8. Невласні інтеграли 2-го роду.

Нехай ф-я f(x) визначена на проміжку [a,b) точку х=b назвемо особливою точкою ф-ції f(x) якщо lim f(x)= коли ^{х b->0}. Озн. Нехай f(x) визначена на проміжку [a,b) де точка b - особлива і інтегровна на будь-якому відрізку [a,b- ε). Якщо існує границя то її наз. Невласним інтегралом 2-го роду і позначають.

Тобто за озн. =(1)

Якщо границя в (1)існує і скінченна, ф-цію f(x) наз. інтегровною на проміжку[a;b], а сам невласний інтеграл наз. збіжним. У випадку, якщо границя в (1) не існує або нескінченна,то ф-ціюf(x) наз. неінтегровною на [a;b] а сам невласний інт-л наз-ся розбіжним.

Аналогічно визнач. невласний інтеграл 2-го роду, якщо особливою є точка а.

=(2)У випадку якщо особливими є точки а і в, невласний інтегр визнач.=+(3)

де с – довільна точка із інтервала [a;b]

Інтеграл (3) вважаєм збіжним якщо збігаються обидва інтеграла у правій частині (3) Можна довести, що інтаграл (3) не залежить від вибору внутрішньої точки с. У випадку якщо особливою точкою є внутрішня точка відрізка [a;b] невласний інтеграл 2-го роду визнач так

=+

(4)

де т. с₀ – особлива точка ф-ції f(x). Інтеграл (4) вважають збіжним, якщо збігаються обидва інтеграли у правій частині (4)

Як і невласні інтеграли 1-го роду не є границями інтегральних сум, а визнач. як інтеграли із змінними межами інтегрування. Геом. зміст інтегралів (1) – (4) полягає в тому, щоб вони визначали площу необмеженої поверхні

Деякі достатні ознаки збіжності невласних інтегралів 2-го роду. Сформулюємо для інтегралів виду (1). Для виду (2) –(4) формулюються аналогічно.

Теорема 1( ознака порівняння)

Нехай ф-ції f(x) і g(x) додатні і неперервні на проміжку [a;b) і b – особлива точка 2-х ф-цій. Якщо для всіх х що належать [a;b) існує нерівність 0f(x)g(x) від збіжності інтегралу випливає збіжність. А із розбіжностівипливає розбіжність. Наведена теорема має такий геом. зміст:

Якщо площа більшої за розміром обл. є скінченне число, то площа меншої обл. також скінченна. У випадку, якщо площа меншої обл. нескінченна величина, то площа більшої обл. також нескінченна.

Теорема 2 (гранична ознака порівняння)

Нехай ф-ції f(x) і g(x) неперервні додатні на проміжку [a;b) і т. в- особлива точка обох ф-цій. Якщо , то інтегралиіабо одночасно збігаються, або одночасно розбігаються.

Наведені теореми 1 і 2 справедливі лише для додатніх ф-цій. Для знакозмінних ф-цій справедлива

Теорема 3: Нехай f(x) неперервна на проміжку [a;b), т. в – особлива.Якщозбігаеться то збігається і інтеграл. Твердження обернене до твердження данної теореми неправильне. Із збіжностіне випливає збіжність

Відрізняють випадки:умовно и абсол збижн.

9.Числові ряди. Найпростіші властивості.

Озн. : Нехай задана посл-ть дійсних чисел {a_n}^∞_n=1={a₁,a₂,…., a_n ….}.

Числовим рядом наз-ся вираз a₁,a₂,…., a_n …=.(1)

Цьому ми не приписуємо ніякого числа, тому що не можна виконати нескінченну суму.a_nназ. загальним членом ряду (1)_.

Частинною сумою ряду (1) наз. вираз S_n a₁+a₂+., +a_n

Сумою ряду (1) наз. S = lim S_n якщо ця границя існує.

^n->∞

Ряд 1 наз. збіжним, якщо сума S –скінченне число, тоді пишуть =S

Якщо ця границя є нескінченна або не існує ряд 1 наз. розбіжним. Це позначають =

Приклади:

1. Геом. прогресія

_∞

a + aq +…+ aq^n-1+ …=∑ aq^n-1 S_n= a + aq +…+ aq^n-1 = a(1-q)/1-q= a/1-q - aqⁿ/ 1-q = ^{a/1-q, |q|<1}

ⁿ⁼¹ , ^|q|>1

У випадку, якщо q=1 S_n= a + a +...+а = na -> 

n->  ряд розбіжний. Геом. прогресія збігаеться, якщо|q|<1 і розбігається якщо |q|≥1

2. Гармонічний ряд

_∞

1+ 1/2 + 1/3+…+1/n+…=∑1/n Покажемо, що цей ряд розбіжний. При доведенні формули для числа е ми розглядали

ⁿ⁼¹

послідовність {x_n}^ ={(1 +1/n)ⁿ}^ Ми довели, що ця послідовність зростаюча і обмежена зверху числом е. Для будь-якого

^{n=1 n=1}

nє|N (1+1/n)ⁿ <e

прологарифмуємо ln(1+1/n)ⁿ <lne

nln(1+n/n )<1

ln(1+n)-ln(n)<1/n (2)

Запишемо нерівність (2) для n=1,2,3…

ln2 – ln1<1

ln3 – ln2<1/2

ln4 – ln3<1/3 ln (n+1) – ln(n)< 1/n

Додамо відповідні ліві та праві частини одерж. нерівності

ln (n+1)<( 1+ 1/2 + 1/3+…+1/n) -> S_n , де S_{n –} частинна сума ряду ∑1/n

Перейшовши у нерівності ln (n+1)< S_n до границі при n->  За теоремою про граничний перехід у нерівності для послідовності одержимо lim S_n =

^n->∞

Це означ. що вихідний ряд розбіжний за означ.

Якщо ряд збігається і має скінченну сумуS , то ряд с також збігається і має суму СS

Дов-ня:

Нехай S_n=,_n=_С=сS_n. частинні суми відповідних рядів. Тоді за озн. суми ряду

lim_n σ_n= lim_{n C} = Clim_n =lim_n S_n =сS.

2)Якщо ряди ізбіг-ся і мають суми А і В то збіжн-ми є ряди=АВ.

Дов-ня:

Нехай S_n=, _n=

S*_n=, S*_n= S_n _n

Тоді lim_n S_n=А , lim_n _n=В.

3)На збіжність не впливає приєднання до нього або відкидання скінченної кількості членів

Нехай числовий ряд з якого відкинемоm членів суму яких позначимо _m Візьмемо n настільки великим щоб всі відкинуті доданки містились у частинній сумі S_n. Через С_n-m позначемо ті доданки, що містяться в S_n і не містяться в _m тоді

S_n= с_m+_n-m тоді lim_n S_n= с_m+ lim_n _n-n.

Звідси випливає що границі у лівій і правій частині одночасно існують або не існують тобто ряд один збіжний(розб-й) коли збіжн-й(розб-й) ряд без m його членів.

Озн: Вираз r_n =наз. залишком ряду (1).

Із властивості (3) випливає, що ряд 1 збіжний(розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збіжним(розбіжним) буде його залишок.

4) якщо ряд 1 збіжний, то lim_n r_{n =} 0

Доведення:

=S < 

за озн. S_n + r_n = Sr_n = S- S_n

тоді lim_n r_n = lim_n (S- S_n)= S- S=0

5)Необхідна умова збіжності .

Якщо ряд 1 збіг-ся то lim_n а_n=0.

Дов-ня:

Нехай =S< тоді a_n = S_n - S_n-1= -^-1=> lim_n a_n= lim_n( S_n - S_n-1)=S- S=0

Зауваж. Наведена умова є лише необхідною але не достатньою тобто існують розбіжні де lim_n а_n =0 _

Прикладом такого ряду є ∑1/n

ⁿ⁼¹

Достатня умова розбіжності ряду:

Якщо lim_n а_n0 то є розбіжним