Означення класа функцій нʷ.

Якщо ω(t)- фіксований модуль неперервності, ω(t)≡0, то через Нʷ будемо визначати множину функцій ƒ(х) з С для яких

ω(ƒ,t)≤ω(t) (t≥0) (1)

Визначимо що для ƒєС ω(ƒ,t)=ω(ƒ,π) для t≥π, тому включення ƒєНʷ рівносильно виконанню нерівності (1) при 0≤t≤π.

Клас Нʷ також можна визначити як сукупність всх функцій ƒєС, що задовольняють умові ǀƒ(х')-ƒ(х")ǀ≤ω(ǀх'-х"ǀ) Vх',х".

Зокрема, якщо ω(t)=kt² (0≤t≤π,0<а≤1), то Нʷ є клас функцій ƒ з С, що задовольняють на всій осі умові Гільдера степення а з константою k: ǀƒ(х')-ƒ(х")ǀ≤kǀх'-х"ǀª. Цей клас будемо визначати як kНʷ.

[Корнейчук Н. П. Экспериментальные задачи теории приближения/ Н. П. Корнейчук//М.: Наука. 1976,С. 320, стр. 183-185]

Відхилення ламаних

Нехай на відрізку [0,1] задана неперервна функція ƒ(х) и система рівно стоячих вузлів

k

хk= n, k=0,1,2,…,n.

Визначимо через Ln(ƒ;х), 0≤х≤1, неперервну ламану, вершинами якої є точки (хk, ƒ(хk)), k=0,1,2,…,n.

Відома наступна оцінка для відхилення ламаної Ln(ƒ,х) від функції ƒ(х) на проміжку [0,1]:

1

ǁƒ(х)-Ln(ƒ,х)ǁс≤ω(ƒ, n ) . (1)

Оцінка (1) на класі всіх неперервних функцій не стає крашьою в тому сенсі, що за будь якого

1

натурального n в будь якому разі ε,0<ε< n , можна вказати неперервну функцію ƒε(х) таку, що

1

ǁƒε(х)-Ln(ƒε,хǁс>ω(ƒε, n –ε).

Дійсно, достатньо покласти

1 ε 2 2n 2 1 ε εn 2-ε 1 1

ƒε(х)= 2 {n( 2 + 2-εn)ǀхǀ+(1- 2-εn – ε )ǀх – n + 2 ǀ+ ( 2 + ε )ǀх- n ǀ}, 0≤х≤ n ,

2 1 2 2

ƒε(х)=ƒε ( n – х), n ≤х≤ n , і продовжувати функцію ƒε(х) періодично (з періодом n ) по всій осі. В цьому випадку на відрізку [0,1]

1 ε εn 1 ε ² 1 ε εn 1 ε ² 1

ǁƒε(х)-Ln(ƒε;х)ǁс=ƒε( n – 2 )-ƒε( 2 ( n – 2) )=ω(ƒε; n – 2 – 2 ( n – 2 ) )ω(ƒε; n –ε), що і доводить точність оцінки (1).

З іншого боку, відомо якщо функція ƒ(х) має другу неперервну похідну, тоді

1

ǁƒ(х)-Ln(ƒ;х)ǁс≤ 8n²ǁƒ"(х)ǁс, (2)

до того ж ніяке покращення диференційних властивостей функції ƒ(х) в загальному випадку не приведе до поліпшення оцінки (2), бо для ƒ(х) =ɑх²+bх+с нерівність (2) перетворюється в рівність.

Таким чином, питання про відхилення ламаних повністю вирішено в двох крайніх випадках – для класу всіх неперервних функцій і для класу функцій, що мають другу неперервну похідну. В цій замітці відповідні результати отримані і для основних проміжних класів.

Теорема 1. У припущені, що ω(t) – опуклий модуль неперервності, справедлива рівність

1

sup ǁƒ(х)-Ln(ƒ;х)ǁс=ω( 2n ).

ƒєНʷ

t

Доведення. Припустимо, що хє[хʀ, хʀ+1], ʀ=0,1,2,…, n-1; х=хʀ+ n , 0≤t≤1. Тоді для ƒєНʷ

ǀƒ(х)-Ln(ƒ;х)ǀ=ǀƒ(х)-n(хʀ+1-х)ƒ(хʀ)-n(х-хʀ)ƒ(хʀ+1)ǀ≤n(хʀ+1-х)ǀƒ(х)-ƒ(хʀ)ǀ+n(х-хʀ)ǀƒ(х)-

t 1-t

ƒ(хʀ+1)ǀ≤n(хʀ+1-х)ω(х- хʀ)+n(х-хʀ)ω(хʀ+1-х)=(1-t)ω( n )+tω( n ).

Оскільки функція ω(t) опукла і не спадаюча, то

t 1-t t(1-t) 1

(1-t)ω( n )+tω( n )≤ωǀ2 n ǀ≤ω( 2n ).

Таким чином, доведено, що

1

sup ǁƒ(х)-Ln(ƒ;х)ǁс≤ω( 2n ) .

ƒєНʷ

Побудемо екстремальну функцію.

Для хє[хʀ, хʀ+1], ʀ=0,1,2,…, n-1, покладемо

1

ω(х-хʀ); хʀ≤х≤хʀ+ 2n,

ƒ˳(х)=

1

ω(хʀ+1-х), хʀ+ 2n≤х≤хʀ+1.

Очевидно, ƒ˳єНʷ. Далі,

хʀ+хʀ+1 1

ǁƒ˳(х)-Ln(ƒ˳; х)ǁс=ƒ˳( 2 )=ω( 2n ).

Теорему доведено.

Нехай W¹ Нʷ означає клас безперервно диференційних на [0,1] функцій, перша похідна від яких входить в Нʷ.

Теорема 2. У припущені, що ω(t) – опуклий модуль неперервності, справедлива нерівність

1

1 n

sup ǁƒ(х)-Ln(ƒ;х)ǁс= 4 ∫ ω(t)dt. (3)

ƒєW¹Нʷ 0

Якщо ж ω(t) – не опуклий модуль неперервності, то

1

0ω n

sup ǁƒ(х)-Ln(ƒ;х)ǁс= 4 ∫ ω(t)dt,

ƒєW¹Нʷ 0

де

2 Q

3 ≤0ω≤1.

Доведення. Міркування ведемо для проміжку [хʀ, хʀ+1], ʀ=0,1,2,…, n-1. Поряд з функцією ƒєW¹Нʷ розглянемо функцію

F(х)=ƒ(х)-Сх-В, де константи С і В підібрані так, щоб

хʀ+1

∫ F'(t)dt=0,

хʀ (4)

F(хʀ)=F(хʀ+1)=0.

Очевидно, FєW¹Нʷ. Надалі, для хє[хʀ, хʀ+1]

х

ƒ(х)-Ln(ƒ;х)=F(х)-Ln(F;х)=F(х)= ∫ F'(t)dt. (5)

хʀ

В дію (4)

х хʀ+1

∫ F'(t)dt= - ∫ F'(t)dt,

хʀ х

тому

х хʀ+1-х х х-хʀ хʀ+1

∫ F'(t)dt= хʀ+1-хʀ ∫ F'(t)dt- хʀ+1-хʀ ∫ F'(t)dt.

хʀ хʀ х

В останьому інтервалі зробимо заміну

хʀ+1-х

t= хʀ+1-(u-хʀ) х-хʀ .

Це дає

х хʀ+1-х х хʀ+1-х

∫ F'(t)dt= хʀ+1-хʀ ∫ [F'(t)-F'(хʀ+1-(t-хʀ) х-хʀ )]dt.

хʀ хʀ

Так як FєW¹Нʷ, тоді

Х хʀ+1-х х хʀ+1-х

∫ F'(t)dt ≤ хʀ+1-хʀ ∫ ω[хʀ+1-t-(t-хʀ) х-хʀ ]dt.

хʀ хʀ

Робимо прості перетворення:

хʀ+1-х хʀ+1-хʀ+хʀ-х хʀ+1-хʀ

хʀ+1-t-(t-хʀ) х-хʀ = хʀ+1-t-(t-хʀ) х-хʀ = хʀ+1-t+t-хʀ-(t-хʀ) х-хʀ = (хʀ+1-хʀ)

t-хR хR+1-хR

(1- х-хʀ )= х-хʀ (х-t).

Отже,

Х хʀ+1-х х хʀ+1-хʀ

∫ F'(t)dt ≤ хʀ+1-хʀ ∫ ω х-хʀ (х-t) dt.

хʀ хʀ

Після заміни змінної в останньому інтегралі, враховуючи (5), остаточно отримаємо для хє[хʀ, хʀ+1], ʀ=0,1,2,…, n-1,

(хʀ+1-х)(х-хʀ) хʀ+1-хʀ

ǀƒ(х)-Ln(ƒ;х)ǀ≤ (хʀ+1-хʀ)² ∫ ω(t)dt.

0

Звідси випливає, що

1

1 n

sup ǁƒ(х)-Ln(ƒ;х)ǁс≤ 4 ∫ ω(t)dt. (6)

ƒєW¹Нʷ 0

Досі на ω(t) не накладалось жодних обмежень. Вважаючи тепер, що ω(t)- опуклий модуль неперервності, доведемо що в (6) можна поставити знак рівності. Для цього

1

задамо на 0, n функцію

1 1 1

2 ω (2n –t) , 0≤t≤ 2n,

ψ(t)=

1 1 1 1

-2 ω 2(t- 2n ) , 2n ≤t≤ n,

1 2 2

покладемо для tє n, n ψ(t)=ψ( n –t) і поширимо функцію ψ(t) періодично (з періодом

2

n ) на всю вісь. Нарешті, введемо екстремальну функцію

х

ƒ̥̥̥ₒ(х)=∫ ψ(t)dt, 0≤х≤1.

0

Не складно перевірити, що ƒₒєW¹Нʷ. Крім того,

1 1

Х 1 2n 1 1 n

ǁƒₒ(х) –Ln(ƒₒ; х)ǁс=ǁƒₒ(х)ǁс=ǁ ∫ ψ(t)dtǁс= 2 ∫ ω( n - 2t)dt= 4 ∫ ω(t)dt.

0 0 0

Співвідношення (3) доведено.

Якщо ж ω(t) – не опуклий модуль неперервності, то покладемо

1 1 1

3 ω 2 ( 2n –t) , 0≤t≤ 2n,

ψ(t)=

1 1 1 1

-3 ω 2(t- 2n) , 2n≤t≤ n ,

2 1 2

ψ(t)=ψ( n –t), n ≤t≤ n ,

2

і поширимо ψ(t) періодично (з періодом n ) на всю вісь. Функція

х

ƒₒ(х)= ∫ ψ(t)dt, 0≤х≤1,

0

належить класу W¹Нʷ. Тому

1 1

1 2n 1 2 1 n

sup ǁƒ(х)-Ln(ƒ; х)ǁс≥ǁƒₒ(х)-Ln(ƒₒ; х)ǁс=ǁƒₒ(х)ǁс=ǁƒₒ(х)ǁс = 3 ∫ ω( n -2t)dt= 3 4 ∫ ω(t)dt .

ƒєW¹Нʷ 0 0

Теорему доведено.

[Б. А. Римаренко. О полигональном интерполировании. Труды ЛВМИ, 1, 15-18, 1954. Статья поступила в редакцию 1 июня 1965 г.]