lekciya_9-14

Лекцiя 12.

Граничний перехiд i арифметичнi операцiї.

Означення 1. Якщо fxng; fyng – двi послiдовностi, то їх сумою, добутком i часткою (у вiдповiдностi з загальним означенням операцiй над функцiями) називаються вiдповiдно послiдовностi

(звичайно частка означена, якщо 8n 2 N yn 6= 0).

Теoрема 1. Нехай fxng; fyng – числовi послiдовностi. Якщо

Зауважимо, що границя суми, добутку i частки двох послiдовностей може iснувати без того, щоб iснували границi послiдовностей fxng; fyng.

Вправа. Наведiть вiдповiднi приклади.

Задамо число " > 0. Знайдемо N1 таке, що для всiх n > N1 буде

"

jxn Aj < 2:

Знайдемо також N2 таке, що для всiх n > N2 буде

"

jyn Bj < 2:

Покладемо N = maxfN1; N2g. Тодi для заданого " > 0 при всiх n > N матимемо

" "

j(xn yn) (A + B)j jxn Aj + jyn Bj < 2 + 2 = ":

11

Перше твердження доведене.

Тепер доведемо твердження про добуток. Зауважимо, що 9M > 0 таке, що 8n 2 N

jxnj M i jynj M

(це вiрно оскiльки збiжнi послiдовностi є обмеженими).

Знову задамо " > 0. Знайдемо N1 таке, що для всiх n > N1 буде

"

jxn Aj < 2M :

Знайдемо також N2 таке, що для всiх n > N2 буде

"

jyn Bj < 2(jBj + 1):

Покладемо N = maxfN1; N2g. Тодi для заданого " > 0 при всiх n > N матимемо

jxnyn ABj = j(xnyn xnB)+(xnB AB)j jxnyn xnBj+jxnB ABj =

= xn(B yn) + yn(xn A): Byn

Звiдси матимемо

Оскiльки послiдовностi fxng i fyng збiжнi, то вони обмеженi. Значить,

8n 2 N jxnj M i jynj M:

12

Нескiнченно мала i нескiнченно велика величини.

Означення 1. Послiдовнiсть f ng називається нескiнченно малою,

якщо lim n = 0.

n!1

Твердження 1. Для того, щоб послiдовнiсть fxng мала границю A необхiдно i достатньо, щоб xn = A + n; де f ng – нескiнченно мала.

Вправа. Самостiйно довести це твердження.

Вказiвка. Розглянути n := xn A.

Означення 2. Послiдовнiсть f ng називається нескiнченно великою, якщо

8M > 0 9N 2 N 8n > N (j nj > M):

При цьому пишуть lim n = 1, або n ! 1; n ! 1.

n!1

Означення 3. Якщо

8M > 0 9N 2 N 8n > N ( n > M);

то пишуть lim n = +1, або n ! +1; n ! 1.

n!1

Означення 4. Якщо

8M > 0 9N 2 N 8n > N ( n < M);

то пишуть lim n = 1, або n ! 1; n ! 1.

n!1

13

Твердження 2. Нехай fxng – обмежена, а fyng – нескiнченно велика,

то xn ! 0; n ! 1.

yn

Box Знайдеться M > 0 таке, що

8n 2 N

Задамо " > 0 i знайдемо N таке, що для n > N буде

M jynj > " :

Для таких n матимемо

Твердження доведене.

Твердження 3. Нехай fxng – обмежена знизу додатним числом, а

fyng – нескiнченно мала, така, що 8n 2 N (yn 6= 0), то xn ! 1; n ! 1.

yn

Вправа. Самостiйно довести це твердження.

Наслiдок 3.

Вправа. Самостiйно довести наслiдок.

14

Лекцiя 13.

Критерiй Кошi iснування границi послiдовностi.

Означення 1. Послiдовнiсть fxng називається фундаментальною (або збiжною у собi, або послiдовнiстю Кошi), якщо

8" > 0 9N 2 N 8n; m > N (jxn xmj < "):

Теорема 1. Числова послiдовнiсть збiжна тодi i тiльки тодi, коли вона фундаментальна.

Необхiднiсть. Нехай lim xn = A. Доведемо, що fxng – фундаментальна

n!1

послiдовнiсть.

Для довiльного додатного " знайдемо N 2 N таке, що (n > N) ) (jxn Aj < "=2). Тодi, якщо n; m > N матимемо jxn Aj < "=2 i jxm Aj < "=2. Отже

jxn xmj < "=2 + "=2 = ";

що й треба було довести.

Достатнiсть. Нехай fxng – фундаментальна послiдовнiсть. По заданому " > 0 знайдемо N 2 N таке, що (n N)^(k N) =) (jxn xkj < "=3). Зокрема, при k = N отримаємо

Оскiльки поза iнтервалом xN 3" ; xN + 3" є хiба що скiнченна кiлькiсть членiв даної послiдовностi, ми встановили, що фундаментальна послiдовнiсть обов’язково є обмеженою.

Далi, для довiльного n 2 N покладемо

an an+1 bn+1 bn;

15

i, значить послiдовнiсть вiдрiзкiв f[an; bn]g є послiдовнiстю вкладених вiдрiзкiв. Бiльш того, в цiй послiдовностi є вiдрiзки як завгодно малої довжини, оскiльки для n N

i, отже, jbn anj < 23" .

По лемi про вкладенi вiдрiзки iснує єдина точка A 2 R, яка належить всiм вiдрiзкам даної послiдовностi.

Пересвiдчимось у тому, що

lim xn = A:

n!1

При заданому вище " i n N матимемо з одного боку

З двох останнiх систем нерiвностей очевидно випливає, що для n N

Звiдси випливає, що дана послiдовнiсть не є фундаментальною, i, отже, не має границi.

2) Нехай xn означається наступним чином: x1 = 0;

x2 = 0; 1;

x3 = 0; 1 2;

::::::::::::::::::::::::::

16

xn = 0; 1 2 : : : n 1;

:::::::::::::::::::::::::::::::::::;

де k = 0; 1; : : : ; 9, так що fxng – послiдовнiсть скiнченних десяткових дробiв, причому кожна наступна одержується з попередньої дописуванням якоїсь з цифр 0; 1; : : : ; 9.

Покажемо, що така послiдовнiсть завжди збiгається. Маємо (для m >

n)

Звiдси i випливає фундаментальнiсть послiдовностi fxng, а значить i

iснування границi lim xn.

n!1

Критерiй iснування границi монотонної послiдовностi.

Означення 1. Послiдовнiсть fxng називається зростаючою, якщо 8n (xn < xn+1); називається неспадною, якщо 8n (xn xn+1); спадною, якщо 8n (xn > xn+1); незростаючою, якщо 8n (xn xn+1).

Означення 2. Послiдовнiсть fxng називається обмеженою зверху якщо 9M 2 R8n (xn < M); i обмеженою знизу, якщо 9M 2 R8n (xn > M).

Теорема 1(Вейєрштрас). Неспадна послiдовнiсть fxng має границю тодi i тiльки тодi коли вона обмежена зверху. Незростаюча послiдовнiсть fxng має границю тодi i тiльки тодi коли вона обмежена знизу.

Мiркування проведемо для неспадної послiдовностi. Му вже знаємо, що збiжна послiдовнiсть обмежена. Тому треба довести тiльки той факт, що обмежена зверху неспадна послiдовнiсть має границю.

Нехай s = sup xn. З означення sup маємо 8" > 09xN таке, що

n2N

s " < xN s:

Оскiльки послiдовнiсть fxng неспадна, для всiх n > N матимемо

s " < xN xn s

17

i, значить, jxn sj < ". Тобто lim xn = s.

n!1

то

9N 2 N 8n > N xn+1 < 1; xn

Тобто для n > N буде xn+1 < xn. Крiь того, дана послiдлвнiсть обмежена

знизу (всi її члени додатнi). Значить, вона збiжна. Нехай lim xn = a.

n!1

Перейшовши до границi у спiввiдношеннi xn+1 = xn nnq+1, отримаємо

a = a 1q ;

звiдки a = 0:

Приклад 2. Нехай q 2 R. Тодi

lim qn = 0:

n!1 n!

Вправа. Довести це самостiйно.

Число e.

Теорема 1. Границя lim 1 + 1 n iснує.

n!1 n

Зауваження. Границею у даному вмпадку буде число, яке пiсля Ейлера позначається лiтерою e. Воно настiльки ж характерне для аналiзу, як для арифметики 1, а для геометрiї .

Перевiримо спочатку справедливiсть наступної нерiвностi (яка часто називається нерiвнiстю Бернулi):

18

r Непрiвнiсть має мiсце при n = 1. Покажемо, що якщо вона має мiсце для n, то вона має мiсце i для n + 1. Маємо

(1 + )n+1 = (1 + )(1 + )n (1 + )(1 + n ) =

= 1 + (n + 1) + n 2 1 + (n + 1) :

По iндукцiї бачимо, що (1) має мiсце для довiльного n. r

19

Лекцiя 14.

Пiдпослiдовностi i частковi границi послiдовностi.

Означення 1. Якщо fx1; x2; : : : ; xn; : : :g – деяка послiдовнiсть, а fn1 < n2; : : : < nk < : : :g – зростаюча послiдовенiсть натуральних чисел,

то послiдовнiсть fxn1 ; xn2 ; : : : ; xnk ; : : :g називається пiдпослiдовнiстю послiдовностi fxng.

Приклад. 1; 3; : : : – пiдпослiдовнiсть в 1; 2; 3; : : :, а 3; 1; 5; 7: : : : – не пiдпослiдовнiсть.

Лема 1 (Больцано – Вейєрштрас). Довiльна обмежена послiдовнiсть дiйсних чисел мiстить у собi збiжну пiдпослiдовнiсть.

Нехай E – множина значень послiдовностi fxng. Якщо множина E скiнченна, то iснують принаймнi одна точка x 2 E i послiдовнiсть fn1 < n2; : : : < nk < : : :g номерiв такi, що

xn1 = xn2 = : : : xnk = : : : = x:

Послiдовнiсть fxnk g стацiонарна, i, значить, збiжна.

Нехай тепер множина E нескiнченна. Тодi згiдно з принципом Больцано

– Вейєрштраса E має принаймнi одну граничну точку x. Оскiльки x – гранична точка множини E, iснує n1 таке, що jxn1 xj < 1. Якщо xnk

до x.

Лему 1 можна доповнити.

Лема 2. З довiльної послiдовностi дiйсних чисел можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть або пiдпослiдовнiсть, що збiгається до 1 .

Вправа. Доведiть лему 2 самостiйно.

Нехай fxkg – довiльна послiдовнiсть. Якщо вона обмежена знизу, то можна розглянути послiдовнiсть

in = inf xk:

k n

20