lekciya1_5

пари елементiв (x; y), в яких на першому мiсцi стоїть елемент множини X, а на другому – елемент множини Y (упорядкованi пари). Упорядкованi пари (x1; y1) i (x2; y2) за означенням дорiвнюють одна однiй ((x1; y1) = (x2; y2)), якщо i тiльки якщо x1 = x2 i y1 = y2.

Означення 1. Множина

X × Y := {(x; y) : x X; y Y }

називається прямим, або декартовим добутком множин X i Y .

Зауважимо, що взагалi кажучи X × Y ≠ Y × X. Рiвнiсть має мiсце тодi i тiльки тодi, коли X = Y . В цьому випадку замiсть X × X часто пишуть X2.

Геометрична iнтерпретацiя, приклади.

Означення 2. Множина

X1 × X2 × : : : × Xn := {(x1; x2; : : : xn) : xi Xi; i = 1; :::; n};

яка складається з усiляких упорядкованих наборiв з n елементiв (в цих наборах на i-му мiсцi стоїть елемент множини Xi ) називається прямим, або декартовим добутком множин X1; : : : Xn.

Замiсть X×: : :×X пишуть Xn. Звiдси позначення типу R2; R3; :::; Rn:

Задача. Довести, що

(A1 × B1) ∩ (A2 × B2) = (A1 ∩ A2) × (B1 ∩ B2):

11

Лекцiя 4.

Поняття функцiї (вiдображення)

Це поняття є фундаментальним не тiльки для математики.

Означення. Нехай X; Y – двi множини. Будемо говорити, що на множинi X означена функцiя f зi значеннями у множинi Y , якщо в силу деякого закону (цей закон ми також позначатимемемо лiтерою f) кожному елементу x X поставлено у вiдповiднiсть деякий елемент y Y .

Слова "функцiя "вiдображення "оператор "вiдповiднiсть "перетворення"є синонiмами. Кожний з записiв

1) f : X → Y ,

f

2) X→Y ,

3) y = f(x); x X,

означає, що f є вiдображення множини X у множину Y .

Коли ясно про якi множини X i Y йде мова, використовують також позначення x 7−→f(x) або y = f(x).

Множина X називається областю визначення функцiї i часто позначається D(f), символ x її загального елемента – аргументом функцiї, або незалежною змiнною. Елемент y, який вiдображення f ставить у вiдповiднiсть елементу x, називається образом елемента x при вiдображеннi f, або значенням вiдображення f в точцi x i позначається f(x) (саме в цьому сенсi пишуть

x 7−→f(x) або y = f(x)).

Коли аргумент змiнюється, значення y = f(x) Y , взагалi кажучи, теж змiнюється в залежностi вiд значення x. Тому величину y = f(x) часто називають залежною змiнною.

Наведемо важливий приклад функцiї. Нехай X = N; Y = R. Довiльне вiдображення x : N → R називається числовою послiдовнiстю. Отже чисова послiдовнiсть – це функцiя, означена на множинi натуральних чисел. При цьому часто замiсть x(n) пишуть xn, а вся послiдовнiсть позначається так: {xn}∞n=1.

12

Означення 2. Множина R(f) = f(X) := {y Y : x D(f) (y = f(x))} називається множиною (областю) значень функцiї (вiдображення) f (f : X → Y ). Зауважимо, що, взагалi кажучи, R(f) ≠ Y .

Таким чином, щоб задати функцiю, треба задати три об’єкти: D(f) = X; Y i правило f, яке кожному елементу x D(f) ставить у вiдповiднiсть точно один елемент y Y .

Означення 3. Будемо говорити, що функцiї f1 : X1 → Y1 i f2 : X2 → Y2 дорiвнюють одна однiй (i писати f1 = f2), тодi i тiльки тодi, коли

1) X1 = X2

i

2) x X1 f1(x) = f2(x).

Означення 4. Нехай f : X → Y i A X. Означимо функцiю f0 : A → Y , покладаючи x A f0(x) := f(x). Функцiя f0 називається звуженням функцiї f на множину A, а f – продовженням функцiї f0 з множини A на множину X.

Означення 5. Нехай f : X → Y . Графiком функцiї f називається множина

G(f) := {(x; y) X × Y : x X; y = f(x)}:

Образи, прообрази, їх властивостi

Означення 1. Нехай f : X → Y i A X. Образом множини A при вiдображеннi f називається множина

f(A) := {y Y : x A (y = f(x))} = {f(x) : x A}

Означення 2. Нехай f : X → Y i B Y . Пробразом множини B при вiдображеннi f називається множина

f−1(B) := {x X : y B (f(x) = y)} = {x X : f(x) B}

Зауважимо, що коли B = {y}, де y – деякий елемент множини Y , то f−1(B) – це сукупнiсть (множина) розв’язкiв рiвняння

f(x) = y:

13

Приклади. Нехай вiдображення f : R → R задається спiввiдношенням

y= ex, A; B = [01]. Тодi f(A) = [1; e], f−1(B) = (−∞; 1].

Внаступних двох теоремах зiбранi важливi властивостi образiв i прообразiв.

Теорема 1. Нехай f : X → Y , A X; B X. Тодi

1)f(A B) = f(A) f(B)

2)f(A ∩ B) f(A) ∩ f(B)

3)f(A \ B) f(A) \ f(B)

4)(A B) = (f(A) f(B))

5)A f−1(f(A))

Задача. Для властивостей 2), 3) i 5) навести приклади, коли має мiсце строге включення (тобто лiва частина не спiвпадає з правою).

Теорема 2. Нехай f : X → Y , A Y; B Y . Тодi

1)f−1(A B) = f−1(A) f−1(B)

2)f−1(A ∩ B) = f−1(A) ∩ f−1(B)

3)f−1(A \ B) = f−1(A) \ f−1(B)

4)(A B) = (f−1(A) f−1(B))

5)f(f−1(A)) = A ∩ f(X)

Ми доведемо деякi з властивостей, наведених в цих теоремах. Задача. Решту властивостей довести самостiйно.

Спочатку доведемо властивiсть 2 з теореми 1.

Нехай y f(A ∩ B). Тодi за означенням образу знайдеться x A ∩ B такий, що f(x) = y. Але для цього елемента x одночасно x A i x B. Значить y = f(x) f(A) i y = f(x) B. Таким чином, y A ∩ B.

Тепер доведемо властивiсть 3 з теоерми 1.

Нехай y f(A) \ f(B). ТОдi y f(A) i y = f(B). Значить x A : y = f(x) i z B y ≠ f(z). З останнього випливає, що x = B. Значить x A \ B i y = f(x) f(A \ B).

Наведемо також приклад, коли має мiсце строге включення.

Нехай X = Y = R; i f : X → Y означається спiввiдношенням y = x2. Нехай також A = [−1; 0] i B = [0; 1]. Тодi A ∩B = {0} i f(A ∩B) = {0}. Разом з тим, f(A) = f(B) = [0; 1].

14

Тепер доведемо, наприклад, третю з властивостей, зазначених в теоремi

2.

Нехай спочатку x f−1(A \ B). Тодi за означенням прообразу

Для того, щоб довести протилежне включення, досить провести неведенi мiркування у зворотному порядку.

Найпростiша класифiкацiя вiдображень

Означення 3. Вiдображення f : X → Y називається сюр’єктивним (вiдображенням на), якщо f(X) = Y , тобто

y Y x X : f(x) = y:

Приклади.

1.Нехай вiдображення f : R → R задається спiввiдношенням f(x) = x3. Тодi f сюр’єктивне вiдображення.

2.Нехай вiдображення f : R → R задається спiввiдношенням f(x) = sin x. Тодi f не є сюр’єктивне вiдображення.

Означення 4. Вiдображення f : X → Y називається iн’єктивним (взаємно однозначним вiдображенням X в Y ), якщо

(f(x1) = f(x2)) = (x1 = x2);

або

(x1 ≠ x2) = (f(x1) ≠ f(x2)):

Приклади.

1.Нехай вiдображення f : R → R задається спiввiдношенням f(x) = x3. Тодi f iн’єктивне вiдображення.

2.Нехай вiдображення f : R → R задається спiввiдношенням f(x) = x2. Тодi f не є iн’єктивне вiдображення.

Означення 5. Вiдображення f : X → Y називається бiєктивним (взаємно однозначним вiдображенням X на Y ), якщо воно одночасно є iн’єктивним i сюр’єктивним.

15

Приклади.

1.Нехай вiдображення f : R → R задається спiввiдношенням f(x) = x3. Тодi f бiєктивне вiдображення.

2.Нехай вiдображення f : R → R задається спiввiдношенням f(x) = (x − 1)x(x + 1). Тодi f не є бiєктивне вiдображення.

Означення 6. Якщо f : X → Y бiєктивне, то природньо виникає

вiдображення

f−1 : Y → X;

f f 1

яке означається наступним чином: якщо x→y, то y→x. Це вiдображення називається оберненим до f.

З означення видно, що i f−1 бiєктивне, i (f−1)−1 = f.

Приклад. Нехай вiдображення f : R → (0; +∞) задається спiввiдношенням f(x) = ex. Тодi f бiєктивне вiдображення i f−1(y) = ln y.

16

Лекцiя 5

Композицiя вiдображень i взаємно оберненi вiдображення

Означення 1. Якщо f : X → Y i g : Y → Z – два вiдображення, то композицiєю цих вiдображень називається вiдображення g◦f : X → Z, яке для кожного x X означається формулою

(g ◦ f)(x) = g(f(x)):

Приклад. Вiдображення y = sin2 x є композицiєю двох вiдображень f : R → R (f(x) = sin x) i g : R → R (g(x) = x2).

Твердження 1. Композицiя асоциативна: h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.

Дiйсно, для кожного x з областi визначення матимемо

(h◦(g◦f))(x) = h((g◦f)(x)) = h((g(f(x))) = (h◦g)(f(x)) = ((h◦g)◦f)(x):

Зауваження. Навiть у тих випадках, коли обидвi композицiї g ◦ f i f ◦ g означенi, взагалi кажучи g ◦ f ≠ f ◦ g.

Приклад. Нехай f : {a; b} → {a} i g : {a; b} → {a}. Тодi g ◦ f :

{a; b} → {b}, а f ◦ g : {a; b} → {a}.

Означення 2. Тотожне вiдображення множини X – це вiдображення eX : X → X, яке означається формулою

eX(x) = x x X:

Твердження 2. (g ◦ f = eX) = (g сюр’єктивне) (f iн’єктивне).

Нехай f : X → Y; g : Y → X i (g ◦ f = eX) : X → X. Тодi

X = eX(X) = (g ◦ f)(X) = g(f(X)) g(Y ):

Значить g – сюр’єктивне вiдображення. Нехай тепер x1; x2 X. Тодi

(x1 ≠ x2) (eX(x1) ≠ eX(x2)) ((g ◦ f)(x1) ≠ (g ◦ f)(x2))

17

((g(f(x1)) ≠ (g(f(x2))) (f(x1) ≠ f(x2)):

Значить f – iн’єктивне вiдображення.

Твердження 3. f : X → Y i g : Y → X є бiєктивними i взаємно оберненими вiдображеннями тодi i тiльки тодi, коли g ◦ f = eX i f ◦ g = eY .

По твердженню 2 вiдображення f i g бiєктивнi. Нехай, наприклад, y = f(x). Тодi

g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x) = eX(x) = x:

Нехай тепер x = g(y). ТОдi

f(x) = f(g(y)) = (f ◦ g)(y) = eY (y) = y:

Потужнiсть множин. Кардинальнi числа.

Означення 1. Множини X i Y називаються рiвнопотужними, або еквiвалентними, якщо iснує бiєктивне вiдображення множини X на множину Y (iнакше про це говарять, що iснує взаємно-однозначна вiдповiднiсть мiж елементами множин X i Y ). При цьому пишуть X Y .

Приклади.

1)(0; +∞) R,

2)N Z,

Ясно, що

1)X X,

2)(X Y ) (Y X),

3)(X Y ) (Y Z) (X Z).

Вправа. Довести цi властивостi.

Наявнiсть наведених властивостей означає, що вiдношення є вiдношенням еквiвалентностi. Воно розбиває клас вiсiх множин на класи еквiвалентних

мiж собою множин – класи еквiвалентностi. При цьому два довiльних

18

класи еквiвалентностi або не перетинаються, або спiвпадають один з одним. Множини з одного класу еквiвалентностi рiвнопотужнi, а з рiзних

– нi.

Означення 2. Клас, якому належить дана множина X називається потужнiстю множини X, або кардиналом (кардинальним числом) множини

X. Позначення: card X, або X.

Таким чином, якщо X Y , то card X = card Y .

Смисл цiєї конструкцiї полягає в тому, що вона дозволяє порiвнювати кiлькiсть елементiв множин не використовуючи промiжний пiдрахунок, тобто вимiрювання кiлькостi елементiв шляхом порiвняння з натуральним рядом чисел, що для нескiнченних множин принципово неможливо.

Означення 3. Будемо говорити, що потужнiсть множини X не бiльша потужностi множини Y i писати card X ≤ card Y , якщо множина X еквiвалентна деякiй пiдмножинi множини Y :

( card X ≤ card Y ) ( Z Y : card X = card Z):

Приклади.

1.card N ≤ card R;

2.card Q ≤ card R,

3.card R ≤ card R.

Означення 4. Будемо говорити, що потужнiсть множини X строго менша потужностi множини Y i писати card < card Y , якщо

( card X ≤ card Y ) ( card X ≠ card Y ):

Подiбно до того, як вiдношення ≤ упорядковує дiйснi числа, означене нами вiдношення ≤ для потужностей упорядковує потужностi множин. Точнiше, мають мiсце наступнi твердження.

Теорема 1.

( card X ≤ card Y ) ( card Y ≤ card Z) ( card X ≤ card Z):

Це твердження досить просте i ви маєте довести його самостiйно.

19

Теорема 2. (Шредер – Бернштейн).

( card X ≤ card Y ) ( card Y ≤ card X) ( card X = card Y ):

Теорема 3. (Кантор). Для довiльних двох множин X i Y

( card X ≤ card Y ) ( card Y ≤ card X):

Доведення теорем 2 i 3 не наводимо. Бажаючi можуть спробувати самостiйно довести цi твердження .

Означення 5. Для множини X через P(X) або через 2X будемо позначати сукупнiсть всiх пiдмножин множини X.

Теорема 4 (Кантор). Для довiльної множини X

card X < card P(X):

Якщо X = , то твердження очевидне.

Нехай X ≠ . Оскiльки P(X) мiстить у собi всi одноелементнi пiдмножини множини X, то card X ≤ card P(X): Нам лишилось довести, що card X ≠ card P(X):

Припустимо, що card X = card P(X): Нехай f : X → P(X) – бiєктивне вiдображення, яке встановлює взаємно-однозначну вiдповiднiсть мiж елемнтами множин X i P(X). Розглянемо множину A := {x ; : x = f(x)}. Оскiльки A P(X), то iснує a X таке, що f(a) = A i мусить виконуватись одне з спiввiдношень a A або a = A. Але жодне

з цих спiввiдношень не може виконуватись. Дiйсно a A неможливе за означенням A. Припустимо, що a = A = f(a). Тодi для a виконується умова належностi до множини A, тобто a A. Суперечнiсть.

Дана теорема показує, що якщо нескiнченнi множини iснують, то i "нескiнченностi бувають рiзнi."

20