Доведення.

1) Необхідність. Нехай функція ƒ(х) рівномірно неперервна на множині {х}. Потрібно довести, що справедливо співвідношення (2), тобто слід довести що для будь якого ε˃0 знайдеться відповідне йому δе˃0 таке, що для всіх δ, задовольняючих умові 0<δ<δе, справедлива нерівність ω(ƒ,δ)<ε.

За визначенням рівномірної неперервності для будь якого ε˃0 знайдеться відповідне йому δе˃0 таке, що для всіх х' і х" з множини {х}, задовільняючим умові ǀх'-х"ǀ<δе, справедлива нерівність

ε

ǀƒ(х')-ƒ(х")ǀ< 2. Але це і означає, що для будь якого δ з інтервалу 0<δ<δе справедлива нерівність

ε

ω(ƒ,δ)=sup{ǀƒ(х')-ƒ(х")ǀ:ǀх'-х"ǀ<δ; х',х"є{х}}≤ 2 <ε.

2) Достатність. Нехай виконано співвідношення (2), тобто для будь якого ε˃0 існує відповідне йому δе˃0 таке, що для всіх δ, задовольняючим умові 0<δ<δе, справедлива нерівність ω(ƒ,δ)<ε.

Із визначення модуля неперервності виходить, для всіх х' і х" із множини {х}, задовільнючих умові ǀх'-х"ǀ≤δ<δе, справедлива нерівність ǀƒ(х')-ƒ(х")ǀ<ε, а це означає , що функція ƒ(х) рівномірно неперервна на множині {х}. Теорема доведена.

Вище ми вирахували модулі неперервності трьох функцій: функції х² на сегменті [0,1] і функції

1 1

sin х і х на інтервалі (0,1).

1 1

Так як ω(х²,δ)=2δ-δ, ω(sin х , δ) =2, ω( х ,δ)=+∞, то із теореми (щойно доведеної) bодразу ж

1 1

виходить, що функція х² рівномірно неперервна на сегменті [0,1], а функції sin х і х не є рівномірно неперервними на інтервалі (0,1).

[Корнейчук Н. П. Экспериментальные задачи теории приближения/ Н. П. Корнейчук// М.: Наука. ,1976.,С.320 , стр. 176-182]

Означення сплайнів однієї зміної.

Визначення. Сплайнами називають функції «склеяні» з «шматків» багаточленів. Точніше, функція s(t), задана і неперервна на відрізку [ɑ,b], називається поліномінальним сплайном (або просто сплайном) порядку m(=1,2,…) з вузлами tі(і=1,…,n;ɑ<t1<t2<…<tn<в), якщо на кожному з проміжків [ɑ,tі],[tі,tі+1] , і=1,2,…, n-1, [tn,b], s(t) це алгебраїчний багаточлен степення що не перевищює m, а в кожній з точок tі , деяка зміна s (t) (1≤v≤m) може мати розрив.

Таким чином, основними характеристиками сплайна є найбільший порядок m багаточленів, з яких він склеяний, кількість і розташування вузлів, а також гладкість склеювання в кожному вузлі. Для охарактеризування цєї гладкості користуються поняттям дефекта сплайна. Кажуть, що сплайн s(t) порядку m має дефект kі у вузлі

(m-ki)

tі(1≤kі≤m), якщо в точці tі неперервні функції s(t), s'(t),…, s (t), а

(m-kі)

зміна s (t) в точці tі зазнає розрив. Число k= max kі називають дефектом сплайна

1≤і≤n

s(t).

[Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближений. М.: Найка, 1984., 352 с.]