Означення точної верхньої грані множини функцій

Теорема. Якщо множина Х={х} обмежена зверху, то вона має і точну верхню границю.

Доведення. Розглянемо міркування по відношеню до верхньої грані. Розглянемо два випадки.

1) Серед чисел х множини Х знайдеться найбільше х. Тоді всі числа множини задовольнятимуть нерівності х≤ х, тобто х буде верхньою граню для Х. З іншого боку, х належить Х; тобто, для будь якої верхньої грані М виконується нерівність х ≤М. Звідси укладаємо, що х є точною верхньою граню множини Х.

2) Серед чисел х множини Х немає найбільшого. Проведемо переріз в області всіх дійсних чисел наступним чином. До верхнього класу А' віднесемо всі верхні грані ɑ' множини Х, а до нижнього класу А – всі інші дійсні числа ɑ. При цьому розбитті всі числа х множини Х потрапляють в клас А, бо ні одне з них – по допущенню – не буде найбільшим. Таким чином, обидва класи А, А' не порожні. Це розбиття дійсно є розрізом, так як всі дійсні числа розподілені по класам і кожне число з класу А' більше будь якого числа з класу А. За основною теоремою Дедекінда [ Для будь якого розрізу А|А' в області дійсних чисел існує дійсне число β, яке і робить цей розріз. Це число β буде 1) або найбільшим в нижньому класі А, 2) або найменшим у верхньому класі А'. ], має існувати дійсне число β, що проводить розріз. Всі числа х, що належать класу А , не перевершують цього «прикордонного» числа β, тобто β являється верхньою граню для х, отже воно само належить класу А' і є там найменшим. Таким чином, β як найменша з усіх верхніх граней і є шуканою точною верхньою граню множини Х={х}.

[Фихтенгольц Г. М. Курс дифферинциального и інтегрального исчесления, 3 тома, стр. 26-27].

Нерівність Йєнсена

Згідно визначенню опуклої функції [функція ƒ(х), визначена і неперервна в проміжку Х*, називається опуклою (опуклою вниз) якщо для будь яких точок х1 і х2 з Х(х1 > х2) виконується нерівність ƒ(q1х1+q2х2)≤q1·ƒ(х1)+q2·ƒ(х2) ] , маємо

ƒ(q1х1+q2х2)≤q1·ƒ(х1)+q2·ƒ(х2)

(q1, q2>0; q1+q2=1)

Можемо довести, що для опуклої функції має місце більш загальна нерівність (яку пов`язують з ім`ям Йенсена):

ƒ(q1х1+q2х2+…+qnхn)≤q1·ƒ(х1)+q2·ƒ(х2)+…+qn·ƒ(хn) (1)

(q1,…,qn>0; q1+…+qn=1)

які б не були значення х1, х2,…, хn з основного проміжку Х. Для n=2 воно, як ми знаємо, вірне; допустивши тепер, що воно вірне для будь якого натурального числа n≥2, доведемо що воно вірне і для n+1, тобто , що взявши n+1 значень х1,…, хn, хn+1 з Х і n+1 позитивних чисел q1,…, qn, qn+1, сума котрих дорівнює одиниці, отримаємо

ƒ(q1х1+…+qnхn+qn+1хn+1)≤q1·ƒ(х1)+…+qn·ƒ(хn)+qn+1·ƒ (хn+1) (2)

З цією метою, замінемо зліва суму двох останніх доданків qnхn+qn+1хn+1 одним доданком

qn qn+1

(qn-qn+1) qn+qn+1 хn+ qn+qn+1 хn+1 ;

це дасть можливість скористатися нерівністю (1) і встановити, що вираження (2) зліва не перевищює суми

qn qn+1

q1·ƒ(х1)+…+(qn+qn+1)·ƒ qn+qn+1 хn+ qn+qn+1 хn+1 .

Залишається тільки застосувати до значення функції в останьому доданку загальну нерівність випуклої функції, для того щоб прийти до (2). Таким чином – за методом математичної індукції – нерівність (1) повністю виправдана.

Зазвичай, замість множників q1 сума яких дорівнює одиниці, вводять довільне позитивне число рі. Вважаючи в нерівності (1)

рі

qі= р1+…+рn , приведемо його до виду

∑ріхі ∑рі·ƒ(хі)

ƒ ∑рі ≤ ∑рі . (1*)

У випадку увігнутої функції ƒ, очевидно, знак нерівності треба замінити на протилежний.

Вибираючи різними методами функцію ƒ, можливо отримати важливі конкретні нерівності – при цьому з одного джерела! Наведемо приклади.

1) Нехай ƒ(х)=хᵏ, де х>0, k>1 (опукла функція). Маємо

∑ріхі ᵏ ∑ріхіᵏ

∑рі ≤ ∑рі

або

(∑ріхі)ᵏ≤(∑рі)ᵏ ˉ¹·∑ріхі*

aі

1

Замінюючи тут рі на bіᵏˉ¹, а хі на bᵏˉ¹ , прийдемо до вже відомої нам нерівності Коші-Гельдера

1 k k-1

∑aіbі≤{∑aіᵏ}ᵏ ·{∑bіᵏˉ¹}ᵏ .

2) Вважаючи ƒ(х)=1nх, де х>0 (вігнута функція), отримаємо

∑рі·1nхі ∑ріхі

∑рі ≤1n ∑рі .

Звідси, посилаючись,прийдемо також до вже відомої нерівності

∑рі (∑ріхі*)

{∏хіᵖᶥ} ≤ ∑рі .

3) Нарешті, візьмемо ƒ(х)=х·1n х, де х>0 (опукла функція). Тоді виявляється, що

∑ріхі ∑ріхі ∑ріхі1nхі

∑рі 1n ∑рі ≤ ∑рі .

Помножуючи на ∑рі і потенціюючи, отримаємо нерівність

1

∑ріхі ріхі ∑ріхі

∑рі ≤{∏хі } .

1

Зокрема, поклавши тут рі=х1 , будемо мати

n

1 ≤ ᶯ

∑хі √∏хі .

[Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и інтегрального исчесления, 3 тома. Стр. 301-303]