Лекція1

Доповнення доповнення множини спортсменів є сама множина спортсменів.

Наслідок з цього закону. Доповнення доповнення доповнення множини спортсменів є доповнення множини спортсменів. Важливими є ще такі два закони: ПРОТИРІЧЧЯ і ВИКЛЮЧЕНОГО ТРЕТЬОГО.

Протиріччя: Пересічення множини спортсменів з їоновненням множини спортсменів пусте. Так як в доповнення множини спортсменів входять всі інші студенти неспортсмени, то в нього пересічення не може бути загальних елементів.

Виключеного третього: Об'єднання множини спортсменів з доповненням множини спортсменів збігається з розглянутим універсумом. Дійсно, так як в доповнення множини спортсменів входять всі інші студенти неспортсмени з універсума, то це об'єднання саме і складає весь універсум. Проілюструємо вищесказане в математичній формі. Нехай а і Ь — деякі числа, а+b — їхня сума і аb — їхній добуток. Сума і добуток чисел мають наступні властивості, які називаються законами алгебри.

1.a+b=b+a; ab=ba— комутативний або перемістительний закон;

2.(a+b)+c=a+(b+c); (ab)c=a(bc) — асоціативний або сполучний закон;

3.(a+b)c=ac+bc — дистрибутивний або розподільний закон.

Помітимо, що в асоціативному і комутативному законах можна замінити дію додавання множенням, а дію множення додаванням. При цьому одержимо інший закон, що буде так само справедливий, як і перший. Однак у дистрибутивному законі подібної симетрії немає. Якщо в цьому законі замінити додавання множенням, а

множення додаванням, то прийдемо до абсурду: (ab)+c=(a + с)(b + с). Запитується, чи завжди це так? Чи не існує алгебри, у якій дистрибутивний закон був би так само симетричний щодо додавання і множення, як комутативний і асоціативний закони?

Виявляється, існує алгебра, а саме алгебра множин, у якій усі три закони симетричні щодо дій додавання і множення. Подібність між діями додавання і множення виявляється також в існуванні двох чудових чисел 0il, таких, що доданок першого і множення на друге не змінюють жодного числа:

a+0=a, а*1=а.

Помітимо, що друге співвідношення виходить з першого заміною ( + ) на (*) і 0 на 1.

Однак і тут подібність між діями додавання і множення не простирається особливо

11

далеко. Так, число 0 грає трохи особливу роль у порівнянні з всіма іншими числами,

в тому числі й одиницею. Ця особлива роль числа 0 випливає зі співвідношення а*0=0. Якщо ми в цьому виразі замінимо (*) на (+) і 0 на 1, то приходимо до співвідношення а+1 = 1, що майже ніколи не буде вірним. Як ми побачимо далі, подібність між нулем і одиницею в алгебрі множин буде значно

більшим, ніж у звичайній алгебрі. Після цих попередніх зауважень можна приступити до розгляду операцій над множинами.

Об'єднання множин.

Об'єднанням множинні Y називається множина, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, що належать хоча б одній з множин X, Y, тобто належать X або належать

Y. Об'єднання X і Y позначається через Х Y. Формальне означення Х Y={ х | хєХ або хєY},

Об'єднання множин іноді називають сумою множин і позначають Х+Y. Однак властивості об'єднання множин трохи відрізняються від властивостей суми при звичайному арифметичному розумінні. Тому цим терміном ми користуватися не будемо.

Прикладі. Якщо Х={1, 2, 3, 4, 5} і Y={2,4, 6, 7), то

X Y= {1,2,3,4,5,6,7}.

Приклад 2. Якщо X — множина відмінників у групі, а Y — множина студентів, що живуть у гуртожитку, то Х Y — множина студентів, які або вчаться на відмінно або живуть у гуртожитку.

Приклад 3. Розглянемо два кола, приведених на рис. 1.1. Якщо X — множина точок лівого кола, a Y— множина точок правого кола, то Х У являє собою заштриховану область, яка обмежена обома колами.

Y Х

Рис. 1.1. Об'єднання множин. Поняття об'єднання можна поширити і на більше число множин.

12

Являє собою множину, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній з множин системи R. Для об'єднання множин справедливі комутативний і асоціативний закони

Це також очевидне співвідношення, тому що пуста множина не містить елементів, а

значить,

X і X складаються з тих самих елементів. З (1.4) видно, що пуста множина відіграє роль нуля в алгебрі множин. Тут має місце аналогія з виразом а+0=а в звичайній алгебрі.

Перетин множин.

Пересічення множин X і Y називається множина, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, що належать як множині X, так і множині Y. Пересічення множин X і Y

позначається через Х Y. Формальне означення

Х Y={ х | х Х і х Y} . (1.5) Пересічення множин іноді називають добутком множин і позначають XY. Однак властивості пересічення множин трохи відрізняються від властивостей добутку у звичайному арифметичному розумінні. Тому цим терміном ми користуватися не будемо.

Приклад 4. Для множин X і Y в прикладі 1 Х Y = {2, 4}.

Приклад 5. Для множин X і Y в прикладі 2 Х Y — множина відмінників групи, які живуть у гуртожитку.

13

Приклад 6. Розглянемо два кола, які приведені на рис. 1.2.

х у

Рис. 1.2. Перетин множин .

Якщо X — множина точок лівого кола, a Y — множина точок правого кола, то Х Y

являє собою заштриховану область, що є загальною частиною обох кіл. Операція пересічення дозволяє установити ряд співвідношень між двома множинами.

Множини X і Y називаються непересічними, якщо вони не мають загальних елементів,

тобто якщо

Приклад 7. Непересічними множинами є:

1)множини {1, 2, 3} і {4, 5, 6};

2)множина відмінників і множина невстигаючих студентів у групі;

3)множина точок кіл ХіY на рис. 1.3.

xу

Рис. 1.3. Непересічні множини.

Говорять, що множини X і Y знаходяться в загальному положенні, якщо виконуються три умови:

-існує елемент множини X, що не належить Y;

-існує елемент множини Y, що не належить X;

-існує елемент, що належить як X, так і Y.

Вкажемо одну відмінність алгебри множин від алгебри чисел. Якщо а і b — два числа,

Так, якщо X — множина відмінників, a Y — множина студентів, що живуть у гуртожитку, то три раніше приведених співвідношення будуть означати:

-X Y - кожен відмінник обов'язково живе в гуртожитку;

-X=Y - у гуртожитку живуть усі відмінники і тільки вони;

-Y Z - усі студенти, які живуть у гуртожитку, є відмінниками.

Очевидно, що ці співвідношення не вичерпують усіх можливостей. Насправді, як випливає з попередніх визначень, між двома множинами X і Y може бути одне з відношень: X Y; X = Y; Y X; X Y= ;

X i Y знаходяться в загальному положенні.

Поняття пересічення можна поширити і на більше, ніж два, число множин. Розглянемо систему множин R ={Х1,..., Х }. Пересічення цих множин записується у вигляді

аналогічне співвідношенню а*0=0 у звичайній алгебрі, і співвідношення (1.12) разом зі співвідношенням (1.4) показує, що існує множина відіграє роль нуля в алгебрі множин.

Різниця множин

Дана операція на відміну від операцій об'єднання і пересічення визначається тільки для двох множин. Різницею множин ХіYназивається множина, яка складається з усіх

Приклад 8. Для множин X і Y приклада 1 Х\Y={ 1,3,5}, Х\Y={6,7}. Якщо X і У— множини з приклада 2, то X\Y— множина відмінників, що не проживають у гуртожитку. Для множини Х і Y приклада З Х\Y—заштрихована фігура нарис. 1.4.

х у

Рис. 1.4. Різниця множин

1.3. Універсальна множина і доповнення множин

Універсальна множина. Як ми бачили, роль нуля в алгебрі множин грає пуста

аналогічній умові а*1=а в звичайній алгебрі. Співвідношення (1.14) означає, що пересічення або «загальна частина» множини U і множини X для будь-якої множини X

збігається із самою цією множиною. Але це можливо лише в тому випадку, якщо множина U містить усі елементи, з яких може складатися множина X, так що будь-яка множина X цілком міститься в множині U. Множина U, що задовольняє цій умові,

називається повною або універсальною. Виходячи зі сказаного, можна дати наступне означення універсальної множини.

Означення. Якщо в деякому розгляді приймають участь тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то ця найбільша множина U називається універсальною множиною.

Слід зазначити, що в різних конкретних розглядах роль універсальної множини можуть грати різні множини. Так, при розгляді множин студентів у групі (відмінники;

студенти, що одержують стипендію; студенти, що проживають у гуртожитку, і т.п.)

роль універсальної множини грає множина студентів у групі. Універсальну множину зручно зображувати графічно у вигляді множин точок прямокутника. Окремі області усередині цього прямокутника будуть означати різні підмножини універсальної

множини. Зображення множин у вигляді областей у прямокутнику, що представляє

16

універсальну множину, називається діаграмою Зйлера.Універсальна множина має цікаву властивість тим, що не має аналогії в звичайній алгебрі, а саме, для будь-якої множини X справедливе співвідношення

Дійсно, об'єднання X U являє собою множину, у яку входять як всі елементи множини X, так і всі елементи множини U. Але множина U уже містить у собі всі елементи множини X, так що X U буде складатися з тих же елементів, що і U, тобто

називається доповненням множини Х(до універсальної множини U). На діаграмі рис. 1.5 множина X являє собою незаштриховану область. Формальне означення

X={x|x U і х Х}

U

X

X

Рис. 1.5. Доповнення множини

Приклад 9. Якщо U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} і Х={3, 5, 7}, то X ={1,2,4,6}.

З (1.16) випливає, що X і X не мають загальних елементів, так що

Х X= . (1.17)

Крім того, нема елементів U, що не належали б ні X, ні X , тому що ті елементи, що не належать X, належать X. Отже,

За допомогою операції доповнення можна в зручному вигляді представити різницю множин

X\Y ={х|х Х і x Y} = {x|x X і х Y}

Розбивка множин

Однією з операцій над множинами, яка найбільше часто зустрічається, є операція розбивки множини на систему підмножин. Так, система курсів даного факультету є розбивкою множини студентів факультету; система груп даного курсу є розбивкою множини студентів курсу. Якщо N — множина натуральних чисел, а А0 і А1 -

множина парних і непарних чисел, то система {А0, А1} буде розбивкою множини N.

Множина натуральних чисел може бути розбита інакше: на множину чисел, що діляться на 3 без залишку, із залишком 1 і з залишком 2. Продукція підприємства розбивається на систему множин , що складаються з продукції першого сорту, другого сорту і браку. Подібні приклади можна було б продовжувати нескінченно.

Для того, щоб дати поняттю розбивки строге означення, розглянемо деяку множину М і систему множин R = {Хі,...,X }. Система множин R називається розбивкою множини М, якщо вона задовольняє наступним умовам:

Тотожності алгебри множин

За допомогою операцій об'єднання, пересічення і доповнення з множин можна складати різні алгебраїчні вирази. Позначимо через К (X,Y,Z) деякий алгебраїчний вираз, який складено з множин X, Y і Z. Він сам являє собою деяку множину. Нехай L

(X, Y, Z) — інший алгебраїчний вираз, який складено з тих же множин. Якщо обидва алгебраїчні вирази являють собою одну і ту ж саму множину, то їх можна прирівняти одну до одної, одержуючи алгебрачну тотожність вигляду

18

(X Y) Zi(X Z) (Y Z).

З цих діаграм видно, що обидва вирази визначають одну і ту ж множину, так що в алгебрі множин має місце тотожність

Рис. 1.6. Геометрична ілюстрація тотожності

2) У звичайній алгебрі ми не можемо замінити в дистрибутивному законі дію додавання множенням, а дію множення додаванням, так як це приводить до абсурдного виразу (аb) +c=(a+c)(b+c). Інакше обстоїть справа в алгебрі множин. На мал. 1.7 приведені діаграми Ейлера для алгебраїчних виразів (X Y) Z = (X Z) (Y Z).

О6идва ці вирази дають одну і ту ж множину, так що має місце тотожність.

Дійсно, всі елементи множини Y є в той же час і елементами множини X. Значить,

пересічення цих множин, тобто загальна частина множин X і Y, співпадає з Y. В

19

об'єднання множин X і Y множина Y не внесе жодного елемента, який уже не входив би в неї, будучи елементом множини X. Отже, X Yспівпадає з X.

Установлення тотожностей алгебри множин за допомогою діаграми Ейлера у ряді випадків виявляється незручним. Є більш загальний спосіб установлення тотожності двох алгебраїчних виразів. Нехай, як і раніш, через N (X,Y,Z) і (X, Y, Z) позначено

два алгебраїчні вирази, які отримані шляхом застосування операцій об'єднання,

пересічення і доповнення до множин X, Y і Z. Для того, щоб довести, що N =

досить показати, що N і що N . У свою чергу, що б показати, що N M ,

потрібно переконатися в тому, що з х N випливаєх x . Аналогічно, що б показати,

доведемо, привівши обидві її частини до однакового вигляду. Виконуючи операцію

Ліва частина цього виразу дає X Y. Те ж саме одержимо, перетворюючи праву частину за правилом (1.29).

У літературі тотожності (1.29) і (1.30) зазвичай називаються тотожностями де-Моргана

.

20