14. Ряд Тейлора

Нехай f(x) є сумою степ. ряду (1) на (-R, R). Вираз (1) наз. також розкладанням ф-ції f(x) в околі точки або розкладання ф-ції за степенями _. Числа наз. коефіціентами цього розкладую Задача полягає в тому щоб у дифірінціальному ряді (1) знайти коефіцієнти розкладання. За властивістю степеневих рядів, ряд (1) можна дифірінціювати скільки завгодно раз і одержані в результаті цього ряди будуть мати інтервали збіжності

Звідси одержимо … ,

Підставляючи знайдені коефіцієнти в (1) одержимо степеневий ряд (2).

Опр. Ряд (2) наз. рядом Тейлора ф-ції f(x).

Теорема 1: Якщо ф-ція f(x) на подана у вигляді степ. Ряду (1), то це подання єдине і даний степ. ряд є рядом Тейлора ф-ції f(x).

Виявляється, що у випадку коли ф-ція f(x) нескінченно раз дифірінційовна на, її ряд Тейлора (2) зовсім не обов’язково буде збігатися до ф-ції f(x), для якої він формально був не будований. Цей ряд (2) взагалі може збігатися зовсім до іншої ф-ції. Виникає питання: за яких умов ряд Тейлора (2) ф-ції f(x) збігається саме до f(x) існує декілька тверджень в яких розглядаються такі умови. На практиці частіше користуються наступною теоремою.

Теорема 2 Нехай ф-ція f(x) має похідну будь-якого порядку на і таке що n=0,1,2,3.. і виконується нерівність .

Озн. Рядом Маклорена наз. ряд Тейлора (2), якщо :

Розглянемо далі розкладення в ряд (3) деяких елементарних ф-цій:

1. 

Для доведення формули (4) розглянемо , ,

тоді за формулою (2) ряд Тейлора ф-ції має вигляд знайдемо його радіус збіжності тобто даний степеневий ряд збігається на всій числовій осі. Покажемо, що він збігається саме до . Розглянемо будь-яий інтервал

. Оскільки А будь-яке додатне число, то за теоремою2 побудований степеневий ряд збігається до ф-ції .

2. 

Розглянемо ,,,, тоді.

Враховуючи це за формулою (3) одержимо ряд . Знайдемо радіус збіжностітобто даний степеневий ряд збігається во всіх точках дійсної осі його збіжності саме до ф-ції sin(x) випливає із теореми2 і до того факту що.

3. Формулу (6) можна довести так само як і формулу (5), але це можна зробити значно простіше. Продифірінціювавши почлено степеневий ряд (5).

4. (7)

, ,,…, тоді .

Підставляючи це у формулу (3) одержимо ряд Маклорена Знайдемо радіус сбіжності одержаного степеневого ряду тобто даний ряд збігається на інтервалі (-R,R), того факту що цей ряд збігається саме до ф-ції не наводимо. Якщо ряд (7) наз. біноміальним. На практиці зустрічаються частині випадки формули (7), якщо m= - 1: .Якщо у формулі (8) замість Х взяти -Х одержимо ряд Якщо крім того у формулі (8) почленно про інтегрувати степеневий ряд одержимо вираз

15. Тригонометрический ряд Фур’є

Озн:Тригонометричним рядом на в [-π,π], наз. функціональний ряд вигляду (1), де а₀,а₁,...,b₁,b₂,…- дійсні числа, які наз. коефіцієнтами тригонометричного ряду.(1)

Нехай f(x) подана у вигляді рівномірнозбіжного до неї триг. ряду(1) (2). За власт-ми ряд(2)можна почленно інтегрувати. проінтегр. на[-π,π]

Звідси одержимо:

, (3).

Помножимо тепер обидві частини рівності (2) на coskx і проінтегрувати одержаний вираз на відрізку [-π,π] одержимо:

Звідси одержимо

(4)

Аналогічно помноживши (2) на sinkx і проінтегрувавши одержаний вираз на [-π,π], одержимо: ,(5).

Озн: Тригонометричний ряд (1) коеф. якого обчислені за формулами (3), (4), (5) наз. рядом Фур’є ф-ї f(x), а самі коеф-ти 3 і 4 наз. коеф. Фур’є.

Розглянемо задачу: нехай задана 2π- періодична ф-ція f(x). Побудуємо для цієї ф-ції ряд Фур’є

(6), де a₀,a_n,b_n – визначається відповідно за формулами (3), (4), (5)

Однак виявляється, що побудований формально ряд (6) взагалі кажучи зовсім не обов’язково буде збігатися до ф-ції f(x), а може збігатися до зовсім іншої ф-ції. Аналогічне явище спостерігалося раніше для рядів Тейлора. Розглянемо далі теорему в якій наведені умови за яких ряд Фур’є ф-ції f(x) збігається саме до ф-ції f(x).

Теорема 1 (б/д)

Якщо ф-ю f(x) можна подати у вигляді рівномірно збіжною тригоном. ряду (2) то це подання єдине і данний тригоном. ряд є рядом Фур’є цієї ф-ї.

Озн

Ф-цію f(x) наз. Кусково-монотонною на відрізку [a,b], якщо існує таке розбиття відрізка на n частин a=x₀<x₁<…<x_n=n, що на кожн. з від-ку [x_i-1; x_i] ф-ція f(x) монотонною.

Теорема 2: Нехай f(x) обмежена, 2π- періодична і кузково-монотонна ф-я на всій осі, тоді ряд Фур’є ф-ї f(x) є збіжним на всій числовій осі і сума S(x) цього ряду дорівнює значенню ф-ї f(x), якщо х₀-точка розриву ф-ї f(x), то

.

Зауваження: порівнюючи умови розкладання ф-ї у ряд Тейлора і ряд Фур’є можна побачити, що останній значно простіший. По-перше, ф-ція зовсім необов’язково повинна мати похідні будь-якого порядку і взагалі кажучи вона може бути розривною. Тому клас ф-ції яких можна подати рядом Фур’є значно ширше, тих що подаються рядом Тейлора. Крім того виявляється, що випудку, коли ф-ція f(x) є парною, або непарною задача знаходження коєфіц. Фур’є значно спрощ. Так для парної ф-ції f(x) ряд Фур’є містить лише косинуси.

і коефіц. Фур’є обчислюємо:

,

(7)

Для непарної ф-ції ряд Фур’є містить лише синуси

n=1,2,…

b_n=2/π n=1,2,… коеф.

Це невипадково, оскільки таке подання відображає хар-тер ф-ції. Для парної ф-ції ряд Фур’є скл. З парних ф-цій косинусів, а для непарних – з непарних ф-цій синусів.

У вип., якщо ф-ція розгляд на відрізку [-1,1], зробивши в ф-лах (3), (4), (5) заміну змінної одержимо наступні ф-ли для коефіц. Фур’є такої ф-ції:

а сам ряд Фур’є має вигляд: