УДК 514.12 (075.8)

Т61

Рецензенти: канд. фіз.-мат. наук, доц. Є.М. Іщенко

канд. фіз.-мат. наук, доц. Л.І. Бойко

Т61 Тушев, А.В. Практикум з курсу „Топологія” [Текст] / А.В. Тушев; Н.А. Турбай . – Д.: РВВ ДНУ, 2013. – 16 с.

Наведені практичні завдання з базових розділів курсу „Топологія”.

Для студентів механіко-математичного факультету ДНУ.

Темплан 2012, поз.

Навчальне видання

Анатолій Володимирович Тушев

Надія Анатоліївна Турбай

Практикум з курсу

„Топологія”

Редактор А.Я. Пащенко

Техредактор Л.П. Замятіна

Коректор Т.А. Белиба

Підписано до друку .05.2013. Формат 60x84/16. Папір друкарський.

Друк плоский. Ум.друк.арк. . Ум.фарбовідб. . Обл.-вид.арк. .

Тираж 100 пр. Зам. № .

РВВ ДНУ, пр. Гагаріна, 72, м. Дніпропетровськ, 49010.

Друкарня ДНУ, вул. Наукова, 5, м. Дніпропетровськ, 49050.

© Тушев А.В., Турбай Н.А., 2013

1. Метричні й топологічні простори Варіант 1

1. Довести, що множина всіх неперервних на функцій складає метричний простір, якщо під відстанню між двома елементамитацієї множини розуміти число

.

2. Нехай і- дві метрики на множині. Довести, що якщо існують сталітатакі, що

,

то метрики таеквівалентні.

3. Нехай . Визначити, які з наступних наборів його підмножин є топологічними структурами на множині:

а) ,

б) ,

в) ,

Якщо який-небудь з наборів а) – в) виявиться топологією, то знайти сім’ю замкнених множин для цих топологій.

4. Довести, що .

Варіант 2

1. Визначити, чи є метричним простором множина всіх дійсних чисел, якщо під відстанню між двома числами тарозуміти число

2. Довести, що метрики і, задані на множині, еквівалентні.

3. Нехай – промінь, аскладається з,і всіх можливих променів, де. Визначити, чи єтопологією на. Якщо так, знайти сім’ю замкнених множин.

4. Довести, що .

Варіант 3

1. Визначити, чи буде метричним простором множина дійсних чисел, якщо метрику на ній означити так:

.

2. Довести, що метрики і– еквівалентні на множині.

3. Нехай – числова пряма,складається з,і всіх можливих променів вигляду, де. Визначити, чи будетопологією на. Якщо так, знайти сім’ю замкнених множин.

4. Довести, що .

Варіант 4

1. Довести, що функція ⁺ (⁺– множина невід’ємних дійсних чисел) є метрикою на тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови:

а) ;

б) ,.

2. Довести, що метрики іеквівалентні на множині .

3. Нехай – нескінченна множина, а– топологія скінчених доповнень на. Довести аксіоми відкритих множин. Знайти сім’ю замкнених множин.

4. Довести, що .

Варіант 5

1. Довести, що функція ⁺ (⁺– множина невід’ємних дійсних чисел) є функцією, яка задовольняє умовам:

а) ;

б) ,

то функція буде метрикою на.

2. Довести, що метрики іеквівалентні на множині .

3. Визначити, чи буде перетин топологій, які задані на одній і тій самій множині , топологією на.

4. Довести, що,– відображення і.

Варіант 6

1. Довести, що якщо і– метрики на, тоітакож є метриками на. Чи будуть метриками функції;;?

2. Довести, що метрики іеквівалентні на множині.

3. Визначити, чи буде об’єднання топологій, які задані на одній і тій самій множині , топологією на.

4. Довести, що,– відображення і.

Варіант 7

1. Довести, що коли – метрика на, то функціятакож є метрикою, якщо задовольняє умовам , монотонно зростає і

, .

2. Показати, що метрики і(див. задачу 1) еквівалентні, якщо– неперервна функція.

3. Нехай – площина. Визначити, чи буде топологічною структурою набір множин, що складається з,і відкритих кругів з центром в одній і тій самій точці з різноманітними радіусами.

4. Довести, що ,– відображення і.

Варіант 8

1. Нехай – метрика на. Довести, що функціятакож є метрикою.

2. Довести, що метрики і(див. задачу 1) еквівалентні.

3. Нехай і ,, де. Визначити, чи будетопологією на множині . Якщо так, то навести опис сім’ї замкнених множин.

4. Довести, що ,– відображення і.

Варіант 9

1. Нехай – метричний простір і. Довести, що– метрика на.

2. Довести, що метрики таз задачі 1 еквівалентні.

3. Знайти число різних топологій на множині з трьох елементів. Навести опис сім’ї замкнених множин цих топологій.

4. Навести приклад, коли , де– відображення і.

2. Замкнені множини. Ізольовані, граничні, межові точки множин

Варіант 1

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин, що належать :

а);

б)(\).

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множин усіх точок вигляду , де.

3. Навести опис топологічної структури, замкнених множин і околи точок, що індукуються в множині топологією прямої.

4. Нехай множина відкрита в топологічному просторіі, де. Довести, що.

5. Нехай – підмножина метричного простору. Відомо, що. Довести, щоне має граничних точок.

Варіант 2

1. Знайти всі граничні, межові, ізольовані та внутрішні точки множин:

а)(; б)де.

Ці множини є відкритими чи замкненими?

2. Знайти замикання множини всіх точок вигляду , де– усі можливі цілі числа, відмінні від нуля.

3. Описати топологічну структуру , що індукована втопологією стрілки. (простір із задачі 3 варіанта 2 лабораторної роботи 1 називається стрілкою). Описати в топологічному просторі (,) сім’ю замкнених множин околів точки.

4. Нехай множина – замкнена, а множина– відкрита. Довести, що– замкнена,– відкрита.

5. Нехай – множина вигляду, депробігають усі натуральні числа. Визначити, чи буде множиназамкненою. Яка у неї похідна множина? Якими будуть друга та третя похідні множини?