§4. Замкнені підмножини топологічного простору

- топологічний простір, називаєтьсязамкненою, якщо - відкрита множина.

Приклад 1:

- метричний простір, як було доведено раніше і- відкриті множини, тому множинитає множинами замкненими

.

Приклад 2:

У дискретній топології замкненими будуть усі підмножини, оскільки в ній всі підмножини відкриті.

Приклад 3:

У топології скінченних доповнень, задані на нескінченній множині Т (топології Заріського) замкненими будуть та усі скінченні підмножини з Т.

Теорема 1 (властивості замкнених підмножин):

Нехай - топологічний простір.-сукупність усіх замкнених підмножин цього простору, тодімає наступні властивості:

1.

2.Перетин будь-якої сукупності замкнених підмножин з Т є підмножина замкнена.

3. Об’єднання будь-якої скінченної сукупності замкнених підмножин з Т є підмножина замкнена.

Доведення: 1. Оскільки - відкриті, то- замкнені.

2. Нехай

За законами де-Моргана:

- відкрита

F – замкнена множина.

3.

За законами де-Моргана:

- відкриті

F – замкнена множина.

Що і треба було довести.

Зауваження: Об’єднання нескінченної сукупності замкнених підмножин топологічного простору у загальному випадку може бути незамкненим.

Доведення: Розглянемо на

Тоді - замкнені підмножини зR.

Кожне число, яке належить [0, 2)потрапляє в деяку множину для досить великогоn, а число 2 не попадає в жодну з

, що не є замкненою підмножиною, оскільки її доповнення не є відкритою.

Теорема 2 (про введення топології за допомогою системи замкнених підмножин):

Нехай Т – деяка множина, , що задовольняє вимогам (1)-(3) попередньої теореми, тоді на множині Т існує топологія, для якоїє системою замкнених підмножин.

Доведення: Нехай

Покажемо, що - топологія на Т. Перевіримо аксіоми топології:

Т1:

Т2:

Т3:

- топологія на Т.

Оскільки з означення випливає, що

- сукупність замкнених підмножин .

§5. Внутрішні точки. Внутрішність підмножини топологічного простору

Т – топологічний простір, Довільна відкрита підмножина з Т, що містить А називається(відкритим) околом множини А.

Нехай Т – топологічний простір, Точканазиваєтьсявнутрішньою точкою А, якщо .

Сукупність усіх внутрішніх точок множини А називають внутрішністю цієї множини (Int A)

Твердження 1: Нехай Т – топологічний простір, ТодіInt A співпадає з об’єднанням усіх відкритих підмножин, що містяться в А.

Доведення: Нехай U–об’єднання усіх відкритих підмножин, що містяться в А, тоді U - також відкрита множина, що міститься в А.

Для довільного :U можна розглядати як окіл точки х, з яким х входить в А, тому х – внутрішня точка з А.

Покажемо, що .

Нехай

можна розглядати як окіл точки у, з яким у входить в А, тому у – внутрішня точка множини А

Таким чином, IntA є об’єднанням деякої сукупності відкритих підмножин з А, тому .

Наслідок 1: IntA є найбільшою відкритою підмножиною, що міститься в А.

Доведення: Нехай U – найбільша відкрита підмножина, що міститься в А. Оскільки IntA – відкрита підмножина з А (як об’єднання відкритих підмножин з А), то IntA міститься в U.

Але IntA – об’єднання усіх відкритих підмножин з А .

Наслідок 2: Множина А є відкритою тоді і тільки тоді, коли А=IntA.

Доведення: Якщо підмножина А – відкрита, то А і буде найбільшою відкритою підмножиною з А, тому А=IntA.

Якщо ж А=IntA, то А буде відкритою підмножиною, оскільки IntA – відкрита підмножина.

Приклад 1: Розглянемо простір R, тоді Int [a, b]=(a, b)

Приклад 2: РозглянемоR, . Оскільки будь-який відкритий окіл як раціональні, так і ірраціональні числа, то