Варіант 8

1. Довести, що підмножина топологічного простору ніде не щільна втоді і тільки тоді, коли в будь-якій не порожній відкритій множинііснує така не порожня відкрита множина, що.

2. Нехай – ніде не щільна в топологічному просторі та– довільна відкрита вмножина. Довести, що множина ніде не щільна в (розглядається як підпростір).

3. Довести, що якщо в топологічному просторі є така зчисленна сім’я не порожніх відкритих множин, що будь-яка не порожня відкрита множина містить елемент (хоч один) цієї сім’ї, то будь-який скрізь щільний в підпростір буде сепарабельним.

4. Довести, що відображення топологічних просторів тавідкрите тоді і тільки тоді, колидля будь-якої підмножини.

Варіант 9

1. Довести, що множина ніде не щільна тоді і тільки тоді, коли в будь-якому околі будь-якої точки існує точка, що входить разом з деяким своїм околом в доповнення множини .

2. Навести прямий опис множин скрізь щільних у дискретному просторі та в топології стрілки.

3. Довести, що якщо простір з першою аксіомою зчисленності буде сепарабельним, то і будь-який скрізь щільний впідпростір теж сепарабельний.

4. Навести приклад негомеоморфних топологічних просторів, кожний з яких гомеоморфний підпростору іншого.

4.Аксіоми зчисленності та відокремленості. Нормальні простори. Гомеоморфні простори Варіант 1

1. Нехай – простір з другою аксіомою зчисленності. Довести, що з будь-якої бази просторуможна виділити зчисленний набір множин, який також буде базою простору.

2. Навести приклад – простору, який не є– простором.

3. Довести, що замкнений підпростір нормального простору також є нормальним.

4. Нехай ,– неперервні відображення . Довести, що підмножина простору, що складається з усіх розв’язків системи нерівностей,, буде відкритою. Чи можна скінченну систему замінити нескінченною?

Варіант 2

1. Нехай – множина дійсних чисел і β – сім’я всіх інтервалів типу,. Довести, що сім’я β є базою деякої топології τ і що топологічний простір– нормальний неметризований сепарабельний простір з першою аксіомою зчисленності, на якому не виконується друга аксіома зчисленності.

2. Навести приклад негаусдорфового – простору

3. Нехай – гаусдорфів простір, у якому множина неізольованих точок скінченна. Довести, що– нормальний простір.

4. Побудувати гомеоморфізми між множинами:

а) та,;

б) та;

в) та.

Варіант 3

1. Довести, що – топологічний простір та вибрати в ньому дві різні бази, якщо:

, ø,.

2. Нехай і– дві різні топології на одній і тій самій множиніі. Довести, що якщо–– простір (– простір), тоді–– простір (– простір) .

3. Довести, що регулярність є спадковою властивістю.

4. Довести, що простір гомеоморфний до будь-якої відкритої кулі цього простору.

Варіант 4

1. Довести, що – топологічний простір і вибрати мінімальну базу, якщо:

, ø,.

2. Довести, що – простір, у якому тільки одна точка не ізольована, а решта точок – ізольовані,- нормальний простір.

3. Довести, що в – просторі множина всіх граничних точок будь-якої підмножини замкнена.

4. Нехай і– такі неперервні відображення топологічного просторув гаусдорфів простір, що множинаскрізь щільна в. Довести, щона всьому просторі.