6.3. Универсальное уравнение упругой линии. Метод начальных параметров

Использование изложенной техники определения перемещений для балок, имеющих несколько участков, оказывается достаточно трудоемким, так как для n участков число произвольных констант (C и D) возрастает до 2n. Для уменьшения вычислительной работы в подобных случаях был разработан ряд методов, в том числе и метод начальных параметров, позволяющий при любом числе участков свести решение к отысканию всего двух констант – прогиба и угла поворота в начале координат.

Для реализации метода начальных параметров необходимо при составлении уравнения моментов по участкам и интегрировании этого уравнения придерживаться следующих правил:

1) начало координат необходимо выбирать общим для всех участков в крайней левой точке балки;

2) все составляющие уравнения моментов на предыдущем участке должны сохраняться неизменными в уравнении моментов последующих участков;

3) в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных условий нагружения вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления

4) интегрировать уравнения на всех участках следует, не раскрывая скобок.

Рассмотрим некоторый отрезок балки, нагруженной произвольной системой сил и моментов (реакции опор также представляем как внешние силы), и составим для нее уравнение моментов в произвольном сечении с соблюдением указанных правил:

I	M = 0	0  z  ai
II	M = Mi	ai  z  bi
III	M = Mi +Fi (z-bi )	bi  z  ci	(6.4)
IV	M = Mi +Fi (z-bi ) +qi	ci  z  di
V	M = Mi +Fi (z-bi ) +qi	z  di

Подставляя формулу (6.4) в выражения (6.2), можно записать

I	EI = C1	0  z  ai
II	EI = C2+ Mi(z - ai )	ai  z  bi
III	EI = C3+ Mi(z - ai )+Fi	bi  z  ci
IV	EI = C4+ Mi(z - ai )+Fi + + qi	ci  z  di	(6.5)
V	EI = C5+ Mi(z - ai )+Fi + + qi -	z  di

Постоянные C_i (i = 1, 2, 3, 4, 5) нужно подобрать так, чтобы функция угла поворота  при переходе от участка к участку была непрерывной, т.е.:

 (a_i -0) = (a_i +0),  (b_i -0) = (b_i +0),  (c_i -0) = (c_i +0),  (d_i -0) = (d_i +0.

Отсюда следует, что С₁ = С₂ =С₃ = С₄= С₅ = С. Есл обозначить угол поворота сечения балки в начале координат  (0) =₀, то EI₀ = C.

Интегрируя выражения (6.5) получим

I	EIy = D1+ EI0z	0  z  ai
II	EIy = D2+ EI0z + Mi	ai  z  bi
III	EIy = D2+ EI0z + Mi + Fi	bi  z  ci
IV	EIy = D2+ EI0z + Mi + Fi + +qi	ci  z  di	(6.6)
V	EIy = D2+ EI0z + Mi + Fi + +qi - qi	z  di

Постоянные D_i (i = 1, 2, 3, 4, 5) нужно подобрать так, чтобы функция прогиба сечения балки y при переходе от участка к участку была непрерывной. Откуда следует условие:

D₁ = D₂ =D₃ = D₄= D₅ = D = EIy₀

Применяя принцип суперпозиции, запишем универсальное уравнение изогнутой оси балки в самом общем виде:

(6.7)

Дифференцируя уравнение (6.7) получим уравнения для определения углов поворота:

(6.8)

Метод определения прогибов и углов поворота балки, основанный на формулах (6.7-6.8) называют методом начальных параметров.

Отметим, что при решении задач удобно записать универсальные уравнения сначала для наиболее удаленного от начала координат участка, тогда уравнения для предыдущих участков легко получить, вычеркивая из полученного уравнения члены, учитывающие нагрузку на последующих участках.

Пример 6.1

Однопролётная балка с консолью находится под действием распределённой нагрузки q (рис. 6.3). Найти дифференциальное уравнение изгиба и найти прогибы и углы поворота в середине пролета балки и на конце ее консольной части методом начальных параметров.

Рис. 6.3