­ритм в дост_Гу_ПНоу ддя исполнителя виде и снесжает его исходными данными. '••'с;:,олнитель в соответствии с алгоритмом обрабатывает исходные де._ННуе и зыдает результаты в удобном для заказчика виде.

Таким об пазом, заказчик для исполнителя выступает в качестве внешней сре.ды, откуда к нему поступают исходные данные для оора­ботки, и куда он должен выдать результаты этой обработки. Вся же обработка информации происходит во внутренней памяти, где исполнитель хранит алгоритм, исходные и промежуточные данные, сами результаты.

Внутренняя память состоит из определенных полей, ячеек па­мяти, предназначенных для хранения информации. Будем считать, что с именем любой переменной, используемой в задаче, связано место в памяти , где хранится ее текущее значение.

Так как вся обработка происходит во внутренней памяти, первое, что необходимо сделать исполнителю, это ввести исходные данные во внутреннюю память на места соответствующих переменных. Эту работу выполняет специальный оператор ввода (обозначим ВВОД). После обработки исходных данных полученные результаты необходи­мо вывести во внешнюю среду. Это будет делать оператор вывода (ВЫВОД). Наиболее часто мы будем требовать печать результатов на бумаге. Такой оператор вывода назовем оператором печати (ПЕ­ЧАТЬ). В этих операторах указывается список имен переменных, значения которых необходимо ввести или вывести (например, ВВОД (А.В.С), ВЫВОД (XI.X2.X3), ПЕЧАТЬ (Х1.Х2.Р)).

Далее рассмотрим группу арифметических операторов, осущест­вляющих преобразование информации:

1. Оператор изменения приращения, модификации (М). Этотоператор по определенному закону меняет значение некоторой пе-ременной. Как правило,оператор модификации задается в виде

/--/' + а- . Эту запись следует понимать следующим образом: к старому (прежнему, текущему) значению переменной прибавляется значение выражения а и полученный результат замещает текущее значение. Для подчеркивания этого факта мы иногда будем исполь­зовать запись /:= \ + а~ или i ■«— ) + о- вместо записи \ ~ и-а. (наиболее часто используемой).

2. Общий арифметический оператор (А) вычисляет выражениеи запоминает его результат в качестве значения некоторой пере-менной. Частным случаем арифметического выражения может бытьконстанта или другая переменная. Тогда этот оператор будет осуще-ствлять простую пересылку константы или значения переменной наместо другой переменной. Например, оператор \р£ замещает те-кущее значение / числом 5' , а оператор А - X замещаеттекущее значение к. текущим значением переменной х . Частовместо слова "замещает" в дальнейшем мы будем использовать слово"присваивает".

Для записи общего арифметического оператора часто также используются символы: =" или,,—" . И это неслучайно. Можно заметить, что оператор модификации является частным случаем оператора А, когда выражение в правой части содержит в качестве слагаемого переменную >, стоящую в левой части. Такое искусствен­ное выделение оператора модификации из арифметического операто­ра вызвано его важностью для записи алгоритмов, его ролью в вычислительном процессе.

Далее рассмотрим группу операторов управления (перехода). Главное назначение этих операторов - менять нормальный ( после­довательный) порядок вычисления операторов.

3. Оператор безусловной передачи управления (БПУ) передает управление оператору с именем, стоящим в поле преемника этого оператора. Например,БПУ М; .

Ч. Оператор условной передачи управления (УПУ) проверяет некоторое условие. Если это условие выполняется, то следующим будет выполняться оператор с именем, стоящим в поле преемника, в в противном случае оператор будет выполняться как пустой, т.е. за ним будет выполняться следующий по порядку оператор. При записи этого оператора в скобках указывается проверяемое им условие и после скобок-имя оператора - преемника, т.е. операто­ра, получающего управление в случае выполнения этого условия. Например, УЛУ ( / *3)Р ; .

К операторам управления следует отнести оператор останова (ОСТАНОВ). Этот оператор останавливает вычислительный процесс. Наличие хотя бы одного такого оператора в алгоритме необходи­мо, т.к. алгоритм обладает свойством конечности и его выполне­ние рано или поздно должно прекратиться.

Таким об разом,с помощью введенных операторов можно записать вычислительные алгоритмы, учитывая следующие правила:

3. алгоритм начинает свою работу с первого, по порядку оператора;

4. все операторы выполняются последовательно друг за дру­гом; #

5. изменение порядка выполнения операторов можно осущест­вить с помощью операторов перехода;

6. алгоритм прекращает свою работу при выполнении опера­тора' останова.

Все эти правила будут выполняться независимо от способов изображения алгоритма. Существуют различные способы изображе­ния алгоритма, но все они выступают лишь различной формой, в

которую вкладывается суть алгоритма, его содержание. Из всех известных способов изображения алгоритмов мы рассмотрим следую­щие наиболее важные и распространенные способы: формульно-сло-весный, язык операторных схем и блок-схемный. Каждый из этих способов обладает определенными достоинствами и недостатками и используется на определенном эгапе разработки алгоритма.

3.3. Форнульно-словесный способ записи алгоритмов

При этом способе записи алгоритма содержание последователь ных этапов вычислительного процесса задается в произвольной форме на естественном языке с испльзованием математической сим­волики. Мы уже использовали способ при разработке алгоритма ре­шения квадратного уравнения. Для большей строгости, удобства и обозримости выпишем этот алгоритм последовательно, сжато, без подробных пояснений, Теперь нам ясна необходимость ввода исход­ных данных, поэтому добавим шаг, осуществляющий ввод произволь­ной тройки действительных чисел.

Шаг I. Ввод коэффициентов А, В, С.

Шаг 2. Если Л фО , то перейти к шагу 8.

Шаг 3. Если ъ*0 , то перейти к шагу 12.

Шаг Ч. Если С* о , то перейти к шагу 13.

Шаг 5. Задать Р= :3 (решение неопределенное).

Шаг б. Вывод результатов: Х1>Хц_а Р.

Шаг 7. Останов.

Шаг 8. Вычислить I) = Ь^г-ЧЛС .

Шаг 9. Если I) <- С , то перейти к шагу II.

Шаг 10. Вычислить

^{X, * I- Ь + №)/(24) ) *г - (- в - Г5)/(2А).}

Задать Р--2 .Перейти к шагу 6.

Шаг II. Вычислить

задать Р - 0 . Перейти к шагу 6.

Шаг 12. Вычислить л₁* -с/в .

Задать - Р - 1 . Перейти к шагу 6. Шаг 13. Задать Р-Н (решения не существует).

i

¹ Перейти к шагу 6.

Мы немного изменили порядок шагов алгоритма, но ясно, что приведенный алгоритм решает ту же задачу, что и алгоритм в примере 2.3. '

Приведенный способ изображения алгоритмов общепринят в математике и понятен многим специалистам без специальной подготовки. С помощью данного способа можно описывать алго­ритм с произвольной степенью детализации.

Но этот способ обладает и рядом недостатков. Прежде все-го.при данном способе записи алгоритма отсутствуют более или менее строгая формализация и наглядность вычислительного процесса. Достеточно сложный алгоритм становится труднообоз­римым. Кроме того,содержание каждого шага подлежит более подробному и строгому описанию. При такой записи довольно трудно разобраться в структуре всего алгоритма. Более фор­мальной, строгой,компактной является запись алгоритма на языке операторных схем.

3.4. Операторные схемы записі алгоритмов

Операторная схема- это аналитическая форма записи ал­горитма в виде последовательности операторов.

Операторы в операторной схеме изображаются определен­ными символами и снабжаются индексами в порядке их следо­вания на схеме. В условном операторе перехода в скобках указывается проверяемое условие. Операторы отделяются друг от друга символом";".

Для записи операторОЕ мы будем испгльзовать обозначения, введенные в разделе 3.2. Для записи всего алгоритма будем использовать формальную структуру оператора, ; усмотренную в разделе 3.2.

Если арифметический оператор или оператор модификации можно полностью записать на схеме, то его будем записывать з виде Я - В , где б - выражение. Например, / " к *-> или

м; &. - 5-<1Х г ¡2. 2 ;.Рсли же действие записать

затруднительно,то можно записать Я (І, -<^) - обо?чачает оператор .вычислявший / и <Ьц . »1ногда указывается Я і , А_{г }} М}различные варианты арифметических операторов. В этом случае алгоритм сопровождается специальной таолицей расшифровки операторов.

Введенная формальная схема позволяет записывать алго­ритмы по мощности совпадающие с алгоритмами, записанными с помощью формульно-словесного способа. Так алгоритм решения квадратного уравнения при таком способе записи будет выглядеть следующим образом:

ЪЬОЬ (Я, в, С); УП У (А-О) £6 УР \ АРНУА Ю :

УПУ ( В - О) ЛИНЧР; ВРНУЛН) УПУ (С - О) НЕТ КОР;

решнеопр: й*з; БПУ м ; нет кор: Р=у; ьпч м;Шйур : м< -с/з; ьпу м; К5УР: в= в^г-чяс;

УПУ(Ь'О) Н'ОМПИ; В* «ЯГ; Яг* (-в-1-ы)/(2Ю; х_г = (-в-ы)у(гй); Р«г; слу комлк:ы= <ГБ; х₁ * -в/(2А);х_г^ т/(Щ?--о-_} м: печатыл!,^ ^осг.

Следует обратить внимание на использование имен операторов. В этой схеме мы использовали имена, несущие смысловую нагрузку. Это облегчает понимание и чтение алгоритма. Если изобразитель­ное средство допускает такое использование имен, этим всегда следует пользоваться.

В литературе по программированию принят несколько другой вариант записи операторных схем. Операторы также изображаются символами с индексацией, но переходы изображаются стрелками. Отсутствие передачи управления от оператора слева к следующе­му оператору справа обозначается точкой с запятой. Для ком­пактности записей з начале и конце стрелок ставятся номера,с помощью которых обозначены операторы - преемники управления. Более подробно с этим можно познакомиться в [1 _] .

Наш алгоритм будет выглядеть следующим образом:

. у _г —15 I *-П

8боо, (л,в,с) уцу_г (я*о) упч; (6*0) упу!, (с?о)

й₃ Л£ЧХТЬ_в и,,!,^)^ у_ПУ, (0-0) й₉ 4*^г~~';

Видно, что операторные схемы более компактны, поддаются строгой формализации, но требуют вести таблицу, в которой описываются действия, выполняемые операторами. Благодаря своей компактности алгоритмы, записанные с помощью операторных схем, более обозримы, а формальный характер их записи позволяет рас­сматривать операторные схемы как промежуточный этап при созда­нии языков программирования. Но все же при разработке алгорит­мов схемы используются редко. Здесь наиболее часто программисты

используют язык блок-схемы.

пуск-останов (вход-выход из подпрограмм). Определяет" начало, конец, прерывание процесса обработки данных;

комментарий к символу. Поясняет смысл данного символа.

Рассмотрим некоторые правила ведения блок-схем. Нормальным направлением линий потока считается направление сверху вниз и слева направо и стрелками не обозначается. Во всех других слу­чаях обозначение направления стрелками обязательно. Линии пото­ка проводятся к середине символа.

• Изменение линий потока возможно только по углом 90*. Мес-то слияния линий потока рекомендуется обозначать точкой.Пересечение линий потока Слияние линий потока

[< ТЕКСТА

3.5. Елок - схема - рабочий инструмент программиста

Блок-схема - это графическое изображение логической струк­туры алгоритма с помощью геометрических фигур. Эти геометричес­кие структуры мы в дальнейшем будем называть блоками или сим­волами. Внутри блоков записываются краткие указания о характере выполняемых ими действий. В зависимости от этих действий бло­ки имеют и различную геометрическую конфигурацию. Таким образом, даже не читая содержимое этих, блоков, по их внешнему виду можно судить о характере действий, и о структуре самого алгоритма в целом.

Существуют строгие требования к начертанию и выполнению блок-схемы, определяемые ГОСТом - 19427 - 74 и ГОСТом - 19428-74. Эти ГОСТы описывают перечень всех символов, их наименование, форму символов и размеры, а также правила их соединения в еди­ную схему. Мы приведем здесь краткие выдержки из указанных пра­вил. По назначению и характеру отображаемых функций символы де­лятся на основные и вспомогательные.

Основные символы используются для представления ввода-вы­вода данных и их обработки. Нам будут необходимы следующие сим­волы:

'/■ / -ввод-вывод (операторы ВВОД и ВЫВОД);

- печать (оператор ПЕЧАТЬ);

решение (разветвление) указывает выбор направления выполнения алгоритма или программы в зависимости от некоторых условий (оператор УПУ);

- процесс обработки информации;

>

- модификация. Обозначает изменение ка­ких-то вспомогательных, управляющих величин (оператор М);

- линия потока. Изображает последователь-

, ность связей между символами (может быть

реализовано оператором БПУ).

Вспомогательные символы предназначены для пояснения отдель-ных элементов схемы и обозначения связей между ними.Мы будем использовать следующие символы: ₅

_О

соединитель. Указывает связи между прерванными линиями потока на одном листе;

межстраничный соединитель.Указывает связи между линиями потока на разных листах;

- 27 - .

(См. ), например так, как изображено на рис. 3.3.

Записи внутри символа читается слева направо и сверху вниз, не­зависимо от направления линии потока. Для удобства нахождения символов на блок-схеме задаются их координаты в виде цифр, букв и сочетания букв и цифр. Координаты символа проставляются вверху слева в разрыве его контура. Если символу присвоен идентификатор (наименование), то.он помещается слева над символом. Справа же может быть помещена краткая информация - описание символа. Ком­ментарий помещается на свободном месте и содержит любой текст.

Для соединения удаленных друг от друга блоков можно исполь­зовать соединитель. Для этого такая длинная линия потока разры­вается и в начале и в конце обрыва помещается символ-соединитель внутри которого указывается буква, цифра или сочетание букв и цифр. Наименованием соединителя является номер (идентификатор) блока-преемника управления.

Если блоки находятся на различных листах, для их связи при­меняется межстраничный соединитель, внутри которого указывается номер листа и координата символа, к которому направлена линия по тока.

Рис. 3.1. Использование межстраничного соединителя

нет-

Блок-решение может содержать два или более выхода. Это един ственный блок, у которого больше одного выхода. Внутри блока пи­шется проверяемое условие, а выходящие линии потока могут отме­чаться словами 1^Да", "Нет" или знаками <₄'а^>, |*„ V.Ъ и т

Рис. 3.2. Возможные способы записи блока-решения при числе выходов не более трех Если число выходов больше трех, можно поступать по-разному

Р' I р=г р --з ZEH.

Рис. 3.3. Изображение флока - решения при числе выходов более трех

Для более сложных задач сначала разрабатывают принципиальную блок-схему, которая отражает основные этапы алгоритма. После тщательного анализа принципиальной блок-схемы приступают к раз­работке детальной блок-схемы. В такой блок-схеме в деталях отра­жены всевозможные логические связи между этапами переработки дан­ных и элементарные операции, выполняемые в них.

Работа нсд алгоритмом, как правило, всегда содержит этап разработки блок-схемы алгоритма. И пренебрегать этим этапом не следует, особенно начинающим программистам. Но и для профессиональ­ного программиста составление блок-схемы в процессе работы не является лишним. Запись алгоритма в виде блок-схемы позволяет упорядочить наши представления об алгоритме, увидеть его структу­ру, проследить все логические связи между блоками, выявить логи­ческие ошибки. Поэтому блок-схемы часто называют рабочим инстру­ментом программиста.

Даже опытному программисту трудно с первого раза разработать правильную блок-схему. Часто процесс разработки алгоритма с по­мощью блок-схемы представляет собой ряд последовательных прибли­жений к окончательному варианту. Поэтому ясно, что при работе с блок-схемой предпочтительно пользоваться не ручкой, а каран­дашом и резинкой.

В блск-схеме используются имена различных переменных. Их мо­жет быть очень много и их смысл бывает трудно удержать в памяти* Поэтому часто необходимо иметь таблицу, где поясняется физичес­кий смысл перемениесли таковой имеется, и её назначение. Очень облегчает эту задачу использование имен переменных таким образом, чтобы их имена напоминали об их физическом смысле.

Например: ШП.ДАВЛ, СКОР и т.д.

Такая информация будет очень полезна в дальнейшем при эксплуа­тации и развитии программы, реализующей данный алгоритм.

р	- г
ъ	-- Ш
*1

Для примера запишем алгоритм решения квадратного уравнения в виде блок-схемы

Приведенный алгоритм по результату эквивалентен описанным ранее, однако он требует несколько меньшего количества операций. Следует обратить внимание,что идентификаторы блоков расшифровы­ваются следующим образом:

ДДК - два действительных корня. КК - комплексные корни. КО - корень один. КН - корней нет. КЕМ - корней бесконечное множество (неопределенное решение). Такой.выбор идентификаторов позволяет легче понимать блок-схему.

После того как блок-схема разработана, её необходимо прове­рить на правильность. Существуют формальные правила проверки блок-схем. Они относятся к любой блок-схеме независимо от алго­ритма, который она списывает. Приведем их:

і. 3 блок-схеме должно быть не более одного блока без входя­щей линии потока (блок НАЧАЛО) и любой блок, не имеющий выходящейлинии потока,должен быть блоком КОНЕЦ (их может быть несколько).Все остальные блоки (за исключением блока решения) должны иметьровно один вход и один выход. . • \_х

2. Для каждого блока должен существовать \хотя бы один путь по линиям потока,ведущий к нему от блока НАЧАЛО, и хотя бы один путь, соединяющий его с блоком КОНЕЦ. Если хотя бы одно из этих правил не выполняется, то можно формально заключить, что блок-схема состав­лена неверно.

Если же блок-схема удовлетворяет этим двум требованиям, необ­ходимо убедиться,что она логически правильна,!.е.убедиться,что -она описывает алгоритм,который делает именно то ,что необходимо.

4. ОСНОВНОЕ СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ АЛГОРИТМОВ

4.1. Линейные и ветвящиеся участки алгоритмов Наиболее часто в алгоритме существуют группы операторов, кото­рые и расположены последовательно и выполняются последовательно. Такая группа образует линейную ветвь алгоритма. Характерным призна­ком линейного участка является отсутствие имен у всех операторов, кроме первого,и преемников у всех операторов,кроме последнего.

В линейном участке имя первого оператора выступает как имя всей последовательности, как имя одного составного оператора (дейст­вия), который мы разбили на отдельные части для удобства выполне­ния или более полного описания действия.

і

Типичное изображение линейного участка приведено на рис.4.1.

Линейность участка определяется как самой задачей,так и теми возмож­ностями (тем набором операций), кото­рыми располагает исполнитель. Так,если исполнитель знает как решить задачу, то вся она условно может быть объявле­на одним большим, сложным, но известным оператором.

Далее для конкретизации действия такой оператор распадается на ряд под­задач: ввод исходных данных, преобра­зование информации, вывод результатов

Рис. 4.1.

■ ш: печйть су); остянОд;.

(но и на этом уровне алгоритм, как правило, будет линейным). Ли­нейный участок может содержать любые операторы кроме операторов передачи управления. На блок-схеме он имеет только один вход и только один выход.

Часто в зависимости от исходных данных либо от промежуточных результатов (зависящих от исходных данных) может изменяться после­довательность выполняемых операторов. В этом случае алгоритм содер­жит оператор проверки условия и выбора пути в вычислительном про­цессе в зависимости от выполнения условия. Этот оператор образует как бы вершину, из которой выходят различные линейные ветви^см. рис. 4.2). Разветвление связано с реализацией в алгоритме различных случаев, которые могут появляться при реализации алгоритма.

Основной, внутренней причиной разветвления, является возмож­ность группировки исходных данных в отдельные классы (группы),, для каждого из которых должен быть реализован один путь в алгоритме. Например,коэффициенты квадратного трехчлена можно разделить на группы следующим образом:

а) корней не существует ( СФО- любое, Я^О, );

б) корней бесчисленное множество (с^о, я-о, 6 = 0 );

в) корень один ( Л = О, в*0- любые, С - любые);

г) корки действительные (»=0, В^-¹/ЯС ?0>Я,Ъ,С - любые);

д) корни комплексные (Я*С, В^г- 4НС-О, II, ь, с - любые).

В алгоритме решения квадратного уравнения присутствуют все пять ветвей, но для конкретного набора исходных данных будет реализовы-ваться только один. Таким образом,в алгоритме для каждого набора исходных данных выделяется последовательность операторов, которые будут выполняться - вычислительный процесс для данного набора. Все остальные операторы для исполнителя будут невыполняемыми (вне поля зрения), недоступными, несуществующими .

Для другого набора вычислительный процесс может измениться, другим примером ветвящегося процесса является вычисление функций, заданных различными аналитическими выражениями на различных проме­жутках

Г 1Р₄(Х) х^а

I % ,х) х г В Алгоритм можно записать в виде:

ВЫ.-01А); Ш (Л*<*-)^; У = _{ь (}л;; ы/у Л/1' м: УПъ

\х* ь) *и\ у= Ъ(Х)\ цпу „И1 ; мь : у и) •

В этом алгоритме ^(^),%^), %{*■) могут быть сколь угодно сложными.

Пусть заданы числа 6> с . Требу­ется построить алгоритм выбора ми­нимального. Он может быть записан в виде

ЬЛУ(и.-У'У 1&*с)м1; мз: У -- с; 511У 'лг \ м I: у - 6; ЬПУ м&; м: упу {&?с) мз\ Ш -.печать (у); остянов;.

4.2. Общая структура циклического процессаПредположим, что каждому элементу массива из 4 чисел необхо-димо присвоить значение равное I. Наиболее просто такая задача ре-шается последовательностью операторов -1 '> %-^>

Если количество элементов будет равно 100, то аналогичный ме­тод будет очень громоздким, а если необходимо I присвоить перемен­ному количеству элементов (М), то этот метод вообще неприменим.

Анализ выписанных операторов показывает, что они выполняют однотипные действия и отличаются только индексом элемента. Напра­шивается вопрос: как записать один оператор, но так, чтобы вместо выполнения 4 оп>--паторов по I разу конструируемый оператор выпол­нялся бы 4 раза, т.е. чтобы пои каждом выполнении конструируемый оператор выполнял бы действие последовательно I, 2, 3, 4 операто­ров.Сделаем эквивалентное преобразование операторов

*-у; % - *, "( -¹ Ч- ^х> ¹~ «•'*•<•; ¹ > ^{1 г} ¿¿"-¿1

Мы видим, что два оператора ( I и ь ■■ ) повторяются 4 рч-за, поэтому мы их выпишем I раз, а операторами передачи управле­ния заставим их выполняться 4 раза. Алгоритм запишется

Последовательность многократно выполняемых операторов назы­вают циклом, а вычислительный процесс, содержащий цикл, называют циклическим. Операторы цикле содержат переменные, изменяющиеся при каждом прохождении цикла; яти переменные называются переменными цикла. Очень часто среди переменных цикла выделяется одна главная,

ведущая, которая определяет, как правило, значения остальных.

эта переменная называется параметром ( в некоторых слу­чаях индексом) цикла. В циклическом процессе можно выделить следующие 4 группы операторов:

а) операторы,формирующие начальные значения переменнымцикла;

б) операторы,выполняющие преобразование информации (оничасто называются областью цикла, телом цикла);

в) модификатор параметра'цикла. этот оператор изменяетзначение параметра цикла, чтобы при новом прохождении цикла вы-бирались новые, другие, следующие значения;

проверка условия выполнения тела цикла. обычно это условие содержит переменные цикла (наиболее часто-параметр) и при некоторых значениях условие выполняется, а при других условие не выполняется. при построении цикла операции, незави­сящие от переменных цикла, желательно выносить из цикла.

так, если элементам массива требовалось бы присвоить зна-чение Ип. {6.Л ) *■ с , то алгоритм

р: л,- * ал (о-б +Ж/г)* с¹; **<>.*; У'1У(±*У)Р;.

заставил бы У раз вычислять одно и то же выражение (иногда довольно трудоемкое). более рациональным является алгоритм 1~-1_> М* кЛ(&3*Я/2)+£*; ^■■й_г--Х_> ¿-¿+1; улу(14У)Р;, все переменные цикла, значения которых используются для фор­мирования других переменных должны быть определены или в те­ле цикла или до входа в цикл. например, в операторах ^ '-4*6^

С- *£ переменные ^ и С должны быть определены ранее.

следует принять за правило проверку определенности пере­менных цикла. это значение должно формироваться раньше его ис­пользования в том же вычислительном процессе.типичная ошибка -формирование значения в одной ветви, а его использование в д ^гугой.

следует обратить внимание на обозначение стандартных !ун.-:ций и констант, появляющихся в алгоритме - оно должно .сыть понятным исполнителю. например , С для эвм никак не свя­зано п иигчтм 2. &1 Ь2 И . е_сли константа многократно используется в алгоритме, то для нее вводят ос означение (лучше сказать переменную .значением которой является константа). каждый цикл необходимо проверить на правильность построения и ''ункциониоования.

теоретической предпосылкой для анализа циклического про­цесса является метод математической индукции. этот метод тре­бует выполняемость цикла для первого шага, что предполагает и определимость переменных и правильное преобразование инфор­мации (правильную последовательность операторов). считая, что выполнился цикл с одним значением параметра, проверяем его выполнимость для следующего. особое требование предъявляется к условию выхода из цикла,т.к. этот оператор определяет коли­чество повторений цикла. в этом операторе может быть записано условие, которое или всегда выполняется,или никогда не выпол­няется - например, упу ( <2. ^ 6 ) р • _{> если} ^ _и 3 не явля­ются переменными цикла. второй типичной ошибкой является не­правильный выбор помеченного оператора. например, алгоритм

р; I =у; &(*1'_> упу (г* ч)Р \ приведет к бесконеч-

ному циклу,т.к. при проверке условия I всегда будет равно 2 . в этом примере мы блок начального формирования включили в тело цикла ошибочно., неправильно.

по количеству реализаций, прохождений циклы можно разде­лить на циклы с возможным нулевым количеством и циклы с обяза­тельным выполнением тела. в первом случае в зависимости от пе­ременных цикла тело может не выполняться ни одного раза и,сле­довательно, после формирования начальных значений должен стоять оператор упу. этот оператор должен иметь условие (в этом слу­чавшие продолжения цикла, а выхода из цикла и в качестве мет­ки в этом операторе выступает метка оператора, расположенного после цикла. он является первым оператором цикла и для возвра-та к нему последним оператором цикла должен быть ьпум, где М ~ метка упу (т.е. упу должен быть помеченным). таким образом, •добавляя возможность иметь "пустой" (невыполнимый)цикл,мы при­ходим к необходимости добавления "лишнего" оператора (бпу;. во втором случае операторы цикла выполняются хотя бы один раз, т.е. проверка условия стоит после операторов преобразования информации. наиболее часто в цикле существует специальный опера­тор модификации параметра, но иногда он,как и другие перемен­ные цикла,изменяется операторами преобразования информации.

оператор модификации может быть расположен либо после тела цикла,либо до него. в первом случае начальные значения парамет­ра формируются для первого прохождения, а во втором - на шаг меньше.

в теле цикла могут быть опепаторы условной или безуслов­ной передачи управления, прекращающие выполнение цикла,т.е.

операторы.выводящие из цикла. Простейший пример - найти номер первого отрицательного элемента в массиве 100 чисел (для про­стоты будем считать, что он существует) і і\ Р: у л у (а,- ¿0) м; і-с+і -_} упу (і * юс*) р; м: ...

После работы алгоритма переменная і будет иметь искомое число. Однако, если все числа положительные, то мы не найдем отрицательного числа, но все равно после окончания цикла по­падем на оператор /и и.следозательно, решим задачу неверно. Поэтому лучше алгоритм изменить

і й: ипуісь -о)лі\ і -г * і; у/іщі *юе)р; печлгь '('о'гриц-істельных эммангоб нет), огтяноь • м: ...

Вместо печати и останова может быть любая ветвь,т.е. мы имеем

разветвляющийся пооцесс.

4.3. Виды циклов

По структуре циклы можно разделить на простые и сложные. Простым циклом называется такой цикл, который не содержит внут­ри себя других циклов. В предыдущем пункте мы рассматривали структуру такого цикла. Сложным циклом называется такой, кото­рый внутри себя содержит, имеет хотя бы один цикл (который в свою очередь может быть сложным). В этом случае внутренний цикл необходимо рассматривать как сложный оператор, целиком принад­лежащий внешнему циклу. Подготовка начальных значений для пере­менных внутреннего цикла осуществляется операторами внешнего цикла. Параметры внутреннего и внешнего цикла не могут быть одной и той же переменной.

Из внутреннего цикла возможен выход во внешний цикл, а обратная передача управления невозможна - вход в циьл должен осуществляться только через операторы подготовки начальных значений. В сложном цикле могут сыть параллельные вложенные циклы. Параметрами этих циклов может выступать одна и та же переменная, но для каждого цикла должны быть свои операторы Формирования начальных значений.

¡¡0 количеству шагов, реализаций, проходов циклы делятся на циклы с известным количеством и циклы с неизвестным коли­чеством повторений.

Циклы первого типа связываются с переменной, которая мо­жет принимать только целочисленные значения и которая с каждым похождением цикла изменяет свое значение на одну и -у же ве­личину. Обычно параметр цикла "считает" номер прохождения тако­го цикла, поэтому они часто называются циклами со счетчиками. Пусть необходимо вычислить ^(0:01)> }(о.02)_> . .. /(0.^5) . Наиболее просто алгоритм записать в виде: Х=о.а; и:? )А>\ П£Ч/П'о^)₃ X=*>0.«; У/?У(-•• )Р . В операторе УПУ не выписано условие продолжения цикле, потому что оно не совсем элементарно. Действительно УПУ (х р с.ЗЬ )Р записать нельзя,так как из-за приближенного представления ни при каком шаге X не будет точно 0.55 . Величина,полу­ченная сложением 35 раз по Сб'Лможет быть и немного меньше 0.35 и немного больше 0.35. Поэтому, условие продолжения можно запи­сать УПУ (IX ~0-.д51'О.ССэ' )р, считая, что погрешность не превзойдет 0.005. Более просто цикл можно организовать следую­щим образом;

1_=Г> р;р=Л0.О1-1); печять(п; 1 = ^1^,>Ут(с±35)Р .

Сложение целых чисел исполнитель должен выполнять точно.

В общем случае цикл со счетчиком имеет структуруI *ух; р: . . , ; С~с+Уг-\ зпу(с±Уз)Р .

В этом случае У1 называется начальным значением счетчика, Уз -его конечным значением, а У& - шагом изменения. Указанная структура цикла предполагает выполнение цикла хотя бы один раз. При УЗъаЧколичество повторений определяется как [{У3-У^)/У2,\*^, где [ X ] -целая часть числа X •

Циклы с неизвестным количеством повторений имеют различные логические условия выхода из цикла, содержащие переменные цикла, значения которых изменяются при каждом прохождении цик­ла.

Из большого разнообразия условий выхода часто выделяют условие сходимости параметра. В этом случае значения параметра, вычисленные при последовательных прохождениях цикла,рассматри- . ваются как числовая последовательность XI, Щ , • • •>•*»., которая может сходиться при п. — •**

Циклы этого типа обычно реализуют формулы

х_п^-- Л-*»,*.); 1**1* >.

и называются итерационными циклами. Следует сразу же подчерк­нуть, что хотя В записи формулы фигурируют многие величиных^ у £ . . ^ , однако такая интерпретация является нет»- , пильной, неосуществимой ,т'.к. мы не знаем количества повторе­ний. Более правильной является схема,где по "предыдущим", ста­рим значениям л и I вычисляется "новые" значения ь и Л ,

которые для нового шага станут старыми и т.д. Алгоритм может быть записан

В этом алгоритме мы в качестве € взяли допустимую погреш­ность определения корня.

В теле цикла любого вида могут быть дополнительные условия выхода из цикла, при выполнении которых цикл прекращается. На­пример, найти в массиве из 100. чисел номер первого элемента, модуль которого больше 10 (если таковой существует)

^р- УПУ (I ал? ю) м ; /"•■-1*1; упу (/ * 100) р;печать С лн&внп опу... ; м; ...

Таким образом,цикл может давать ветвящийся процесс при выходе из тела цикла.

3 , ОСНОВНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ 5.1. Алгоритмы обработки массивов

Сумма элементов массива. Требуется определить величину

по формуле и.^ * ■ ■ ■ ^г Ягу.

Для решения задачи необходимо образовать цикл, при каждом прохождении которого к уже накопленной сумме должен добавляться новый элемент массива, т.е. к прежнему значению £■-и, * и._е. * ■ ■. «• и._к добавляется элемент :с_Сгх , Оператором,реализующим это дейст­вие является 5 »• о' ♦ и; , при переменном, изменяющемся на каждом шаге значении с , которое выступает параметром цикла. Для! того, чтобы после окончания цикла 6' содержало только ^и1'^г.^г "' * 'V,необходимо, чтобы в начальный момент (до перво­го сложения) значение 6' было равно 0. Алгоритм можно записать в виде

3=0; 1 = 1; м: &+£ц ; ¿-¿'1-4; учу (/*у)м;.

Оператор I £ устанавливает начальное значение для номера элемента массива; условный оператор обеспечивает повторение цикла, необходимое количество раз пои У у с . Оператор О-^м0же" """*«ен оператором 3=и., тогда изменятся и запись алгоритма

Незначительное изменение алгоритма существенно изменило его запись, для того, чтобы алгоритм был применим и при У I условный оператор располагается первым оператором в теле цикла,т.к. цикл в этом случае не выполняется ни одного раза. После оператора модификации теперь располагается оператор безусловной передачи управления для прохождения цикла. Мет­кой М помечен оператор,следующий после цикла. Заметим, что в первом алгоритме дополнительно выполнялся один оператор $ = 0 , а во втором Л- і выполняется дополнительно опе­ратор 61)1 м 1 ; .

Скалярное произведение векторов и, и 6 определяется по формуле 3= а_і6₁*і<-_а6_г* ■■■ + 6-у 6у Л здесь параметром цикла выступает номер элемента массива. Основной оператор тела цикла имеет вид $= 3 *•&*'& , поэтому начальным зна­чением для 3 будет 0. Алгоритм можно записать в виде

5-е; ¿=1; м'• £- з+бъЪл і*і+£\ упу{і^л')М;.

С точки зрения структуры алгоритма приведенные алгоритмы -эквивалентны, это циклы суммирования. Если положить 4' - і , то алгоритмы будут совпадать, т.е. первая задача может рас­сматриваться как частный случай второй.

Произведение матрицы о£ на вектор 6 дает в резуль-тате вектор С , каждый элемент которого вычисляется по форму-ле -

где с'= {■> -<-іУ . Очевидно, что алгоритм решения задачи должен содержать цикл для вычисления (формирования) каждого элемента массива с . Этот цикл по і должен повториться (выполниться) У раз. В свою очередь,вычисление любого эле­мента С/ представляет скалярное произведение вектора ¿2-, являющегося 1-ой строкой матрицы об , на вектор 6 \ осу-г ществляется циклическим процессом по предыдущему алгоритму. Таким образом,произведение матрицы на вектор осуществляется двойным циклом

у/іу{/*-^): } і /'і; упу(і і .

(В алгоритме фигурными скобками выделен внутренний цикл.)

для определения максимального элемента массива необхо­димо знать его номер (положение в массиве) и его величину. Для поиска такого элемента необходимы попарные сравнения эле­ментов массива и для сокращения работы мы введем понятие ус­ловногс текущего максимума, т.е. введем переменнув, которая после обработки I элементов массива будет содержать макси­мальный из них. При добавлении £>/ элемента мы должны сравнить

этот новый элемент с имеющимся промежуточным максимумом. Этот максимум может остаться прежним, если (¿-¿ + 1 "мало" или поменяется, если в.,\,₁ оказалось больше,чем все Лля правильной работы алгоритма необходимо первоначальное фор­мирование текущего максимума, которое можно осуществить двумя методами. В первом методе выбирается очень малое по величине число (например, М , где М - наибольшее по модулю число, с которым может оперирсвать исполнитель). Во втором случае берется значение первого элемента массива в качестве начально­го значения условього максимума и сравнение может начинаться со 2-го элемента. Учитывая, что массив может содяржать один эле­мент при сравнении,начияач со 2-го, необходимо изменить положение условного оператора в цикле, поэтому более целесообразно начи­нать сравнение с первого элемента массива. Наряду с переменной, содержащей значение текущего максимума, необходимо ввести еще одну переменнув, в которой будет содержаться номер максимально­го элемента. Иногда текущее значение максимума посылается в ка­честве значения, например, первого элемента массива, однако та­кое изменение информации очень часто приводит в дальнейшем к ошибкам. Алгоритм может быть записан в виде

После работы алгоритма переменная В будет содержать зна­чение максимального элемента, а переменная # - его номер.

-Упорядочение массива по возрастанию (или по убыванию) можноосуществить различными методами. Одним из эффективных методовявляется метод "вставки", в котором последовательно упорядочи-вается всё большая часть массива,т.е. й_г / и.^ 0.^ / а_г сх_л ...При каждом прохождении цикла в упорядоченную часть добавляетсяодин новый элемент. Считая, что Й<.» %«'■•■ > уже упоря-дочено, ишется место для й.,-ц в отрезке массива. Для этогопоследовательно сравнивается на каждом шаге "вставленный"элемент с предыдущим и если необходимо их меняют местами. Встав-ленный элем.. бк всплывает среди упорядоченных элементов

до своего места. Все элементы с большими величинами опустятся на одно положение вниз. Алгоритм можно записать

: -1; Ш: /. £; л£: у ну (и- * й^_н ) м; £ - -

Для того,чтобы обменять содержимое &• ч между собой, .iC~

пользуя операции пересылки, необходимо вспомогательное поле te ,куда мы временно спрячем одно значение, освобождая поле ¿¿_v длясодержимого Если бы мы записали ú¿ - ufíij - (у , то

очевидно, что старое значение «£,• будет потеряно и в обоих полях будет одно и тоже .значение.

Внешний цикл будет выполняться У -I раз и мы будем считать, что этот алгоритм не будет применяться к массиву из одного числа. .Можно снять это ограничение, но оператор УПУ (¿>¿ У-і ^поста­вить первым в теле внешнего цикла. Если входной массив уже упоря­дочен, то каждый внутренний цикл будет выполняться I раз, если же исходный массив упорядочен по убывание,то внутренний цикл бу­дет выполняться с раз, т.е. цикл будет работать максимальное время. Мы рассмотрели алгоритмы обработки произвольного массива, т.е.,если необходимо определить сумму элементов массива .і , а не й, то в алгоритме заменится только обозначение массива. Менее очевидно,что построенные алгоритмы легко применить к части массива в этом случае изменяются только операторы начального формирования параметра цикла. Если же необходимо рассматривать чередующиеся эле­менты массива (например, только четные,каждый пятый и т.д.), то изменяется только оператор модификации.