§8. База топологічного простору. Введення топології за допомогою бази

Нехай - топологічний простір,- його топологія.називаєтьсябазою топології , якщо будь-яка підмножина зє об’єднанням деякої сукупності підмножин з(при цьому вважається, щоє об’єднанням пустої сукупності підмножин з).

Твердження 1 (критерій бази): - топологічний простір.є базою топологіїтоді і тільки тоді, коли

Доведення: Припустимо, що - база топології. Виберемо довільну точкуі деякий її окіл. Оскількиє відкритою множиною, то він є об’єднанням деякої сукупності підмножин. Оскільки, то з означення об’єднання випливає, що.

Припустимо тепер, що задовольняє умові критерію, і покажемо, що тоді- база топології, тобто будь-яка відкрита підмножинає об’єднанням деякої сукупності підмножин з.

Дійсно, оскільки - відкрита, то. Тоді за умовою критерію:

. Все доведено.

Приклади: 1. З розділу “Відкриті підмножини метричного простору ” випливає, що утворює базу індукованої топології. Оскільки будь-яка відкрита підмножина з М є об’єднанням деякою сукупності відкритих куль. Але ця топологія має і меншу базу:.

2. В природній топології числової прямої R базу утворюють усі обмежені відкриті інтервали . Відзначимо, що хоча ця топологія наR має потужність контінум, але вона має зліченну базу , що випливає з критерію бази.

Твердження 2 (необхідна умова бази): Нехай - топологічний простір. Якщоє базою топології, тозадовольняє наступним умовам:

1.

2.

Доведення: 1. Оскільки Т – відкрита множина, то Т можна представити як об’єднання елементів бази . За означенням об’єднання .

2. Нехай - відкрита множина, як перетин двох відкритих множин.

- окіл точки х і за критерієм бази . Все доведено.

Теорема( про введення топології за допомогою бази): Нехай Т – деяка множина і . Припустимо, щозадовольняє умовам 1) і 2) попереднього твердження, тоді існує єдина топологіяна Т, для якоїє базою.

Доведення: Нехай - сукупність усіх можливих об’єднань підмножин з . Перевіримо аксіоми топології для:

Т1: З умови 1) попереднього твердження випливає, що Т є об’єднання деякої сукупності підмножин з . Таким чином,.

Пусту множину можна розглядати як об’єднання пустої сукупності підмножин з , тому.

Т2 – виконується, оскільки об’єднання будь-якої сукупності об’єднань підмножин з буде об’єднанням підмножин з, томупотрапляє в.

Т3: Для доведення цієї аксіоми застосуємо метод математичної індукції:

а) Нехай .

Покажемо, що .

Дійсно, .

Достатньо показати, що , тоді з аксіоми Т2 випливає, що.

Згідно умові 2) попереднього твердження:

Тоді цей перетин є

б) Припустимо, що перетин будь-якої k підмножин з належить. Покажемо, що перетин k+1 підмножин з також належить:

. Все доведено.

§9. Неперервне відображення топологічних просторів. Гомеоморфізми

Нехай X, Y - топологічні простори. Відображення називаєтьсянеперервним в точці , якщо .

Якщо відображення - неперервне в, то воно називаєтьсянеперервним відображенням топологічних просторів.

Нехай - деяка база просторуХ, - деяка база просторуY. Означення неперервності відображення можна ввести , використовуючи тільки елементи баз цих просторів, а саме:

Твердження 1: Нехай X, Y - топологічні простори, ,- їх бази. Відображеннябуде неперервним втоді і тільки тоді, коли

Доведення: Припустимо, що - неперервне в точціх. Виберемо

Оскільки - окіл точкиу, то за означенням неперервності .

За критерієм бази .

Припустимо тепер, що відображення задовольняє умову твердження, тобто відображення – неперервне:

.

За умовою твердження:

Оскільки є околом точких, то . Все доведено.

Розглянемо тепер неперервні відображення метричних просторів.

Оскільки сукупність усіх -околів метричного простору утворює базу його топології, то можна ввести наступні означення неперервності відображень метричних просторів.

Нехай X, Y - метричні простори, ,.Відображення називаєтьсянеперервним в точці х, якщо:

.

Оскільки іє елементами бази просторівX, Y , то згідно твердження 1, це означає еквівалентне означенню неперервності відображення топологічних просторів. В окремому випадку числових функцій (функцій, заданих на просторіR) означення неперервності має наступний вигляд:

Функція f неперервна в точці , якщо:

Твердження 2 (критерій неперервності відображень топологічних просторів):

Нехай X, Y - топологічні простори, неперервне тоді і тільки тоді, коли :

1. Прообраз будь-якої відкритої множини з Y є відкритою множиною в X.

2. Прообраз будь-якої замкненої множини з Y є замкненою множиною в X.

Доведення: 1. Припустимо, що є неперервним. НехайU–довільна відкрита множина з Y. Покажемо, що є відкритою множиною вX.

Нехай , тодіU можна розглядати як деякий окіл точки у і за означенням неперервності відображення .

Довільний х входить в V разом з деяким своїм околом є відкритою.

Припустимо тепер, що відображення задовольняє умові твердження, тобто прообраз будь-якої відкритої множини зY є відкритою множиною в X.

Покажемо, що є неперервним, ,.

Нехай - деякий окіл точкиу. Оскільки - відкрита множина, то, згідно умові твердження, її прообразє відкрита множина вX. Оскільки , тоє околом точких.

З означення неперервності 1) умова доведена.

2. Це твердження випливає з твердження 1 і рівності . Припустимо, що прообраз будь-якої замкненої множини зY є замкненою множиною в X. Нехай V – довільна відкрита множина з Y, тоді - деяка замкнена множина. Оскільки- замкнена множина вX, то з рівності випливає, що- відкрита множина вX. Прообраз будь-якої відкритої множини з Y є відкритою множиною в X., тому - неперервне відображення. Припустимо тепер, що

- неперервне відображення, тоді з п.1) випливає, що прообраз будь-якої відкритої множини з Y є відкритою множиною в X.

Нехай V – деяка замкнена множина з Y, тоді деU–деяка відкрита множина з Y . Оскільки - відкрита множина вX, то з рівності випливає, щозамкнена множина вX.

Отже, все доведено.

Твердження 3: Композиція (суперпозиція) неперервних відображень топологічних просторів є неперервним відображенням, тобто, якщо X, Y, Z – топологічні простори, і- їх неперервні відображення, тоє неперервним відображенням топологічних просторів.

Доведення: Застосуємо критерій з попереднього твердження:

Нехай U – довільна відкрита множина з Z, оскільки прообраз U такий що: іf, g – неперервні відображення, то згідно попереднього твердження множина - відкрита вX, а є неперервним. І все доведено.

Нехай X, Y – топологічні простори. Відображення називаєтьсягомеоморфізмом, якщо f – бієктивне, неперервне і зворотне до нього відображення.

також є неперервним.

Якщо між просторами X та Y існує гомеоморфізм, то такі простори називаються гомеоморфними і позначаються так: .

Нехай X, Y – топологічні простори. Відображення називається:

1. відкритим, якщо образ будь-якої відкритої множини є відкритою множиною вY.

2. замкненим, якщо образ будь-якої замкненої множини зX є замкненою множиною в Y.

Твердження 4: Нехай X, Y – топологічні простори, бієктивне неперервне відображення є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли воно є відкритим (замкненим).

Доведення: Доведемо твердження для відкритих відображень. Для цього застосуємо критерій (1) з твердження 3. Припустимо, що f – гомеоморфізм, і покажемо, що f – відкрите відображення. Оскільки f – гомеоморфізм, то є неперервним. Покажемо, щоf(U) -відкрита множина в Y. Оскільки - неперервне відображення іf(U) – прообраз множини U при дії неперервного відображення , то згідно твердження 3f(U) – відкрита множина в Y.

Припустимо тепер, що відображення f – відкрите і покажемо, що f – гомеоморфізм. Для цього достатньо показати, що зворотне відображення є неперервним.

Нехай U – деяка довільна відкрита множина з X, тоді f(U) є прообразом множини U при дії відображення , а оскільки відображенняf – відкрите, то множина f(U) є відкритою множиною в Y.

Таким чином, згідно критерію 1 твердження 3 відображення є неперервним.

Для замкнених відображень твердження доводиться аналогічно, замість критерію 1 треба застосувати критерій 2.

Наслідок: Якщо між топологічними просторами X, Y існує гомеоморфізм , то для довільної множинивиконуються співвідношення:

1.

2.

3.

Якщо між топологічними просторами існує гомеоморфізм, то вони мають однакові топологічні властивості. У загальній топології гомеоморфні простори вважаються однаковими.

Твердження 5: Гомеоморфність є співвідношенням еквівалентності на класі усіх топологічних просторів, тобто:

1.

2.

3.

Доведення: 1. Якщо , то гомеоморфізмвстановлює тотожне відображення.

2 . Якщо - гомеоморфізм, тотакож гомеоморфізм.

3. Нехай - гомеоморфізм,- теж гомеоморфізм, оскільки композиція бієктивного відображення є бієктивним відображенням, композиція неперервного відображення є неперервним відображенням, зворотне до композиціїє, то відображення- неперервне, а відображення- гомеоморфізм. І все доведено.

Сукупність усіх топологічних просторів розпадається на класи гомеоморфних просторів і вони не перетинаються. Ці класи називаються топологічними типами. Гомеоморфні простори мають однакові топологічні типи.