Лекція1

1.4. Властивості операцій над множинами

Операції над множинами, які сформульовані вище, як і операції над числами, мають деякі властивості (табл. 1.1). Ці властивості виражаються сукупністю тотожностей,

справедливих незалежно від конкретного змісту множин, які до них входять, які є

11)якщо A B=U i A B= , то B=A

12)A U A

13)A=A

14)A\B=A B

15)A+B=(A B) ( A B)

16)A+B=B+A

17)(A+B)+C=A+(B+C)

18)A+ = +A=A

19)A B, якщо і тільки якщо A B=A або A B=B, або A B=

21

20) A=B, якщо і тільки якщо (A B) ( A B)=

Тотожності (1а)—(За) виражають відповідно комутативний, асоціативний і дистрибутивний закони для об'єднання, а тотожності (1б)—(3б) — ті ж закони для пересічення. Співвідношення (1а) - (7а) визначають властивості пустої множини і

універсума U щодо об'єднання, а співвідношення (4б)— (7б) -щодо пересічення.

Вирази (8а) і (86), які називаютья законами ідемпотентності, дозволяють записувати формули з множинами без коефіцієнтів і показників степеня. Залежності (9а) і (96)

представляють закони поглинання, а (10а) і (10б) — теореми де Моргана.

Співвідношення (11)—(20) відбивають властивості доповнення, різниці, диз'юнктивної суми, включення і рівності.

Принцип подвійності. Перші десять властивостей у табл. 1.1 представлені парами двоїстих (дуальних) співвідношень, одне з яких виходить заміною в іншому символів:

на і на , а також на і на . Відповідні пари символів , і ,

називаються двоїстими (дуальними) символами.

При заміні в будь-якій теоремі символів, які до неї входять, дуальними одержимо нове речення, яке також є теоремою (принцип подвійності або дуальності). Тотожності (11)

і (12) не змінюються при заміні символів дуальними, тому їх називають самодвоїстими.

Принцип дуальності можна поширити на різницю і диз'юнктивну суму, якщо використовувати тотожності (11) і (15). Аналогічно відповідно до співвідношення (19)

можна замінити А В на А В =А або A B=B. Але оскільки дуальним А В =А є

A B=A, то дуальним А В варто вважати В А. Тому, розширюючи принцип дуальності на вирази, у які входить символ включення, необхідно при переході до дуального виразу всі знаки с замінити на з і зворотно.

Метод доведення. Доведення тотожностей (табл. 1.1) засновано на відношенні приналежності. Щоб переконатися, наприклад, у справедливості тотожності (За),

покладемо x A (B C) тоді х А або хє(В С).Якщо х А, то х належить об'єднанню А з будь-якою множиною, тобто х є A B i х А С отже, х є елемент пересічення множин A Bі A C, тобто (A B) (A C). Якщо хєВ С, то х В

22

і х С ,отже X A B i X C, тобто і в цьому випадку х є елемент пересічення тих же множин.

Відповідно до визначення рівності множин приходимо до тотожності

A (B C)=(A B) (A C)

Важливо відзначити, що будь-яка теорема алгебри множин і співвідношення, які приведені в табл. 1.1, виведені з перших п'яти властивостей, які у свою чергу доводяться тільки в термінах відношення приналежності. Це можна розглядати як ілюстрацію аксіоматичного підходу до алгебри множин. Наприклад, . відношення (8а)

доводиться наступними перетвореннями з використанням тотожностей (4б), (5а), (За), (5б) і (4а):

A A=(A A) U=(A A) (A A)=A (A A)=A =A

Діаграми Вєнна. Графічні методи алгебри множин засновані також на діаграмах Вєнна. Побудова діаграми починається з розбивки площини на 2 вічок за допомогою

фігур (замкнутих ліній), де — число різних множин, які беруть участь у даній сукупності співвідношень. При цьому кожна наступна фігура повинна мати одну і тільки одну загальну область з кожною з раніше побудованих фігур. Таку розбивку називають символом Вєнна. На рис. 1.8 показано символ Вєнна для =3, який розбиває площину на вічок (зовнішня область також вважається вічком). Для визначеної кількості змінних символ Вєнна має стандартний вигляд.

Рис. 1.8. Символ Вєнна при =3.

Замкнуті області символу Вєнна, як і кола Ейлера, відповідають змінним (множинам А1,А2, ...,А ), а кожна її область – пересіченню і 1 Аі

де символ ~ указує, що під знаком пересічення стоїть відповідна змінна Аi, або її доповнення Ai: (i=1, 2… ). При цьому зовнішня область відповідає пересіченню доповнень усіх змінних

23

Універсум ототожнюється з площиною, яка може обмежуватися замкнутою лінією,

яка утворює яку-небудь фігуру (прямокутник, коло або овал). Система теоретико-

множинних співвідношень відображається на символ Вєнна виділенням

(штрихуванням) тих вічок, які відповідають пустим підмножинам. У результаті й одержуємо діаграму Вєнна. Об'єднання будь-якої сукупності заштрихованих вічок відповідає пустій множині , а об'єднання всіх незаштрихованих вічок дає універсум

U. Для відображення рівняння з правою частиною, яка дорівнює , досить заштрихувати області, які відповідають лівій частині рівняння. Рівняння А=В

перетвориться відповідно до формули (20) (табл. 1.1) до вигляду

(А В) (А В)= .

Це значить, що варто заштрихувати всі ті області в В, що не входять в А, і ті області в А, що не входять в В. Включенню А В на підставі властивості 19 (табл. 1.1)

відповідає рівняння А В= . Його відображення на діаграмі здійснюється штрихуванням вічка, що відповідає пересіченню А з доповненням В.

Застосування діаграм Вєнна. Побудуємо, наприклад, діаграму Вєнна (рис. 1.9) для системи рівнянь:

A = B C; B = C ; C = ; A D = В С D.

Відображення А=В С здійснюється штрихуванням усіх тихМесто для формул . вічок у В і С, які не входять в А, а також всіх вічок в А, які не входять ні в В, ні в С. Так як B

A = В С випливає, що A є загальна частина В,С і , тому вічка A B і

A C повинні бути заштриховані. Крім того, оскільки B C є загальна частина А і , то B C D A і, отже, повинно бути заштриховано вічко А В С D.

24

Рис. 1.9. Діаграма Вєнна для системи рівнянь Послідовні етапи побудови діаграми Вєнна на рис. 1.9 відзначені штрихуванням, яке

нахилено праворуч, горизонтально, вертикально і нахилено ліворуч. Як видно, єдине

Вєнна здійснюється штрихуванням вічок у X і С, які не входять у , а також всіх вічок у Д які не входять ні в X, ні в С (рис. 1.10). З діаграми Вєнна (заштриховану частину не враховуємо) одержуємо \C X . Важливо відзначити, що цей результат утримується в діаграмі Вєнна і не потрібно ніякої додаткової інформації, щоб судити про властивості розв'язання рівняння.

25

Рис. 1.10. Діаграма Вєнна для рівняння Х C=D

Цей приклад наочно ілюструє розходження між діаграмами Вєнна і колами Зйлера, які у літературі часто необгрунтовано називають діаграмами Ейлера—Вєнна. Іноді особливість діаграм Вєнна бачать тільки в тому, що в них використовуються не кола, а

овали або інші замкнуті фігури. Однак головна відмінність не в цьому (Зйлер теж допускав застосування фігур, що не є колами). Діаграма Вєнна відображає систему співвідношень на стандартному символі для змінних шляхом «деформації» цього символу виділенням (штрихуванням) області пустих підмножин.

1.5. Список літератури

26