Приклад №2

Довести, що 2ⁿ>2n+1, якщо

Доведення

1) При n=3 маємо 2³>23+1, тому що 8>7. Вихідна нерівність правильна при n=3.

2) Припустимо, що нерівність вірна при n=k, тобто 2^k>2k+1.

Враховуючи це припущення, доведемо, що 2^k+1>2(k+1)+1 (при n=k+1).

Маємо

2^k+1=22^k>2(2k+1)=4k+2=2k+2+2k=2(k+1)+2k.

Оскільки 2k>1, то з останньої нерівності дістаємо

2^k+1>2(k+1)+1. А означає, що нерівність правильна і при n=k+1.

Отже, за узагальненим принципом математичної індукції нерівність доведемо для всіх

Зробимо зауваження, що при n ця нерівність не є правильною, так, коли n=2, маємо: 2²<22+1,

4<5;

коли n=1, маємо 2<2+1,

2<3.

Тобто нерівність 2ⁿ>2n+1 неправильна при n=1; 2.

Приклад №3

Довести нерівність 2ⁿ>n³, при nєN

Доведення

1) при n=10, 2¹⁰>10³; 1024>1000, нерівність вірна.

2) Припустимо, що при n=k, де , kN. 2^k>k³.

Враховуючи дане припущення, доведемо, що і при n=k+1 нерівність вірна, тобто

2^k+1>(k+1)³ або що 2^k+1>k³+3k²+3k+1.

2^k+1=2^k2>2k³=k³+k³. 2^k+1>k³+k³.

Доведемо, що k³>3k²+3k+1 при

При вираз

k³-9k=k²(k-9)>0, тому можна записати, що k³>9k².

Але 9k²=3k²+3k²+3k², тоді

k³>3k²+3k²+3k²>3k²+3k+3>3k²+3k+1, що й треба було довести.

Отже, 2^k+1>(k+1)³, тобто вихідна нерівність справджується і при n=k+1.

За принципом математичної індукції нерівність буде правильною і для , якщо n.

Приклад №4

З’ясуємо, правильна чи ні нерівність 2ⁿ>n², де n – ціле додатне число.

Доведення

1) При n=1 це твердження правильне: 2¹>1.

Перевіримо можливість зробити індукційний крок. Припустимо, що при n=k має місце нерівність 2^k>k². Тоді, очевидно, що 2^k+1=22^k>2k² і для обґрунтування можливості проведення індукційного кроку достатньо встановити нерівність , абоАле ця остання нерівність правильна лише, якщотобто якщоТаким чином, за базис індукції не можна брати n_o=1, тому що ми не можемо зробити навіть першого індукційного кроку. Природно, далі, спробувати за базис взяти n_o=3. У цьому випадку індукційний крок зробити можна, але при n=3 нерівність неправильна. Лише при n=5 нерівність справедлива, тому за базис індукції можна брати n_o=5.

1) n=5 2⁵=32, n²=5²=25, 32>25

2) Припустимо, що при n=k нерівність справедлива: 2^k>k².

Враховуючи це припущення, доведемо, що вона буде справедлива і при n=k+1,

маємо 2^k+1=2^k2>2k²=k²+k² 2^k+1>k²+k²

Нам необхідно довести, що

Достатньо довести, що k²>2k+1 Розглянемо різницю k²-(2k+1).

Покажемо, що вона додатня

при k²-2k-1>0, тому k²>2k+1 тоді

2^k+1>(k+1)² вірна нерівність.

Отже, за узагальненим принципом математичної індукції нерівність вірна і при

, якщо і якщо n=1.

Приклад №5

Довести, що при будь-якому натуральному значенні n>3 нерівність

.

Доведення

1) При n=4 маємо

Дійсно,

Нерівність вірна.

2) Припустимо, що нерівність вірна і при n=k, тобто

(*)

Доведемо, що нерівність вірна і при n=k+1, покажемо, що

.

Додамо до обох частин нерівності (*) дріб

Маємо:

тому що

і

Отже, нерівність вірна і при n=k+1.

Тоді за узагальненим принципом математичної індукції нерівність вірна і для

, якщо n>3.

Наведемо ще один приклад, коли необхідно застосовувати узагальнений принцип математичної індукції. Розв’яжемо одну з комбінаторних задач.