Дороговцев & Co - задачник

Ï2. Нехай

(ex[x]; x > 0:

F (x) = 0;

x · 0;

Довести, що множина A ¹ борельовою, та визначити ¸F (A); ÿêùî:

1)

A = [0; 1];

5)

A = [¡2; 2]nQ;

2)

A = [0; 2);

6)

A = (¡1; 1] \ Q;

3)

A = [0; 3]

\

Q;

7)

A = (¡1; 2]nQ;

2 Qª \ [0; 9];

A =

2

4)

A = [¡2; 2] \ Q;

8)

©x 2 R j x

9) A = fx ¸ 0 j p

2 Qg \ [0; 10];

x

10) A = fx > 0 j log2 x 2 Qg \ [0; 10]:

Ï3. Нехай F : R ! R неспадна i неперервна справа функцiя, ¸F

вiдповiдна мiра Лебега-Стiлть¹са на R: Довести, що довiльна множина

A

½

R ¹ ¸¤

-вимiрною, i обчислити ¸F (A); ÿêùî:

F

(2; 0 x < + ;

6) F (x) =

8

5;

2¼ x < ¼;

·

1

¡

·

1)

>

F (x) = 1; ¡1 < x < 0;

<

¡5; ¡1 < x < ¡2¼;

(3;

1

x < +

;

>

10; ¼ · x < +1;

2)

F (x) = ¡1; ¡1 < x < 1;

3)

F (x) = ¡

5;

¡1

< x < 5;

7) F (x) =

80;

10

x < 10;

¡

>

¡ ·

(10;

·

1

:¡8; ¡1 < x < ¡10;

¡

5

x < + ;

<

F (x) = ¡

3;

·< x < 7;

>

p

·

1

4)

2;

¡1

¡

:

11;

10

< x < e;

(7;

1

F (x) =

x < +

;

¡

·

1

81;

e

·

x < ¼;

>

7

x < + ; 8)

<

¡ ¡1

F (x) = 81;

1;

< x < 0;

1

5)

0 x < 1;

9)

F (x) =

x3]; x R;·

·

>[

>

:

2

¡

¡1

3;

¼

x < +

;

<

10)

:

F (x) = [arctg x]; x 2 R:

>2; 1 · x < +1;

Î1. Нехай

(X; F) âèìiðíèé

простiр,

fAn : n ¸ 1g ½ F;

i функцiя f

: X ! R òàêà, ùî fS(x) =

an ïðè x 2 An; n ¸ 1:

Ai \ Aj = ?; i 6= j; i; j ¸ 1;

1

An = X; fan : n ¸ 1g ½ R;

Ñ2. Нехай (X; F)

âèìiðíèé

простiр, f : X !

R

F-âèìiðíà

функцiя, A 2 F;

fA це звуження функцi¨ f на множину A:

Довести, що функцiя fA також ¹ F-âèìiðíîþ.

Î2. Довести, що функцiя f ¹ борельовою, якщо:

1)

f 2 C(R);

3)

f монотонна на R функцiя;

2)

f 2 C([a; b]);

4)

f функцiя обмежено¨ варiацi¨ на [a; b]:

1)

sin[x]; x 22 R;

3)

exp([3 sin x]); x 2 R;

2)

sign cos x ; x 2 R;

4)

sin f(x); x 2 R;

Î4. Нехай ffn : n ¸ 1g послiдовнiсть невiд'¹мних борельових функцiй

f(x) = +

;

P

P

íà R: Покладемо f(x)

=

1

fn(x); ÿêùî ðÿä

1

fn(x) çáiãà¹òüñÿ, i

n=1

n=1

1

якщо цей ряд розбiга¹ться. Довести, що f борельова функцiя.

f : R

R i

R

f0(x): Довести, що

Î5. Нехай

!

8

x

2

9

функцiя

f0 ¹ борельовою.

Ä1. Нехай (X; F) вимiрний простiр. Довести, що:

1) ÿêùî

функцiя

f

:

X

!

R ¹

F-âèìiðíîþ,

òî

8a 2 R : fx 2 X j f(x) = ag 2 F;

2) обернене твердження, взагалi кажучи, ¹ хибним.

Ä2. Нехай (X; F) вимiрний простiр i f : X

! R: Довести, що з

функцiй. Довести, що:

(x) =

inf f(x); x

1)

функцi¨ f¤(x) = sup f(x) i f

¤

2

X; íå ¹,

f2V

f

2

V

взагалi кажучи, F-вимiрними;

2)

ÿêùî X = R i V ½ C(R); òî f¤ i f¤ ¹ борельовими.

1 ®i

дробом x =

Xi

3i

; ®i

2 f0; 1; 2g; i ¸ 1: Нехай для числа x число

=1

k(x)¡1 ®i

1

c(x) =

Xi

+

=1

2i+1

2k(x)

33

мiж класами F1-âèìiðíèõ i F2-âèìiðíèõ функцiй?

Ã2.

Нехай

(X; F)

âèìiðíèé

простiр

i

функцiя

f : X ! R òàêà, ùî 8a 2 Q :

fx 2 X j f(x) < ag 2 F: Довести,

що функцiя f ¹ F-âèìiðíîþ.

Ã3. Довести, що якщо f

: 2R ! R борельова функцiя, то функцiя

g(x; y) := f(x); (x; y) 2 R ; також борельова.

1)

f(x; y) = sign sin ¼(x2 + y2);

6)

f(x; y) = arctg([x] cos(x2 + y2));

2)

f(x; y) = sign cos ¼(x2 + y2);

7)

f(x; y) = 1 ln(1 + [x2 + y2

]);

3)

f(x; y) = (x2 + y2)[x];

2

8)

f(x; y) = [x]2 + [y]3;

4)

f(x; y) = ( x +

y

)e[y];

9)

]);

5)

j j

j j

2

+ y

2

];

10)

f(x; y) = ch sin([x]2+ [y2

]):

f(x; y) = arctg sin[x

f(x; y) = cos sh([x + y

f1

f1f2

1)

;

7)

;

ln(2 + jf2j)

1 + j max(f3; f4)j

2)

max(f1; : : : ; fn);

8)

f1 + ::: + fn

;

3)

min(f1; : : : ; fn);

10 + arctg f1

f1

sh f1

4)

;

9)

;

ch f2

1 + jf2j

5)

sin(jf1j + ::: + jfnj);

10)

arctg f1

:

6)

(1 + jf1j)f2 ;

1 + j max(f2; f3)j

1)

f(x) = x2

; x 2 R;

6) f(x) =

0;

x · 0;

2)

f(x) =

x ; x

2

R

(arctg x;

x > 0;

j

j

3)

max(0; x);

x

R;

f(x) = p

2

7)

f(x; y) =

2

4)

x

2

2

f(x) = j sin xj; x 2 R;

+ y

; (x; y) 2 R ;

0;

x < 0;

8)

x + y ; (x; y) R2;

5)

f(x) = (ln(1 + x);

x

¸

0;

9)

f(x; y) = xj

2j+ yj

2j; (x; y) 2R2

;

p

2

Ï4. Довести, що функцiя f ¹

10) f(x; y) = j sin

x2 + y2

j; (x; y) 2 R2:

борельовою, якщо:

1)

f(x) =

1

(¡1)n

; x R;

X j

j

2

2)

f(x) =

n=1

x + n

1

(¡1)n

; x R;

X

2

n=2

n + sin x2

X

sin(n[x]4)

3)

f(x) =

1

; x 2 R;

n=1

np

n

1

2x

4)

f(x) =

X

arctg

; x 2 R;

n=1

x2 + n4

X

sin nx

5)

f(x) =

1

; x 2 R;

n=1

3

n4 + [x]4

p n[x]

1

X

6)

f(x) = n=1

1 + n5[x]2

; x 2 R;

X

sin(n(x2 + y2))

1

7)

f(x; y) =

4

n

4

2

2

]

; (x; y) 2 R2;

n=1

+ [x + y

pn

8)

1

2

f(x; y) = X e¡

arctg(n([x] + y)); (x; y) 2 R ;

Î1.

Нехай

fNn : n ¸ 1g

½

F; ¸(Nn)

= 0;

n ¸ 1: Довести,

ùî ¸

µn=1 Nn¶ = 0:

1

Î2.

Нехай

R i fn

= 0 (mod ¸); n

1:

Для будь-якого

S fn : X

!

¸

ÿêùî

öåé

ðÿä

P i

g2(x) =

sup fn(x):

1

ðîçáiãà¹òüñÿ,

n¸1

Довести, що

gi = 0 (mod ¸); i = 1; 2:

ff; gg ½ C(R) i

Î3. Нехай X =

R;

¸1

мiра Лебега

íà R;

f = g (mod ¸1): Довести, що 8x 2 R : f(x) = g(x):

Ñ1. Нехай F (x) = [x]; x

R; i ¸F ìiðà Лебега-Стiлть¹са íà ¾-алгебрi

2R (див. задачу А7.О2). 2

Довести, що:

1)

= g (mod ¸

)

k

Z : f(k) =

g(k);

äå

f; g : R ! R;

2)

f

2

F

, 8 2

cos

¼x = 1 (mod ¸F);

3)

x = [x] (mod ¸F):

fn n

f0 (mod ¸F)

k

Z : fn(k)

n

f0(k):

¡¡¡!

, 8 2

¡¡¡!

!1

!1

fn n

f0

(mod ¸)

,

¡¡¡!

!1

8" > 0 : ¸

µn!1 fx 2 X : jfn(x) ¡ f0(x)j < "g¶ = ¸(X) ,

lim

µk=n fx 2 X j jfk(x) ¡ f0(x)j ¸ "g¶ = 0:

8

: n!1

" > 0

lim ¸

S

1

Ä4.

Довести, що

ÿêà

¹

поточковою

границею

послiдовностi

1)

функцiя,

ffn2): n ¸ 1g ½ C(R); ¹ борельовою функцi¹ю;

¤

функцiя

Äiðiõëå

D(x)

= ÂQ(x);

x 2 R; íå

¹ поточковою

границею послiдовностi неперервних функцiй (тобто не ¹ функцi¹ю

першого класу Бера);

3) функцiя Дiрiхле зобража¹ться у виглядi

D(x) = nlim

mlim [cos(2¼n!x)]m; x 2 R;

!1

!1

sin x;

x

Q;

1)

f(x) = (0;

x 2 R Q;

2

n

x2; x2

Q;

2)

f(x) = (0; x2

2 R Q;

arctg x;

2x

n Z;

3)

f(x) = (¼;

x

2 R Z;

ln(1 + x );

2

n

R Q;

ex

2

4)

f(x) = (sin x2; j

j

ex

Qn;

arcsin 2

x

2

R N;

; x

5)

f(x) = (2jxj;

¡j j

x

2 Nn;

2

38

6)

f(x) = (0;

ex 2 Z;n

(ch x)sh x;

ex

R Z;

2

7)

f(x; y) =

x + y; (x; y) 2 Q £ Q;

(x2;

(x; y) = Q

£

Q;

2

8)

f(x; y) =

sin x + sin y;

(x; y) 2 Q £ R;

(cos x;

(x; y) = Q

£

R;

2

(x + y; (x; y) = (R Q) R;

9)

f(x; y) =

xy;

(x; y) 2 (RnQ) £ R;

2

n

£

x] + [y]; (x; y) = (R Q)

R;

10)

f(x; y) = (ch[ x;

(x; y) 2

(RnQ)

£ R:

2

n

£

Ã2.

Нехай

F (x)

=

0;

x · 0;

¸

мiра Лебега-

(x;

x > 0;

F

Стiлть¹са, породжена функцi¹ю F; i ff; gg ½ C(R): Довести, що

f = g (mod ¸F) , 8x ¸ 0

: f(x) = g(x):

Ï2.

Нехай

ffn : n ¸ 1g ;

fgn :

n ¸ 1g

послiдовностi

1)

fx 2 X j fn(x) ¸ 0; n ¸ 1g ;

2)

fx 2 X j fn(x) ¸ f(x); n ¸ 1g ;

3)

½x 2 X j n¸1

n

6

¾

;

sup f (x) = f(x)

4)

½x 2 X j n¸1

n

¾

;

inf f (x) < f(x)

5)

nx 2 X j n!1

n

o

½

lim

f (x) > f(x)

;

6)

2

j

n!1

n

¾

x

X

lim f (x) < f(x)

;

7)

fx 2 X j fn(x) < gn(x); n ¸ 1g ;

8)

½x 2 X j

inf f (x) = sup g

(x) ;

n¸1

n

6 n¸1

n

¾

39

9)

½x 2 X j n¸1 n

n¸1 n

¾

inf f (x) < inf g

(x) ;

½x 2 X j

f (x) < lim g

(x) :

10)

lim

n!1 n

n!1

n

¾

x 2 X j 9 nlim!1 fn(x) 2 R 2 F:

функцiя

Чи правильнi

Ã4. Нехай

мiра Лебега на

n

¸1

o

R;

f : R ! R:

наступнi твердження:

Ï3. Нехай fn : R ! R;

n ¸ 1: Знайти таку функцiю g 2 C(R); ùîá

fn n

g (mod ¸1); ÿêùî:

¡¡¡!

!1

1)

f (x) = cosn x; x

R;

2)

n

2

n

22

R;

f (x) = x

sin

x ; x

2

3)

n

n

x + sin

n

R;

f (x) = cos

x; x

2

4)

n

2

arctg x

n

R;

fn(x) = ¡

+ sinn 2x; x

2

5)

¼n2 sin2 x¢

fn(x) =

; x 2 R;

1 + n2 sin2 x

sinn x

6)

fn(x) =

; x 2 R;