Приставка П.О., Мацуга О.М. Аналіз даних

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f (x;m,σ) =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

			N
max L1 = max∏ f				(xi;θ1,…,θs ),
Θ		Θ	i=1
еквівалентної
			N
max L = max			∑ln f (xi;θ1,…,θs ),					(1.2)
Θ		Θ	i=1
де L = ln L1.
Доведено, що для виконання умови (1.2) необхідно, щоб
	∂L	= 0,	…,		∂L		= 0.	(1.3)
	∂θ	= 0,	…,				= 0.	(1.3)
	∂θ				∂θ	s
1						s

Розв’язання системи рівнянь (1.3) дає обчислювальну процедуру знаходження оцінок параметрів.

Приклад 1.2. Для експоненціального розподілу функція правдоподібності має вигляд

			N
L = N lnλ − λ∑xl ,
			l=1
отже,
ˆ	N			1	.
λ =	N	=		x	.
	∑xl			x

l=1

Приклад 1.3. Для нормального розподілу з функцією правдоподібності

(xl − m)2

L = ∑ln

exp

−

= − 2 N ln(2π)− N lnσ −

σ 2π

2σ

l=1

маємо

∂L

∑(xl − m) = 0,

∂m

σ2

l=1

∂L

= −

∑(xl − m)

= 0,

∂σ

l=1

1		N
		∑(xl − m)2	(1.4)
2σ	2
		l=1

звідки

mˆ =

∑xl = x ,

l=1

ˆ 2

∑(xl

− m)

∑(xl − x )

l=1

Слід зазначити, що оцінка параметра σˆ , одержана за методом максимальної правдоподібності, є зсунена.

Метод моментів (ММ) базується на властивості рівності теоретичних та статистичних початкових або центральних моментів:

νk = νˆk ,

µk = µˆk ,

k =

1,s

причому можлива їх комбінація. Для однота двопараметричних розподілів можна говорити, що оцінки параметрів Θˆ , одержані за методом моментів, мають вигляд

ˆ	2
		), i = 1,s ,	(1.5)
θi = Hi (x, x

тобто оцінка параметра є деякою функцією моментів. Нагадаємо, що

νˆ1 = x ,

µˆ2 = S .

Приклад 1.4. Для експоненціального розподілу є правильне

ν1 = λ1 ,

отже,

λˆ = 1x .

Приклад 1.5. Для нормального закону розподілу є слушне

ν = m ,	µ	2	= σ2	,
1		2
таким чином,
mˆ = x ,	σˆ = S .

Метод найменших квадратів (МНК) ефективно реалізується у тому випадку, коли функцію розподілу шляхом деякого перетворення зводять до лінійного вигляду відносно параметрів. Нехай двопараметричний розподіл зведений до вигляду

z = θ1 + θ2t .

Тоді початковий масив варіаційного ряду {xl ,F1,N (xl );l = 1, N} перетворюється на масив {tl , zl;l =1, N}. За стандартною процедурою методу найменших квадратів з умови мінімізації залишкової дисперсії

1 N −1

min S

Зал

= min

∑(

− θ − θ

l )

θ1

,θ2

θ1

,θ2

N − 3 l=1

тобто з розв’язку системи рівнянь

∂SЗал2		∂SЗал2
	= 0;		= 0,
ˆ		ˆ
∂θ1		∂θ2

одержують систему лінійних алгебричних рівнянь

AΘˆ = Z ,

де

;

A =

N −1

∑tl

;

N −1

l=1

N −1

t2 =

∑tl2

;

N −1

l=1

;

Z =

;

Θ =

θ2

N −1

z =

∑ zl ;

N −1

l=1

N −1

∑ zltl .

N −1 l=1

Приклад 1.6. Експоненціальний розподіл

F (x) = 1− exp(−λx)

зводиться до лінійного вигляду

= λx.

1− F (x)

Тоді масив {xl ,F1,N (xl );l =

}

перетворюється на масив {tl , zl;l =

}, де

1, N

tl = xl

, zl = ln

. Оскільки розподіл є однопараметричний, залишкова дис-

− F1,N

(xl )

персія має вигляд

N −1

SЗал

∑

(zl − λtl )

−

l=1

Реалізуючи умову мінімуму залишкової дисперсії

∂SЗал2

−2

N −1

∑(zl − λtl

)tl

= 0 ,

∂λ

N − 2

l=1

одержують

N −1

∑ zltl

l=1

λ =

N −1

∑tl2

l=1

Приклад 1.7. Нормальний розподіл у результаті перетворення відносно ква-

нтилів набуває такого вигляду:

x = m + σu ,

тобто

початковий

масив

{xl ,F1,N (xl );l =

}

переформовується в масив

1, N

{ul , xl ;l =

}, де ul = F1,−N1 (xl ).

1, N

Тоді

N −1

SЗал =

∑(xl − m − σul )

N − 3

l=1

Із системи рівнянь

mˆ

+ σˆu = x,

mˆu

+ σˆu2 = xu

визначають

xu2

mˆ =

− u

σˆ =

− x u

− (u )2

2 − (u )2

Подібні обчислювальні процедури застосовуються, крім того, до таких розподілів імовірностей: логарифмічно–нормального, Вейбулла, екстремального та ін.

1.2.2. Оцінювання точності оцінок параметрів

За умови, що реалізуються такі методи визначення оцінок параметрів, як метод максимальної правдоподібності, найменших квадратів, оцінювання дисперсій та коваріацій оцінок параметрів здійснюється на основі дисперсійно-коваріаційної матриці

	ˆ		ˆ	ˆ	}
DC =	D{θ1}		cov{θ1,	θ2		,
	ˆ	ˆ	ˆ	}

cov{θ2		,θ1}	D{θ2

причому спосіб визначення DC може бути різний залежно від методу (ММП, ММ чи МНК).

У методі максимальної правдоподібності матрицю DC знаходять на основі інформаційної матриці I :

DC = −I−1,

де

	∂2L	∂2L
	∂θ12

		∂θ1∂θ2
I =	∂2L	∂2L	.

	∂θ ∂θ	2
	2 1	∂θ2

Визначення	∂2L	та	∂2L	не викликає труднощів, тому обчислення матриці
	∂θi2		∂θi∂θ j

DC – процедура здійсненна: спочатку слід знайти в числовому вигляді матрицю I

при θi = θˆi , i =1,2 , а вже потім – DC .

Приклад 1.8. Для нормального розподілу з функцією правдоподібності (1.4) дисперсійно-коваріаційна матриця має вигляд

	σ2	0
	N	0
DC =	N		,

σ2

	0

		2N

отже, узявши за оцінку параметра σ незсунене значення S , одержують

ˆ	S2	ˆ	S2
	N ,		2N .
D(m) = D(x ) =		D(σ) =

Таким чином, за методом максимальної правдоподібності знаходять оцінки точності середнього та середньоквадратичного.

У разі реалізації методу найменших квадратів точність оцінок параметрів θˆ1 , θˆ2 випливає з дисперсійно-коваріаційної матриці вигляду

DC = SЗал2 A−1.

Якщо ж для знаходження оцінок параметрів розподілу застосовують метод моментів, то для однота двопараметричних розподілів оцінки параметрів визна-

чають через моменти x і x2 як функції вигляду (1.5). При цьому

∂H

D{θi}=

D{x}

D{x2}+

cov

{x, x2},

i =1,2 ,

∂ x

∂x2

де

D{x} =

ν2 − ν12

}= ν4 − ν22

;

cov{x,

ν3 − ν1ν2

Коваріація оцінок параметрів у ММ обчислюється на основі виразу

ˆ ˆ

∂H

D{x

cov{x, x

cov{θ1,θ2}=

D{x}+

∂x

1.2.3. Інтервальне оцінювання теоретичної функції розподілу

Довірче оцінювання теоретичної функції розподілу за результатами відтворення здійснюється шляхом призначення довірчого інтервалу, нижня та верхня межі якого знаходяться за виразом

Fн,в (x;Θ)= F (x;Θˆ ) uα2 D{F (x;Θˆ )},

де D{F (x;Θˆ )} – оцінка дисперсії відтвореного розподілу; uα 2 – квантиль нормального розподілу.

Процедура обчислення D{F (x;Θˆ )} залежить від кількості параметрів розпо-

ділу. У випадку однопараметричного розподілу дисперсія статистичної функції розподілу ймовірностей визначається згідно зі співвідношенням

{

∂F

(1.6)

F (x;θ) =

∂θ

{θ}.

}

θ=θ

Для двопараметричного розподілу має місце

ˆ ˆ

∂F

ˆ ˆ

D{F (x;θ1,θ2 )}=

D{θ1}+

D{θ2

}+ 2

ˆ cov{θ1,θ2

∂θ

θ =θ

=θ

1 1

θ2 =θ2

} обчислюють від-

Значення дисперсій оцінок D{θ},

D{θ1},

D{θ2}, cov{θ1,θ2

повідно до третього пункту загальної схеми відтворення розподілу (див. с. 20).

1.2.4. Параметричні розподіли

Наведемо приклади деяких класичних розподілів, їх характеристики та найпростіші підходи до відтворення в процесі автоматизації розрахунків.

Експоненціальний розподіл

У задачах надійності, масового обслуговування та оцінки рідкісних явищ найчастіше застосовується експоненціальний розподіл.

До характеристик експоненціального розподілу належать функції: 1) щільності розподілу ймовірностей (рис. 1.11)

	0,	−∞ < x < 0,
f (x;λ) =	λexp(−λx),	0 ≤ x < ∞;
	λexp(−λx),	0 ≤ x < ∞;

2) розподілу ймовірностей
	0,	−∞ < x < 0,
F (x;λ) =		0 ≤ x < ∞.
1− exp(−λx),		0 ≤ x < ∞.

Рис. 1.11. Графік функції щільності експоненціального розподілу

Важливими характеристиками розподілу є: 1) математичне сподівання

E{ξ} = λ1 ;

2) дисперсія

D{ξ} = λ12 ;

3) коефіцієнт асиметрії

A = µ3 = 2;

µ32 2

4) коефіцієнт ексцесу

E= µ4 − 3 = 6 .

µ22

Упроцесі відтворення функції розподілу за вибіркою Ω1,N виникає необхід-

ність знаходження значення параметра λ . Його обчислюють за методом моментів:

λˆ = 1x = H (x ).

Точність оцінки

λ визначають у такий спосіб:

∂H

ˆ2

D{λ}

D{x} = (−λ

)

∂x

де

D{x} =

Довірче оцінювання F (x) виконується за формулою (1.6) з урахуванням

{

∂F

ˆ2

F (x;λ) =

∂λ

D{λ}= x

exp(

−2λx)

}

λ=λ

Нормальний розподіл

В основі практично всієї класичної теорії ймовірностей та прикладного статистичного аналізу лежить нормальний розподіл, який є межовою формою численних розподілів.

Головні характеристики нормального розподілу такі:

1) функція щільності розподілу ймовірностей (рис. 1.12, а)

2) функція розподілу ймовірностей (рис. 1.12, б)

(

x;m,σ

)

exp

−

(u − m)2

∫

2π

2σ

−∞

=Φ x − m ,σ

де Φ( ) – функція Лапласа.

У літературі функція нормального розподілу часто позначається таким чином:

F (x;m,σ) ≡ Ν(x;m,σ).

а б

Рис. 1.12. Графіки функцій нормального розподілу: а – функції щільності розподілу; б – функції розподілу

До кількісних характеристик розподілу належать: 1) математичне сподівання

E{ξ} = m ;

2) дисперсія

D{ξ} = σ2 ;

3) коефіцієнт асиметрії

A = 0 ;

4) коефіцієнт ексцесу

E = 0, Eˆ = 3.

Оцінки параметрів нормального розподілу мають вигляд

		N
mˆ = x ,	σˆ =		x2 − x2 .
		N −1

Дисперсії оцінок параметрів обчислюють згідно зі співвідношеннями

ˆ	σˆ 2	ˆ	σˆ 2	ˆ ˆ
	N ,		2N ,
D{m} =		D{σ} =		cov{m,σ} = 0.

Довірчі інтервали для функції розподілу знаходять з урахуванням виразів

∂F ∂m

∂F ∂σ

(x − m)2

= − σ

2π exp

−

2σ2

x − m

(x − m)2

= −

σ2

2π

exp −

2σ2

Для визначення функції Лапласа припустима апроксимація:

Φ(u) =1−	1		−	u	2	(b1t + b2t2	+ b3t3 + b4t4 + b5t5 )+ ε(u),
		exp

	2π
			2

де

u ≥ 0 ;	t =		1	;	ρ = 0,2316419;	ε(u)	≤ 7,8 10−8 ;

		1	+ ρu

b1 = 0,319 38153;			b2 = −0,356 563 782 ;				b3 =1,781477 937 ;
b4 = −1,821255 978 ;					b5 = 1,330 274 429 .

Уразі, якщо u < 0 , слушне співвідношення

Φ(u) =1− Φ(u ).

Квантилі uα 2 нормального розподілу можна визначити так:

+ c t + c t2

up = t −

+ εα ,

(1.7)

1+ d t + d

+ d t3

де

p = α 2;

t =

;

εα

≤ 4,5 10−4 ;

c0 = 2,515 517 ;

c1 = 0,802 853;

c2 = 0,010 328;

d1 =1,432 788;

d2 = 0,189 265 9;

d3 = 0,001308.

Під час розв’язання задачі моделювання випадкових величин постає потреба в обчисленні однобічного квантиля uα (табл. Б.1). Його визначення здійснюється

на основі виразу (1.7) з урахуванням того, що за α ≤ 0,5

uα = −up ,	де p = α ,
при α > 0,5
uα = up ,	де p = 1− α .

Розподіл Вейбулла

Розподіл Вейбулла можна назвати найбільш універсальним серед вищезгаданих. Залежно від параметра β його функція щільності може бути унімодальною (β ≤1) чи одномодальною (β >1), а одномодальна – симетричною, правоасиметричною або лівоасиметричною. Якщо β =1 та α =1λ , то розподіл Вейбулла зводить-

ся до експоненціального.

Розподіл Вейбулла характеризують такі функції: 1) щільності розподілу ймовірностей (рис. 1.13)

f(x;α,β) = β xβ−1 exp − xβ , 0 ≤ x < ∞ , α,β > 0;

αα

2)розподілу ймовірностей

F (x;α,β) =1− exp − xβ , 0 ≤ x < ∞ , α,β > 0.α

Рис. 1.13. Графік функції щільності розподілу Вейбулла

Кількісними характеристиками розподілу є: 1) математичне сподівання

E{ξ} = α2βΓ 1+ β1 ;

дисперсія

D{ξ} = α2 β

− Γ2

;

Γ 1

коефіцієнт асиметрії

A = 3 ;

32 2

4) коефіцієнт ексцесу

E= 4 − 3.

Оскільки аналітичний вигляд функції розподілу Вейбулла можна звести до лінійної форми, то найпростіше визначати оцінки параметрів цього розподілу за методом найменших квадратів.

Зводячи функцію розподілу до лінійної форми

	1	= −lnα +βln x ,
ln ln
ln ln

	1− F (x)

одержуємо процедуру знаходження оцінок параметрів αˆ , βˆ з умови мінімуму залишкової дисперсії у вигляді

2	1	N −1	1	ˆ ˆ	2
SЗал =		∑ ln ln		− A−βln xl		,
SЗал =		∑ ln ln		− A−βln xl		,

	N − 3 l=1		1− F1,N (xl )

де

Aˆ = −lnαˆ ,

звідси

αˆ = exp(−Aˆ ).

З урахуванням умов мінімуму необхідне розв’язання системи рівнянь

a11		a12	ˆ	b1
			A			,
	a	a		=	b
			ˆ
	21	22	β		2

де

N −1

a11 = N −1;

a12 = a21 = ∑ln xl ;

a22 = ∑ln2 xl ;

l=1

N −1

b =

∑

ln ln

;

b =

∑

ln x

1− F

(x )

1− F

(x )

l=1

1,N

l=1

1,N

Тоді дисперсії оцінок параметрів такі:

Зал

D{A}=

a a

− a a

D{β}=

a a

− a a

Коваріацію визначаємо за співвідношенням

21 Зал

Зал

cov{A,β}= −

= −

− a

a a

− a

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2015221.6 Кб8Примерный демовариант.docx
#
14.04.2019282.11 Кб1Примеры заданий к экзамену 030112.doc
#
01.05.202557.03 Кб0Принципи цивільного процесуального права курсов...docx
#
01.05.202558.15 Кб0Принципи цивільного процесуального права курсов...docx
#
23.03.20152 Mб53природознавство.doc
#
23.03.20151.07 Mб69Приставка П.О., Мацуга О.М. Аналіз даних.pdf
#
23.03.2015887.3 Кб7Проблема возраста.doc
#
01.05.2025249.5 Кб0Проблема забруднення атмосферного повітря у міс...docx
#
01.05.20254.1 Mб0проблема элиты в россии.doc
#
05.05.2019168.45 Кб3Проблеми національної безпеки.doc
#
01.05.202538.55 Mб0Пробний проект Буря.docx