Варіант 7

1. Визначити, чи буде образ незв’язного простору при неперервному відображенні незв’язним.

2. Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, у яких хоча б одна з координат ірраціональна.

3. Нехай – підмножина зв’язного топологічного простору. Довести, що якщо – зв’язна, то і – зв’язна.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфними простори і²

Варіант 8

1. З’ясувати, чи буде зв’язною множина точок усіх кіл на площині з радіусом (де – раціональне число) та центром на початку координат.

2. Довести, що топологічний добуток – лінійно зв’язний тоді і тільки тоді, коли просториі лінійно зв’язні.

3. Нехай – зв’язна підмножина топологічного простору . Довести, що якщо, , , то .

4. З’ясувати, чи будуть гомеоморфними множини точок поверхні двовимірного тору в ³ та множина точок сфери в ³.

Варіант 9

1. Нехай на множині задані топологічні структуриіта. З’ясувати, чи випливає із зв’язностізв’язність простору. А навпаки?

2. Нехай множини ізв’язні та. Довести, що– зв’язна множина.

3. Довести, що простір незв’язний тоді і тільки тоді, коли існує неперервна сюр’єкція ( – коло одиничного радіуса з центром в 0 простору ¹ ).

4. Визначити, чи будуть гомеоморфними інтервал в та коло в².

6. Компактні топологічні простори

Варіант 1

1. Довести, що в кожному нескінченному компактному просторі існує зчисленна незамкнена множина.

2. Довести, що перетин будь-якої сім’ї компактних підмножин гаусдорфового простору буде компактним.

3. Довести, що якщо - неперервна функція, то– замкнений інтервал або точка.

Варіант 2

1. Нехай – нескінченна множина, яка наділена топологією скінченних доповнень. Довести, що будь-яка підмножина цього простору буде компактною.

2. Довести, що перетин спадної послідовності компактних не порожніх зв’язних підмножин гаусдорфового простору також буде не порожньою зв’язною множиною.

3. Нехай – метричний простір, а– його компактний підпростір. Довести, що дляіснує, такий що.

Варіант 3

1. Довести, що якщо – замкнена множина, а– неперетинна з ним компактна підмножина метричного простору, то .

2. Нехай , де– множина дійсних чисел, а. Введемо на множинітопологію, у якій відкритими множинами будуть об’єднання відкритих множин, які належатьз множиною. Перевірити аксіоми відкритих множин. Довести, що множина– компактна, а– не компактна.

3. З’ясувати, які з наведених множин будуть компактними:

а) в;

б) ⁺= | в;

в) коло в ²;

г) куля в ²;

д) однополий гіперболоїд в ³.

Варіант 4

1. Нехай і– компактні підмножини метричного простору. Довести, що існують такі точкиі, що.

2. Довести, що замкнена підмножина фінально-компактного простору буде фінально-компактною

3. Довести, що графік функції компактний у² тоді і тільки тоді, коли – неперервна функція.

Варіант 5

1. Нехай – довільна не порожня множина, а– компактна підмножина метричного простору. Довести, що існує така точка, що.

2. Довести, що компактний гаусдорфів простір метризований тоді, коли він має зчисленну базу.

3. Навести приклад розривної функції , графік якої замкнений, але некомпактний.

Варіант 6

1. Довести, що перетин будь-якої сім’ї замкнених компактних множин буде компактною множиною.

2. Нехай – топологічний простір, а – компактний топологічний простір. Довести, що відображення буде замкненим неперервним відображенням.

3. Довести, що властивість зчисленної компактності спадкується при переході до замкненого підпростору.

Варіант 7

1. Довести, що компактний простір з дискретною топологією – скінченний.

2. Довести, що топологічний простір компактний тоді і тільки тоді, коли кожне покриття цього простору елементами деякої бази містить скінченне під покриття.

3. Довести, що неперервний образ зчисленно-компактної множини топологічного простору також зчисленно-компактний.

Варіант 8

1. Довести, що неперервний образ фінально-компактної множини топологічного простору теж фінально-компактний.

2. Довести, що для будь-якої неперервної додатно-визначеної функції на компактному просторііснуєтаке, щодля.

3. З’ясувати, чи будуть компактними дискретні та тривіальні топологічні простори.

Варіант 9

1. Нехай для – довільна сім’я компактних підмножин у гаусдорфовому просторі така, що перетин будь-якого скінченного числа елементів з – зв’язний. Довести, що множина– зв’язна.

2. Довести, що будь-який простір компактного метризованого простору – сепарабельним.

3. Нехай , де– множина дійсних чисел, , , . Введемо в топологію, у якій множина відкрита тоді і тільки тоді, коли вона або відкрита в, або доповнення до неї скінченне. Перевірити аксіоми відкритих множин. Довести, що множини і – компактні вале їх перетин – не компактний.