Неповна індукція і метод математичної індукції

в прикладах і задачах на обчислення сум, добутків

Приклад №1

Знайти формулу для обчислення суми S_n=.

Використаємо неповну індукцію. Розглянемо частинні випадки:

n=1 S₁=

n=2 S₂=

n=3 S₃=

n=4 S₄=

n=5 S₅=

Можна зробити припущення, тобто виказати гіпотезу, що S_n=.

Доведемо цю формулу методом математичної індукції.

Доведення

1) Базис індукції: При n=1 S₁==формула вірна.

2) Індуктивний перехід:

Припустимо, що дана рівність має місце при n=k, тобто S_k=.()

Виходячи із цього припущення. Доведемо, що воно істине і для n=k+1, тобто, що

S_k+1=, S_k+1= S_k+.

Враховуючи припущення () маємо: S_k+1==.

Отже, формула вірна і при n=k+1. За принципом математичної індукції вона справджується і при будь-якому n.

Приклад №2

Знайти формулу для обчислення суми S_n=.

Використаємо неповну індукцію. Розглянемо частинні випадки:

n=1 S₁=n=2 S₂=

n=3 S₃=n=4 S₄=

Можна зробити припущення, тобто виказати гіпотезу, що S_n=.

Доведемо цю формулу методом математичної індукції.

Доведення

1) Базис індукції: При n=1 S₁==формула вірна.

2) Індуктивний перехід:

Припустимо, що дана рівність має місце при n=k, тобто =.

Виходячи із цього припущення. Доведемо, що воно істине і для n=k+1, тобто, що

S_k+1=

Враховуючи припущення маємо: S_k+1==.

Отже формула вірна і при n=k+1. За принципом математичної індукції вона справджується і при будь-якому n.

Приклад №3

Знайти формулу для обчислення суми S_n=.

Використаємо неповну індукцію. Розглянемо частинні випадки:

n=1 S₁=

n=2 S₂=

n=3 S₃=

Розглядаючи ці суми, бачимо, що в чисельнику стоять числа, що виражають кількість доданків даної суми, а в знаменнику – другий множник знаменника останнього доданку. Тому випливає гіпотеза, що S_n==.

Доведемо цю рівність методом математичної індукції.

Доведення

1) Базис індукції:

При n=1, з одного боку S₁=і, з другого – S₁=формула вірна.

2) Індуктивний перехід:

Припустимо, що дана рівність має місце при n=k, тобто S_k=.

Доведемо, що рівність має місце і при n=k+1, тобто, що

Отже, формула вірна і при n=k+1. За принципом математичної індукції вона справджується і при будь-якому n.

За допомогою методу неповної математичної індукції можна одержати і формули для добутків, а потім довести їх методом математичної індукції.

Приклад №4

Нехай де

Із рівностей

; n=2 ; n=3; n=4 Робимо індукційний висновок, що

Доведемо цю формулу

1 Спосіб доведення.

1) При n=2 маємо . Формула вірна.

Припустимо, що при n=k, k>2 формула формула справджується, тобто

.

Враховуючи це припущення, доведемо, що вона вірна і при n=k+1.

Формула справджується і при n=k+1.

Отже, за принципом повної математичної індукції, вона вірна і при ,

2 Спосіб доведення.

При доведенні даної тотожності за допомогою методу математичної індукції корисно було б зробити так:

Записати цю тотожність при n=k. (1)

потім при n=k+1. (2)

Поділити (2) на (1), ліву частину на ліву, праву на праву

.

Одержали один і той самий вираз , а це значить, що за методом математичної індукції можна сказати, що дана тотожність справджується при всіх натуральних n.