Хвостенко Кривые 2 порядка

К Р И В Ы Е В Т О Р О Г О П О Р Я Д К А

О к р у ж н о с т ь

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равно-

удалённых от данной точки, называемой центром.

Пусть C a, b

– центр окружности.

y

M1

Расстояние от любой точки окружности до

M 2

центра r – радиус окружности. M x, y –

C

любая точка окружности (рис. 1).

r

r x a 2 y b 2 ,

M

x a 2 y b 2 r2

(1)

O

x

Уравнение (1) есть уравнение окруж-

Рис. 1

ности с центром C a, b и радиусом r .

Если M

1

x ,

y

лежит вне окружности, то x a 2

y b 2

r2 .

1

1

1

1

Если M

2

x

, y

2

лежит внутри окружности, то x a 2 y

b 2

r2 .

2

2

2

Если центр окружности лежит в начале координат, то уравнение (1) имеет

x2 y2 r2 .

(2)

Уравнение (2) есть каноническое уравнение окружности. Параметриче-

ские уравнения окружности x x0 r cost ,

y y0 r sin t , где x0 , y0 – коорди-

наты центра окружности, 0 t 2 .

a

a b

y

a

b

B

M

r1

r2

F1

F2

A

a

c

O

c

a

x

b

Рис. 2.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

x2

y2

1.

(3)

a2

b2

Фокусы F c; 0 и F c; 0 , где c

a b , c

a b .

a2 b2

b2 a2

1

2

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстоя-

ния 2c к длине 2a большой оси.

2c

c

, 1

b2

a b ,

2c

c

, 1

a2

a b .

a2

2a

a

2b

b

b2

соединяющих эту точку с фокусами F1 и F2 . Их длины r1

и r2

вычисляются по

формулам r1 a x , r2 a x , r1 r2

2a , где

– эксцентриситет эллипса.

Директрисами эллипса называются прямые, определяемые уравнениями

x

a

,

x

a

a b , y

b

,

y

b

a b .

Если a b , то эллипс превращается в окружность x2

y 2

a2 .

Если M

x , y лежит на эллипсе, то

x12

y12

1.

1

1

1

a2

b2

Если M

x , y лежит вне эллипса, то x12

y12

1.

1

1

1

a2

b2

Если M

x , y лежит внутри эллипса, то x12

y12

1.

1

1

1

a2

b2

Если центр эллипса перемещен в точку x0 ,

y0 ,

то каноническое уравне-

ние эллипса примет вид

x x0 2

y y0

2

a2

b2

1.

y

a b

a

b

B

F c

1

r1

A

a

O

a

x

r2

M

F2

c

a

b

Рис. 3.

Параметри-

ческие

уравнения эл-

липса имеют вид

x2

y2

1,

a2

b2

где a OA – действительная полуось, b OB – мнимая полуось.

b

y

a

a

a

M

b B

r2

F1

r1

A'

A

F2

c

a

O

a

c

x

b B'

c

, 1

b2

1.

a

a2

Фокальные радиусы точки левой ветви гиперболы вычисляются по фор-

мулам r1 x a , r2 x a .

Для любой точки M гиперболы выполняется условие F1M F2 M 2a .

Если центр гиперболы смещен параллельно относительно системы коор-

динат xOy таким образом, что центр гиперболы находится в точке C x0 ; y0 , то-

гда гипербола определяется уравнением

x x0

2

y y0

2

a2

b2

1.

Гипербола (рис. 5), уравнение которой имеет вид x2

y2 1, называет-

a2

b2

ся сопряженной с гиперболой x2

y2

1.

a2

b2

y

c

F2

b

a

r2

B

b

b

A'

A

a

O

a

x

b

b

B'

r1

M

c

F

1

Рис. 5.

Фокусы F 0; c и

0; c , где c

F

a2

b2 .

1

2

Асимптоты y

b

x ,

y

b

x .

a

a

Эксцентриситет

c

,

a2

1.

b

b2

Директрисы y

b

,

y

b

.

Фокальные радиусы верхней ветви гиперболы r1

y b , r2 y b .

Фокальные радиусы нижней ветви гиперболы r1

y b , r2 y b .

y

p

N

M

Уравнение параболы (рис. 6), симмет-

2

ричной относительно оси Ox и проходящей

r

через начало координат, имеет вид:

O

F

x

y2 2 px .

Уравнение директрисы x p .

2

p

Фокус F

; 0 . Фокальный радиус от

Рис. 6.

2

Если вершина параболы находится в точке C x0 , y0 , то параболы опреде-

ляется уравнением y y0 2 2 p x x0 .

Эксцентриситет параболы равен единицы.

Если

фокус

параболы имеет координаты

y

p

M

N

F

; 0 , уравнение параболы (рис. 7) имеет

2

r

вид:

y2 2 px .

Если фокус параболы лежит на оси Oy в

F

O

x

p

p

точке

2

F 0;

, то уравнение параболы (рис. 8)

2

имеет вид:

x2 2 py .

Рис. 7.

p

Если фокус параболы лежит в точке F 0;

, то уравнение параболы

2

(рис. 9) имеет вид: x2 2 py .

y

p

y

N

2

F

r

O

x

M

M

x

O

r

F

p

N

2

Рис. 8.

Рис. 9.