Означення та властивості модуля неперервності деякої функції та довільного модуля неперервності.

Уявімо що функція ƒ( х) визначена і неперервна на деякій множині (х), кожна точка якого є граничною точкою цієї множини.

Визначення. Для кожного δ˃0 назвемо модулем неперервності функції ƒ(х) на множині {х} точну верхню грань модуля різності ǀƒ(х')-ƒ(х")ǀ по всім точкам х' і х", що належать множині {х} і задовольняють нерівності ǀх'-х"ǀ<δ.

Для визначення вказаної точки верхньої грані зазвичай пишуть наступний символ:

sup{ǀƒ(х')-ƒ(х")ǀ:ǀх'-х"ǀ≤δ; х',х"є{х}}.

Самий же модуль неперервності функції ƒ(х) на множині {х} зазвичай вказують символом ω(ƒ,δ).

Таким чином за визначенням

ω( ƒ,δ=sup{ǀƒ(х')-ƒ(х")ǀ:ǀх'-х"ǀ≤δ; х',х"є{х}}. (1)

Зауваження. При визначенні модуля неперервності ω(ƒ,δ) у правій частині (1) замість ǀƒ(х')-ƒ(х")ǀ можна писати різність [ƒ(х')-ƒ(х")] без знаку модуля. Це виходить з того, що точки х' і х" можна поміняти місцями (при цьому різність [ƒ(х')-ƒ(х")] поміняє знак на протилежний, в той час як величина ǀх'-х"ǀ не зміниться).

Відзначимо дві властивості модуля неперервності ω(ƒ,δ).

1) Модуль неперервності ω(ƒ,δ) завжди позитивний ω(ƒ,δ)≥0.

Ця властивість безпосередньо витікає із визначення модуля неперервності (1).

2) Модуль неперервності ω(ƒ,δ) являє собою не спадаючу функцію δ скрізь на пів прямій δ˃0.

Справді, при зменшені δ множина, за якою береться супремум (1), звужується, а супремум на частині множини не перебільшує супремума на всій множині.

Вирахуємо модулі неперервності деякої функції.

1. Вирахуємо модуль неперервності функції ƒ(х)=х² на сегменті [0,1].

Нехай х' і х" – будь які дві точки сегменту [0,1] такі, що х"=х'-δ, де 0<δ<1. Тоді очевидно, [ƒ(х')-ƒ(х")]=[(х')²-(х")²]=[(х')²-(х'-δ)²]≤2δ-δ².

З останьої нерівності, враховуючи зауваження до визначення модуля неперервності, ми отримаємо, що ω(ƒ,δ)=sup{[ƒ(х')-ƒ(х")]:ǀх'-х"ǀ<δ; х',х"є[0,1]}≤2δ-δ². З іншого боку, взявши х'=1, х"=1-δ, так що ǀх'-х"ǀ=δ, ми отримаємо, що [ƒ(х')-ƒ(х")]=1-(1-δ)²=2δ-δ². Виходить, ω(ƒ,δ)=ω(х²,δ)=2δ-δ² (якщо δ<1).

1

2. Вирахуємо далі модуль неперервності функції ƒ(х)=sin х на інтервалі(0,1).

1 1 1 1

Так як, ǀƒ(х')-ƒ(х")ǀ=ǀsin х'-sin х"ǀ≤ǀsin х'ǀ+ǀsin х"ǀ≤2, тоді ω(ƒ,δ)≤2.

З іншого боку, взявши дві безкінечно малі послідовності {х'n} і {х"n} точок інтервалу (0,1) виду

1 1

π π

х'n= 2 +2πn , х"n= 2 +2πn , де n=1,2, …, ми для будь якого δ˃0 зможемо вказати номер n такий, що

1 1

0<х'n<δ і 0≤х"n<δ, так що ǀх'n-х"nǀ≤δ, причому [ƒ(х'n)-ƒ(х"n)]=sin х'n -sin х"n=2. Звідси виходить, що

1

ω(ƒ,δ)=ω(sin х ,δ)=2.

1

3. Нарешті вирахуємо модуль неперервності функції ƒ(х)= х на інтервалі (0,1). Впевнемося в тому, що цей модуль неперервності дорівнює +∞.

Зафіксувавши довільне δ˃0 , розглянемо лише такі точки х' і х", які задовольняють

1 1 1

співвідношенням 0<х'≤δ, х"=δ, так що ǀх'-х"ǀ≤δ. Очевидно, що ω( х , δ)≥sup{ х' – δ :0<х'<δ}=+∞.

На завершення доведемо теорему, що становить зв'язок між властивостями рівномірної неперервності функції ƒ(х) на множині {х} і величиною модуля неперервності цієї функції на вказані множині.

Теорема. Для того щоб функція ƒ(х) була рівномірно неперервною на множині {х}, необхідно і достатньо, щоб модуль неперервності ω(ƒ,δ) цієї функції на вказаній множині задовольняв співвідношенню

lim ω(ƒ,δ)=0 (2)

δ→0+0