Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-1 курс / С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

765.23 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Задание 13. Найдите объем тела, образованный вращением фигуры, ограниченной графиками функций.

	x		1		13.2. y 2x x2 , y x 2 , во-
13.1. y 2		, y 4 , вокруг оси ОХ			круг оси ОХ
13.3. y x3, y x2 , вокруг оси ОУ					13.4. y (x 1)2 , x 0, x 2, y 0 ,
					вокруг оси ОУ

13.5. y x 2 3x 2, y 0 , вокруг					13.6. y 2x x2 , y 0 , вокруг оси
оси ОУ					ОХ

13.7. y x2		1, y x, x 0, x 1,			13.8. y x 8, y x, x 0, вокруг
вокруг оси ОУ					оси ОУ

13.9. y x2 , y2			x, вокруг оси ОХ		13.10. y x3, y x, вокруг оси
					ОХ

13.11. y 3 x2 , y x2 1, вокруг					13.12. y x2	1, y 3x 1, вокруг
оси ОХ					оси ОХ

13.13. y2 4x,			x 4 , вокруг оси		13.14. y 2x x2 , y 4x 2x2 , во-
ОУ					круг оси ОХ

13.15. y x2 , x 2, y 0,				вокруг	13.16. y x2	2x 1, x 2, во-
оси ОУ					круг оси ОУ

13.17. y x2 5x 6, y 0, во-					13.18. y x3	2, y 1, вокруг
круг оси ОХ					оси ОХ

13.19. y 1 x2 , x 0, x				y 2,	13.20. y x3, y 8, x 0, вокруг
вокруг оси ОХ					оси ОУ

13.21. y (x 2)2 , y 0, x 0 , во-					13.22. y x2 , y 1, x 2 ,вокруг оси
круг оси ОУ					ОХ

13.23. y x2 2, y 0, x 1, во-					13.24. y x2 , y x, вокруг оси
круг оси ОХ					ОУ

13.25. y (x 2)2 , y 0, x 0, во-					13.26. y x2 8x 7, y 0, во-
круг оси ОУ					круг оси ОХ

13.27. y x2	8x 7, y 0, во-	13.28. y	x 1, x 5, y 0, во-
круг сои ОХ		круг оси ОУ

13.29. y x2	2, y 1, вокруг	13.30. y	2 x, y 0, x 2, во-
оси ОУ		круг оси ОХ и ОУ

Образец выполнения задания 13

Найдите объем тела, образованный вращением фигуры, ограниченной графиками функций:

y 4 x2 , y 2 x, x 0 , вокруг оси ох и оси оу.

Р е ш е н и е .

1) Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиком функций вокруг оси ох.

Найдем координаты точек пересечения графиков функций

y 4 x2 , y 2 x ,	4 x2 2 x, x2 x 2 0, x 1, x	2	2, т.к.
	1	2

x 0, то х1 = 1, следовательно у1 = 2 + 1 = 3.

Координаты точки пересечения А(1; 3). Построим графики функций у = 4 - х2, у = 2 + х.

у = 2 + х

у = 4 – х2

Для нахождения объема воспользуемся формулой:

V f 2 (x) dx

										a
V = V1 – V2 , где V1 – объем									образованный вращением у = 4 - х2,
x			вокруг			оси ОХ, V			2	– объем		образованный			вращением
x		0;1	вокруг			оси ОХ, V				– объем		образованный			вращением
y	2 x, x					вокруг оси ОХ.
y	2 x, x			0;1		вокруг оси ОХ.
			1			1					1
		V (4 x2 )2 dx (2 x)2 dx ((4 x2 )2 (2 x)2 )dx
			0			0					0
		1						5		12x	3
		1

(x4			12x2		12)dx		x				12х		1	1 4 12	8 1 ед3.
(x4			12x2		12)dx						12х		1	1 4 12	8 1 ед3.
		0				5				3			0	5	5
		0				5				3				5	5

О т в е т : 8 15 ед3.

2)Найдем объем тела вращения, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси ОУ.

y 4 x2 , x2 4 y, x 4 y, т.к. x 0 ,

x 4 y .

y 2 x x y 2.

Для нахождения объема воспользуемся формулой:

V x2 ( y)dy.

		c
V = V1 + V2 , где V1 – объем образованный вращением x			4 y
y 3; 4 вокруг		оси ОУ, V2 – объем образованный вращением
x y 24, y
x y 24, y	2;3 вокруг оси ОУ.

						4									3
	V V1 V2						4 y 2 dy ( y 2) 2dy
						3									2
4			3								y		2		4		y	3			4 y	2		3
(4 y)dy ( y 2)2 dy													2					3				2
								4 y															4 y
								4 y															4 y
3			2									2			3	3					2			2
3			2									2				3					2
	16				9			27		2 9				12					8	2 4			4 2
16	2		12					3		2 9				12					3	2 4			4 2
	2				2			3											3
				8	15		3		8			1			1	5		ед3.
				8	2		3		3			2			3	6		ед3.
					2				3			2			3	6
О т в е т :		5	ед3.
		6

Задача 14. Найдите несобственные интегралы или доказать их расходимость.

14.1.													14.2.
1)		3					x4		dx ;				1)		2x dx									;
1)			x		e				dx ;				1)					2			1			;
														x							1
	2				dx									3						dx
2)					dx								2)							dx
2)		3x 6											2)		(3 x)										3
	1	3x 6												1	(3 x)
	1													1

14.3.													14.4.
							dx													x3
1)											;		1)													dx ;
1)				25 4x						2	;		1)						4			1				dx ;
				25 4x										x								1
	5				x dx									5	x dx
2)					x dx								2)		x dx
2)				25 x2									2)			x 1
	4			25 x2										1		x 1
14.5.													14.6.
								dx												dx
1)								dx				;	1)							dx						;
1)			x		2	8x 25						;	1)							2			x			;
			x			8x 25								2		xln							x
														2
	2				dx									1							dx
2)					dx								2)								dx
2)		xln					3	x					2)		x		2			4x 3
	1	xln						x						0	x					4x 3
	1													0

14.7.															14.8.
			ln x dx ;																	x2
1)															1)					x2					dx ;
1)															1)				6						dx ;
	2				x												1 x
	2
	4					x										6						dx
2)						x						dx			2)							dx
2)					x2		9					dx			2)					x2 25
	3				x2		9									5				x2 25
14.9.															14.10.
			ln3 x dx ;
1)			ln3 x dx ;												1)	x2e x3 dx ;
	e				x											0
	e															0
	1					dx										3				dx
2)						dx									2)					dx
2)			5 (x 1)4												2)			x 3
	0		5 (x 1)4													0		x 3
14.11.															14.12.
	0																		arctg					2x dx
1)	e x						dx ;								1)				arctg					2x dx
																1			1 x
																1
	e				dx											4							dx
2)					dx										2)								dx
2)		xln x													2)				3 (4 x)2
	1	xln x														2			3 (4 x)2
14.13.															14.14.
									dx											2x			2dx
1)														;	1)							3					;
1)					x	2	6x						11	;	1)					x		3	1				;
					x		6x						11							x			1
	1					dx										11					dx
2)						dx									2)						dx
2)															2)		3
	0				1 x2											3				x 3
14.15.															14.16.
					x dx											2								dx
1)					x dx					;					1)									dx					;
1)					2					;					1)					x	2		6x					10	;
			5 x																	x			6x					10
	0					dx										1				dx
2)						dx									2)					dx
2)				(2 x)							5				2)			xln x
	2			(2 x)												1		xln x
	2															1
																e

14.17.															14.18.
					dx															x4 dx
1)								;							1)												;
1)						x		;							1)				10					4			;
	1					x										x								4
	1					dx										7						dx
2)						dx									2)							dx
2)					1 x2										2)		(7 x)									4
	0				1 x2											0	(7 x)

14.19.															14.20.
							2x4															dx
			3			e	2x4			dx ;												dx
1)				x											1)															;
1)				x											1)				x	2	8x						20			;
	0															2			x		8x						20
	0															2
	2					dx										2			xdx
2)						dx									2)				xdx
2)					4 x					2					2)			3	2
	1				4 x											1			1 x
14.21.															14.22.
	3 x																				dx
1)										dx ;					1)	0										;
																			(1 2x)2
				x2 1															(1 2x)2
	0						dx									4		x dx
2)							dx								2)			x dx
																			x 3
						3x 1													x 3
	1															3
	3

14.23.															14.24.
									dx												dx
1)									dx					;	1)						dx						;
1)					x	2	8x					17		;	1)					(1 x)2							;
	3				x		8x					17				0				(1 x)2
	3					x										4					dx
2) 2						x					dx				2) 3						dx

					9 x2												(2x 3)4
																2

14.25.															14.26.
						dx															dx
1)										;					1)													;
1)				x ln				3	x	;					1)				(1 x)					x				;
	4			x ln					x							1			(1 x)					x
	5			dx												1			x dx
2)				dx											2)				x dx
2)				5											2)			1 x4
	1				5 x											0		1 x4
14.27.															14.28.
																					dx
1)	xe x2 dx ;														1)						dx				;
1)	xe x2 dx ;														1)				25 9x				2		;
	0																		25 9x
	0
	6	x dx														e			1
2)		x dx													2)				1			dx
2)		3													2)						х	dx
	5				x 6											1 хln					х
14.29.															14.30.
									dx													dx
1)									dx				;		1)							dx							;
1)					x	2	2x					5	;		1)				x	2	2x 5								;
					x		2x					5							x		2x 5
	4				x dx											4			dx
2)					x dx										2)				dx
2)					x 3										2)			4	x 2
	3				x 3											2			x 2

Образец выполнения задания 14

Найдите несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1) x dx ;

x4 9

6dx

2)2 x x 2 .

Р е ш е н и е .

		xdx				1			dx2			1	1			x2		1			( )2

1)														arctg					(arctg
		4				2		2		2	2	2	3			3		6			3
	x		9				(x		)		3

arctg	( )2			1	(arctg( ) arctg( ))										1			0,		интеграл
	3	)		6											6		2
																2

сходится.

О т в е т : 0, интеграл сходится.

, x 2 2;6 ,

x 2

точка разрыва второго рода.

x 2

введемзамену:

x 2

t, x 2 t2 , x t2

2, dx 2tdt

приx

2,t

0,приx 6,t 2

2tdt

arctg

2(arctg 2

arctg0)

2)t

0 t

2(arctg

2 0)

2arctg

2 , интеграл сходится.

О т в е т :

2arctg

2 ,интеграл сходится.

Литература

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 2003.

2.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учебное пособие.- 22 изд., перераб. – СПб.: Профессия, 2003 – 2006.

3.Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: учебник для вузов. –

М.: ВЛАДОС, 2004. – 399 с.

4.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.А. Высшая математика в уп-

ражнениях и задачах: в 2 ч. – 6-е изд. – М.: ОНИКС, 21 век. Мир и образова-

ние, 2002. – Ч. 1.

5.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расче-

ты). – М.: Высш. шк., 1994.

6.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – М., 2004.

7.Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова. –

М.: Наука, 2004. – Ч. 1 – 3.

8.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.:

Наука, 1985.

Оглавление
Введение ..........................................................................................................	3
Введение в математический анализ ..............................................................	4
Дифференциальное исчисление функции одной переменной ..................	21
Интегральное исчисление функции одной переменной.............................	40
Литература ......................................................................................................	78

Печатается в авторской редакции Технический редактор М.Н. Авдюхова Лицензия А № 165724 от 11.04.06 г.

Подписано в печать 27.07.12 г. Формат 60 84 1/16 . Гарнитура таймс. Уч.-изд. л. 4. Усл. п.л. 4,5.

Тир. 4. Зак.

ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет» 162600 г. Череповец, пр. Луначарского, 5.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в папке Математика-1 курс

#
22.03.2015765.23 Кб41С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3.pdf
#
22.03.20152.73 Mб32С.А. Парыгина и др. Математика - Часть 2 .pdf