§2. Відкриті множини метричних просторів та їх властивості

Нехай - метричний простір,- елемент простору,.

Множина називаєтьсявідкритою кулею з центром у точці і радіусом.

Множина називаєтьсязамкненою кулею з центром у точці і радіусом.

Множина називаєтьсясферою з центром і радіусом.

Множину називають -околом точки .

В метричному просторі можна ввести означення відстані між його підмножинами,а саме, якщо , то.

Означення відстані між підмножинами дозволяє ввести означення -околу підмножини А метричного простору. А саме, якщо міститься в М, то

Нехай М - метричний простір, U – підпростір простору М, називають відкритою множиною, якщо або U – пуста множина, або будь-яка точка з U входить в U разом з деяким своїм -околом. Тобто

Твердження 1: Нехай М – метричний простір, , тоді:

1. Відкрита куля - відкрита множина.

2. - відкрита множина.

Доведення: Нехай .

Покажемо, що

Нехай тоді

Таким чином, .

Оскільки то весь цей окіл належить

1 пункт доведено.

Нехай

Нехай тоді за аксіомою трикутника, маємо:

Таким чином,

Оскільки то весь цей окіл належить

Все доведено.

Теорема 2 (властивості відкритих множин метричного простору):

Нехай М – метричний простір, тоді сукупність усіх відкритих множин простору М задовольняє наступним властивостям:

1. Пуста підмножина та вся множина М є відкритими.

2. Об’єднання будь-якої кількості відкритих підмножин простору М є множиною відкритою.

3. Перетин будь-якої скінченної сукупності відкритих підмножин з М – відкрита множина в М.

Доведення: 1. За означенням відкритої множини пуста множина є відкритою, а будь-яка точка з М входить у простір М з будь-яким своїм околом. Тому М – також відкрита.

2. Нехай -деяка сукупність відкритих множин простору М

Покажемо, що U – відкрита множина М.

Нехай , тоді

Оскільки - відкрита, то

Але за означенням об’єднання:

Таким чином, U– відкрита.

2. Нехай за означенням перетину:

Оскільки підмножини - відкриті, то. Нехай

Таким чином, кожна точка U входить в U разом з деяким своїм околом U – відкрита підмножина.

Зауваження: Перетин нескінченної сукупності відкритих підмножин метричного простору може бути відкритим.

Розглянемо відкриті підмножини:

не є відкритою підмножиною, оскільки ніякий окіл числа 1 не попадає в множину (0,1].

Твердження 2: Підмножина U множини М є відкритою тоді і тільки тоді, коли U є об’єднанням деякої сукупності відкритих куль з М.

Доведення: Нехай U є об’єднанням деякої сукупності відкритих куль. За твердженням 1 кожна ця куля є відкритою підмножиною, тоді за властивістю 2 попередньої теореми : U – також відкрита підмножина з М.

Нехай U – відкрита підмножина з М, тоді за означенням відкритої підмножини:

Оскільки - відкриті кулі, то твердження доведено.

§3. Топологія. Топологічні простори. Приклади

Нехай Т – деяка множина, тоді булеан - сукупність усіх підмножин.

Деяка сукупність підмножин множининазиваєтьсятопологією на множині Т, якщо задовольняє наступним аксіомам (аксіомам топології)

Т1: пуста множина, сама множина Т містяться в.

Т2:

Об’єднання будь-якої сукупності підмножин з також належить до.

Т3:

Перетин скінченної сукупності підмножин з належить до.

Якщо на множині Т задана деяка топологія , то пару (Т,) називаютьтопологічним простором. При цьому елементи множини Т називаються точками цього простору. А підмножини з називаютьсявідкритими підмножинами з цього простору.

Якщо заздалегідь невідомо, про яку топологію на Т йде мова, то для позначення топологічного простору можна використовувати лише позначення множини Т.

Приклад 1: (М, ) – деякий метричний простір.

Нехай - сукупність всіх відкритих підмножин цього простору. За теоремоюзадовольняє всім аксіомам топології, тоді (М,) є топологічним простором. Цю топологіюназиваютьтопологією на М, індукованою метрикою , і позначається .

Таким чином, поняття топологічного простору є деяким узагальненням метричного простору.

Нехай (Т, ) – деякий топологічний простір. Якщо на множині Т можна задати метрику, так що (Т,)=(Т,), то кажуть, що топологіяєметризованою.

Зазначимо, що далеко не всі топології є метризованими.

Приклад 2: Нехай Т – множина. =, тоді- топологія на Т, яку називаютьдискретною. Зазначимо, що дискретна топологія індукована дискретною метрикою. У цій топології усі підмножини з Т є відкритими. І зокрема, точки дискретного простору є відкритими підмножинами.

Приклад 3: Нехай Т – множина. ,задовольняє всім аксіомам топології. Цю топологію називаютьтривіальною топологією на Т.

Приклад 4: Нехай Т – нескінченна множина, покладемо:

є топологією на Т, яку називають топологією скінченних доповнень (топологією Заріського). Перевіримо, щоє топологією на Т:

З означення випливає Т1

Т2: Нехай

Розглянемо кількість

Якщо усі - пусті підмножини, то.

Якщо не всі – то їх можна не писати в об’єднання.

Таким чином, можна вважати , що всі множини є не пусті.

Т3:

Якщо хоча б одна з множин пуста, тотакож пуста з.

Приклад 5: Нехай (Т, ) – топологічний простір і нехай

Покажемо, що є топологією на множиніА.

Т1:

Т2:

Т3: Нехай

Таким чином, - топологія на підмножині А, яку називають топологією, індукованою на А топологієюназивають підгрупою простору.

Таким чином, всяку підмножину простору Т можна розглядати як його підпростір з індукованою топологією.

Якщо , то- слабкіша,- сильніша. Найслабкіша – тривіальна, найсильніша – дискретна