16. Подвійний інтеграл умови його існування і властивості.

Нехай функция задана у замкненій

обмеженій області D, границя якої складається із числа неперервних кривих.

Розіб’ємо область D на n частин – неперервними кривими так щоб ці частини не мали спільних внутрішніх точок. Площу позначимо відповідно через .

Візьмемо у кожній з цих частин довільні точки: і побудуємо суму

Сума (1) наз. інтегральною сумою ф-ції по області D.

Зрозуміло що можна побудувати скільки завгодно таких сум в залежності від того як розіб’ємо D на частини і як вибираємо точки .

Діаметр обмеженої області G наз. найбільша відстань між двома точками межі цієї області.

Позначимо через діаметр області G. Позначимо черезнайбільший з діаметрів множин.

Озн. Якщо при існує границя інтегральних сум (1), яка не залежить від способу розбиття D на частини вибору точок в кожній з них цю границю називають подвійним інтеграломпо області D і позначають символом.

В цьому позначенні D – область інтегрування, - підінтегральна ф-ція, х та у – змінні інтегрування, dS – елемент площі. Тобто за означенням подвійний інтеграл

З означення подвійного інтеграла випливає, що він не залежить від способу розбиття області

D, тому в декартових координатах найбільш

вдалим є розбиття області D прямими, що паралельні координатним осям

, тому подвійний інтеграл у цьому випадку позначають як . Якщо у формулі (2) взяти , то одержимо формулу для обчислення площі області D:.

Геометричний зміст подвійного інтегралу: Якщо подвійний інтеграл по області D = об’єму циліндричного тіла яке обмежене зверху поверхнею знизу областю D, в площині хоу з боків циліндричною поверхнею напрямна якої збігається з межою області D, а твірні паралельні осі OZ.

Теорема: Якщо ф-ція неперервна у замкненій обмеженій області D, то вона інтегрована в цій області.

Порівняємо тепер позначення (2) з позначенням визначеного інтегралу:

Конструктивно ці означення однакові: і в 2, і в 3 ідеться що замкнену обмежену множину, в 2 це область D, в 3 відрізок потім ця множина ділиться на частини, в кожній із них вибирається точка і обчислюється значення ф-ції в цій точці, потім це значення множиться на міру відповідної множини. В (2) це є – площа множини , а в (3) -- довжина відрізку. В утворених інтегральних сумах знаходиться границя коли міра частин області прямує до 0. Враховуючи все це можна зробити висновок, що властивості подвійного інтегралу аналогічні визначеному, наведемо їх без доведення.

Властивості:

1) Сталий множник можна виносити за знак подвійного інтегралу .

2) Подвійний інтеграл від суми (різниці) інтегрованих в області D ф-цій = сумі (різниці) подвійних інтегралів цих ф-цій .

3) Якщо ф-ція інтегровна в області D ідля всіх точок із D,.

4) Якщо ф-ція іінтегровні в області D і для точок цієї області, то .

5) Якщо область D поділити неперервною кривою на частини і , які не мають спільних внутрішніх точок і ф-ція інтегровна в області D, то

6) Якщо ф-ція неперервна у замкненій обмеженій областіD, то справедлива нерівність , де m і M відповідно найменше і найбільше значення ф-ції, яких вона набуває в області D.- площа областіD.

7) Якщо ф-ція неперервна у замкненій обмеженій областіD. То існує точка , така що