14. Теорема додавання ймовірностей для сумісних подій.

Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи.

Доведенння: залишимо події А і В у вигляді додавання несумісних подій.

15. Формула повної ймовірності.

Нехай подія А може відбутися з однією з ряда несумісних подій Н ,Н ...Н ,які утворюють повну групу подій і називаються гіпотезами. Ймовірність кожної з гіпотез відома Р(Н ), Р( Н )...Р( Н ).Відомі також ймовірності події А для настання з кожною з гіпотез Р( А/Н),Р(А/Н)....Р(А/Н).

Теорема:ймовірність події А , яка може відбутися разом з однією з гіпотез Н ,Н ,....Н = сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез на умовну ймовірність настання події А з кожною з гіпотез.

Р(А)= Р(Н₁ )*Р(А/Н₁ )+ Р(Н₂ )* Р(А/Н₂)+....+Р(Н_п) * Р(А/Н _n)=

Доведення: Події Н ,Н ,...Н ,складають повну групу подій тобто подію А можна записати у вигляді А =

Оскільки гіпотези несумісні, то і кожна з подій А∩Н _і також буде несумісною подією, тому для події А можна застосувати правило додавання несумісних подій.

Далі застосовуємо аксіому добутку ймовірностей і отримаємо:

16. Теорема гіпотез

До цієї теми ми знаходили ймовірності подій до проведення експерименту, але є задачі, в яких необхідно переоцінити ймовірності гіпотез Н , Н ....,Н за умови , що випадкова подія А здійснилася, тобто дається відповідь на питання, які ймовірності мають гіпотези в зв’язку з появою події А Р( Н_і/А),і =1,n.

Теорема: ймовірність гіпотези після проведення експерименту=добутку ймовірності гіпотези до експерименту на умовну ймовірність події А, щодо відповідної гіпотези ( подія А здійснилася в умовах експерименту) поділену на повну ймовірність цієї події.

Доведення: Н ,Н ,...Н – повна група подій. З визначення повної ймовірності

17. Повторення випробувань. Схема Бернулі.

Проводиться декілька експериментів в результаті яких може з’явитися подія А з визначеною ймовірністю р і не з’явитися з ймовірністю 1-р= q. Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки зі сталими ймовірностями р і q то їх називають експериментами за схемою Бернулі (р + q=1)

Необхідно визначити ймовірність того що в результаті n незалежних експериментів за сх. Бернуллі подія А з’явиться рівно m раз

Таку ймовірність можна обчислити за допомогою теорем добутку і додавання ймовір., але це призводить до складниї обчислень.

Доведення формули: Нехай в однакових умовах проводиться n незалежних дослідів. Результатом кожного з них може бути настання події А (Р(А)=р) або ненастання (Р(А)= q) Експерименти проводяться в однакових умовах

Нехай подія А відбувається m раз тоді подія А відбувається ( n-m) раз. Прикладом однієї з таких комбінацій є подія в якій А настає в m – перших дослідах

Згідно з умовами експерименту події А_і (і = 1,n) незалежні тобто за наслідком до теореми добутку ймовірностей

Комбінації подібні події В є несумісними подіями до яких можна застосувати теорему про додавання несумісних подій. Тобто якщо

Формула Бернуллі має велике значення в теорії ймовірностей тому що вона пов’язана з повтореннями експериментів в однакових умовах тобто в саме таких умовах коли діють закони в теорії ймов.