Лабораторна робота 5 Вивчення власних коливань зосередженої системи

Прилади та матеріли: прилад для вивчення коливань, набір пружин і важків, секундомір, пристрій для вивчення загасаючих коливань.

Теоретичні відомості

К

Рис. 5.1

в)

оливаннями називають процеси, що мають той чи інший ступінь повторюваності. Коливання маятника годинника, хвилі на воді, змінний електричний струм, звук – усе це приклади різних коливань.

а

б

Найпростіші – гармонічні коливання, за яких вели­чина, що коливається (наприклад, відхилення від положення рівноваги маятника), змінюється з часом за законом синуса або косинуса.

Р

в

Рис. 5.1

озглянемо систему, яка складається з важка масоюm, підвішеного на пружині (рис.5.1,а). Під дією сили тяжіння mg пружина видовжиться на величину (рис.5.1,б). У стані рівно­ваги сила тяжіння mg врівноважується силою жорсткості пружини kΔL₀

. (5.1)

Якщо змістити вантаж від стану рівноваги на відстань х (рис.5.1,в), то видовження пружини буде ΔL₀ + x. Проекція результуючої сили на вісь X матиме значення

. (5.2)

Враховуючи умову рівноваги (5.1), одержимо F = – kх, де k– коефіцієнт жорсткості пружини; х – зміщення. Знак "мінус" означає, що зміщення і сила мають протилежні напрями.

Під дією сили пружності F вантаж буде рухатися до стану рівноваги зі швидкістю , яка весь час збільшуватиметься. При цьому потенціальна енергія пруж­ної системи буде зменшуватися, а кінетична – збільшуватися. Набувши стану рівноваги, вантаж продовжуватиме рухатися по інерції. Цей рух буде спові­льнений і закінчиться тоді, коли кінетична енергія повністю перетвориться на по­тенціальну. Такий же процес матиме місце й у разі руху вантажу в зворотному напрямку.

Якщо тертя в описаній системі відсутнє, її енергія зберігатиметься і вантаж буде рухатися як завгодно довго, отже, виконуватиме вертикальні гармо­нічні коливання.

За другим законом Ньютона рівняння руху для вантажу має вигляд . Перетворимо це рівняння до вигляду

,

позначимо , тоді матимемо

.

Рух вантажу можна описати лінійним однорідним диференціальним рівнянням дру­гого порядку. Розв'язок цього рівняння матиме вигляд

, (5.3)

де а – амплітуда коливання; – фаза коливання; – кутова або циклічна частота; t – час; – початкова фаза коливання в момент часу t = 0. Графік такого коли­вання наведений далі ( рис.5.2).

Рис. 5.2

Кутова частота пов'язана з періодом коливаньТ співвідношенням

. (5.4)

Підставляючи у вираз (5.4), одержимо

. (5.5)

За наявності сил тертя в системі енергія коливальної системи зменшується. Якщо втрати енергії не поповнювати за рахунок роботи зовнішніх сил, коливання важка будуть згасати і рівняння його руху матиме вигляд

,

де – сила тертя; r– коефіцієнт сили тертя.

Перепишемо це рівняння у вигляді , позначимо, , одержимо

.

Рівняння матиме такий розв’язок

, (5.6)

де а₀ – початкова амплітуда в початковий момент часу; е – основа натураль­ного логарифма; – коефіцієнт згасання.

Позначимо , тоді період коливань дорівнюватиме

. (5.7)

Таким чином, рух вантажу являє собою гармонічні коливання частотою ω з ам­плітудою, яка змінюється за законом

(5.8)

Графік такого коливання наведений далі (рис.5.3).

Рис.5.3

Амплітуди коливань утворюють геометричну прогресію, тобто, якщо , тоі т.д.

Логарифм відношення двох послідовних значень амплітуди, відмінних одна від одної на час, рівний періоду Т, називають логарифмічним декрементом згасання і позначають λ.

. (5.9)

Підставляючи вираз (5.9) у рівняння (5.8) отримаємо .

Звідки

. (5.10)