Варіант 8

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) \);

б) | .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання всіх точок вигляду , де – від’ємне ціле число, а – натуральне.

3. Нехай і - топології на такі, що . Нехай далі – замикання множини відносно . Довести, що для .

4. Довести, що для будь-якої множини топологічного простору .

5. Довести, що підмножина метричного просторувідкрита тоді і тільки тоді, колидля.

Варіант 9

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а) \);

б) | .

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання всіх точок вигляду , де – від’ємне ціле число, а – натуральне.

3. Нехай – підпростір топологічного простору і . Нехай також – внутрішність в , – внутрішність в . Чи вірно, що ?

4. Довести, що ізольована точка множини топологічного простору належить тоді й тільки тоді, коли множина відкрита в . У противному разі точка є межовою точкою .

5. Визначити, чи дійсно . Чи буде , якщо ?

3. Скрізь щільні та ніде не щільні множини. Сепарабельні простори. Неперервні відображення Варіант 1

1. Довести, що підмножина топологічного простору ніде не щільна тоді і тільки тоді, коли .

2. Довести, що для будь-якої відкритої підмножини в топологічному просторі множина ніде не щільна.

3. Довести, що в сепарабельному топологічному просторі множина всіх ізольованих точок є зчисленною (нескінченною або скінченною).

4. Довести, що топологічний простір є дискретний тоді і тільки тоді, коли кожне його відображення у топологічний простор неперервне.

Варіант 2

1. Навести приклад послідовності скрізь щільних множин на прямій, таких, що , а також .

2. Довести, що топологічний простір буде дискретним тоді і тільки тоді, коли скрізь щільною множиною в ньому буде тільки він самий. Подати прямий опис скрізь щільних множин у топології стрілки.

3. Довести, що в сепарабельному топологічному просторі будь-яка сім'я не порожніх відкритих неперетинних множин буде зчисленною (нескінченною або скінченною).

4. Довести, що відображення топологічних просторів танеперервне тоді і тільки тоді, коли для кожного елементадеякої бази β простору є відкрита множина в .

Варіант 3

1. Довести, що множина топологічного простору ніде не щільна втоді і тільки тоді, коли в будь-якій не порожній відкритій множинііснує така не порожня відкрита підмножина, що.

2. Довести, що межа замкненої множини ніде не щільна.

3. Довести, що топологічний добуток скінченної кількості сепарабельних просторів – сепарабельний.

4. Довести, що відображення топологічних просторів танеперервне тоді і тільки тоді, колидля кожної множини.

Варіант 4

1. Довести, що множина топологічного простору скрізь щільна втоді і тільки тоді, колидля будь-якої не порожньої відкритої підмножини.

2. Нехай і – скрізь щільні підмножини топологічного простору і – відкрита в . Довести, що є скрізь щільна множина в .

3. Довести, що будь-який підпростір сепарабельного метризованого простору – сепарабельний.

4. Визначити, чи буде замкнене відображення одного топологічного простору на інший також відкритим.

Варіант 5

1. Множина – ніде не щільна в топологічному просторі . Що можна сказати про,і?

2. Навести прямий опис множин скрізь щільних у тривіальному просторі та в просторі скінченний доповнень.

3. Довести, що цілком обмежений метричний простір є сепарабельним.

4. Визначити, чи буде відкрите відображення одного топологічного простору на інший також замкненим.

Варіант 6

1. Довести, що підмножина топологічного простору ніде не щільна втоді і тільки тоді, коли в будь-якій не порожній відкритій множинііснує така не порожня відкрита множина, що.

2. Довести, що об’єднання скінченного числа ніде не щільних в просторі множин ніде не щільне в.

3. Довести, що образ сепарабельного простору при неперервному відображенні буде сепарабельним.

4. Довести, що відображення топологічних просторів тазамкнене тоді і тільки тоді, колидля будь-якої підмножини.

Варіант 7

1. Довести, що підмножина топологічного простору скрізь щільна втоді і тільки тоді, колидля будь-якої не порожньої відкритої підмножини.

2. Довести, що перетин скінченного числа відкритих скрізь щільних у просторі множин буде скрізь щільним в.

3. Нехай – неперервне сюр’єктивне відображення топологічних просторів та – сепарабельним топологічний простір. Довести, що простір– сепарабельний.

4. Довести, що відображення топологічних просторів тавідкрите тоді і тільки тоді, коли для кожного елементадеякої бази β простору є відкрита множина в .