Приклад №5

Довести, що сума 1³+2³+3³+...+n³ при будь-якому цілому значенні квадратом цілого числа.

Доведення.

n=1 1³=1²

n=2 1³+2³+3³=1+8=(1+2)²

n=3 1³+2³+3³=1+8+27=(1+2+3)²

Із цих рівностей робимо індуктивний висновок, що 1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+…+n)².

Враховуємо, що 1+2+3+…+n(за формулою суми n перших членів арифметичної прогресії, у якої a₁=1; a_n=n; d=1). 1+2+3+…+n

Доведемо це.

1. При n=1,2,3 ми перевірили, твердження справджується.

2. Зробимо припущення, що при n=k

1+2+3+…+k, де- ціле число.

Доведемо, що S_k+1=і число- ціле. Маємо:

S_k+1= S_k+(k+1)³; враховуємо припущення, тоді S_k+1+(k+1)³=(k+1)²(+k+1)=(k+1)²

.

(k+1) і (k+2) – це два послідовних натуральних числа. Одне з них обов’язково ділиться на 2. Отже, добуток (k+1)(k+2) ділиться на 2. Значить, число

ціле. Твердження справджується.

За припущенням математичної індукції воно вірне і при будь-якому .

Враховуючи те, що доведено у попередньому прикладі 5, розв’яжемо таку задачу:

Приклад №6

Знайти суму S=1³+3³+5³+…+(2n-1)³.

Розв’язування.

Ми довели ,що 1³+3³+5³+…+m³=(1)

Отже, 1³+2³+3³+…+(2n-1)³+(2n)³=(2)

Зробимо перегрупування у лівій частині рівності (2)

(1³+3³+5³+…+(2n-1)³)²+(2³+4³+6³+…+(2n)³)=(3)

Тоді маємо S=2³(1³+3³+…+n³)=n(2n+1)² (4)

Враховуючи (1), перепишемо (4) слідуючим чином:

S=n²(2n+1)²-2n²(n+1)²=n²(2n-1).

Отже, 1³+3³+5³+…+(2n-1)³=n²(2n²-1).

Одержану формулу можна довести методом математичної індукції, але це можна зробити тільки тоді, коли нам вже відомо, що 1³+3³+5³+…+(2n-1)³=n²(2n²-1), тобто коли існує гіпотеза, до якої прийти можна різними шляхами, один з яких і показано у прикладі №5.

Узагальнення методу математичної індукції

В деяких задачах трапляється, що твердження, яке необхідно довести, має місце не для всіх натуральних значень n, а лише для значень n, починаючи з певного натурального числа n_о. У таких випадках можна скористатися узагальненим принципом математичної індукції.

Сформулюємо цей принцип:

Нехай твердження, що залежить від натурального числа n, задовольняє такі умови:

1. Це твердження є правильним при n=n_о;

2. З припущення правильності даного твердження при n=k (де kn_о) випливає його істинність і при n=k+1. Тоді дане твердження справджується при всіх натуральних nn_о.

Необхідно розуміти, що при значеннях n<n_о твердження може бути як вірним так і невірним; у всякому разі, яких-небудь заключень щодо істинності твердження при 1n < n_o з проведеного доведення методом математичної індукції зробити не можна.

Наведемо приклади використання узагальненого принципу математичної індукції.

Розглянемо одну з геометричних задач на доведення.

Приклад №1

Теорема.

Кількість діагоналей опуклого n – кутника дорівнює . Довести це.

Доведення.

Нехай . Найменша кількість сторін n-кутника n=3 у трикутника.

1. при n=3 D(3)==0. Це вірно, тому що у трикутника діагоналей немає. Отже при n=3 вихідне твердження істинне.

2. Припустимо, що у будь-якому опуклому k-кутнику кількість діагоналей D(k)=(n=k).

Враховуючи дане припущення, доведемо, що у опуклому (k+1)-кутнику кількість діагоналей .

Нехай А₁А₂А₃…А_KA_K+1 – опуклий (k+1)-кутник. Проведемо в ньому діагональ A₁A_K. Щоб порахувати спільну кількість діагоналей цього (k+1)-кутника, необхіднодо кількості діагоналей k-кутника, тобто, враховуючи припущення, до числа додати 1 ( це діагональ А₁А_K ) і число (k-2) – кількість діагоналей (k+1)-кутника, які виходять з вершини А_k+1.

Таким чином,

A₄ A₃

D(k+1)=D(k)+(k-2)+1=A₂

A_k A₁

. А_k+1

Отже, твердження справджується і при n=k+1. За принципом математичної індукції воно істинне і для будь-якого опуклого n-кутника.

P.S. Цю теорему можна довести і по-іншому, з використанням відомої формули комбінаторики. , де,.

Доведення.

Кожна пара вершин цього n-кутника визначає або сторону, або діагональ. Отже, всього маємо , що й треба було довести.

Узагальнений принцип інколи використовують і при доведенні нерівностей.