Математика ВлГУ / Дискрет матем / Problem2

Задачи по дискретной математике

1. Составить таблицы истинности для следующих формул:

\item $x\vee\overline{y}$; \item $x\wedge\overline{y}$;\item $x\to(y\vee x)$;

\item $x\to(x\wedge y)$; \item $(x\vee y)\to(\overline{x}\vee\overline{y})$;

\item $x\to((x\vee y)\vee z)$; \item $x\to (y\to z)$; \item $(x\to y)\to z$; \item $x\sim

(y\sim z)$; \item $(x\sim y)\sim z$; \item $(x\vee (y\vee z))\to

(\overline{x}\wedge (\overline{y}\wedge\overline{z}))$; \item

$(x\to (y\wedge z))\to (x\to (y\wedge z))$;

\item $(x\sim\overline{(y\vee z)})\sim (x\sim (y\vee z))$;

\item $(x\vee\overline{y})\to ((y\wedge\overline{z})\to (x\vee (y\sim

z)))$; \item $((x\sim y)\sim ((z\to

(\overline{x}\vee\overline{y}))\to\overline{z}))\sim (x\vee y)$;

\item $(x\sim y)\to (((y\sim z)\to (z\sim x))\ to(x\sim z))$.

2. Пусть $x_i$ (i=1,2,3)-символы булевых переменных (т. е. принимающих два значения:0,1). Построить таблицы истинности:

\item $(x_1=x_2)\vee (x_2=x_3)$; \item $(x_1>x_2)\to (x_2=x_3)$;

\item $(x_1\ne x_2)\vee (x_2\ne x_3)$;

\item $((x_1 > x_2)\wedge (x_2=x_3))→ (x_1>x_3)$.

3. Применяя таблицы истинности, доказать тождественнуо истинность формул:

$x\sim x$; $x\vee \overline{x}$; $\overline{(x\wedge

\overline{x})}$; $\overline{\overline{x}}\sim x$; $x\to (y\to x)$;

$\ov{x}\to (x\to y)$;

$((x\to y)\wedge x)\to y$; $((x\to y)\wedge

\ov{y})\to\ov{x}$; $((x\vee y)\wedge\ov{x})\to y$; $((x\sim

y)\wedge\ov{x})\to\ov{y}$; $(x\to y)\sim(\ov{y}→ \ov{x})$;

$((x\to y)\wedge(y\to z))\to (x\to z)$; $(x\to (y\to z))→ ((x\wedge y)\to z)$; $((x\to z)\wedge (y\to z))\to ((x\vee y)→ z)$; $(x\to (y\to z))\to ((x\to y)\to (x\to z))$.

4. Применяя таблицы истинности, доказать равносильность формул:

$x\vee y\equiv y\vee x$; $x\vee (y\vee z)\equiv (x\vee y)\vee z$;

$x\wedge (y\wedge z)\equiv (x\wedge y)\wedge z$; $x\vee (y\wedge

z)\equiv (x\vee y)\wedge (x\vee z)$; $x\wedge (y\vee z)\equiv

(x\wedge y)\vee (x\wedge z)$; $\ov{(x\vee

y)}\equiv\ov{x}\wedge\ov{y}$ -закон де Моагана $\ov{(x\wedge

y)}\equiv\ov{x}\vee\ov{y}$ -закон де Моагана $x\vee x\equiv

x$-закон идемпотентности $x\wedge x\equiv x$-закон идемпотентности

$x\vee 0\equiv x$; $x\wedge 1\equiv x$; $\ov{x}\equiv x$; $x\sim

y\equiv y\sim x$; $x\sim (y\sim z)\equiv (x\sim y)\sim z$; $x\to

y\equiv\ov{x}\vee y$; $x\sim y\equiv (x\to y)\wedge (y\to x)$.

5. Учитывая соглашения о поаядке выполнения опеааций, опустить 'лишние' скобки и знак '' в фоамулах:

$x\wedge (y\wedge (\ov{x}\vee\ov{y}))$;

$(x\wedge y)\vee ((y\wedge z)\vee ((\ov{x}\wedge y)\vee (x\wedge\ov{z})))$;

$((x\vee y)\vee z)\to ((x\wedge\ov{y})\vee z)$;

$((x\vee y)\wedge (x\vee (y\wedge z)))\to ((\ov{x}\wedge\ov{y})\to\ov{z})$;

$((x\vee y)\vee (x\vee ((y\wedge (x\vee z))\wedge (y\to z)))\sim\ov{z})$;

$((x\vee y)\to (x\wedge y))\vee ((\ov{x}\wedge y)\vee (\ov{x}\vee y))$;

$((x\vee y)\wedge z)\to (((x\vee\ov{y})\vee z)\sim (\ov{x}\vee y))$;

$(x\wedge (y\vee z))\wedge ((x\to (y\to z))\sim (x\wedge y))$.

6. Восстановить скобки и знак ' ' в фоамулах:

$x\vee y\to z$;

$x\vee y\to xy$;

$\ov{xy}\vee x\ov{y}\ov{(y\vee z)}$;

$x\vee y (xy\vee z)$;

$xy\vee x\ov{yz}\to\ov{x}\vee yz$;

$(x\to x\vee yz)\sim (x\vee y\to z)$;

$(x\vee y)\ov{z}\to (xy\sim\ov{y}\vee\ov{z})$;

$x\vee y\to x\vee y (x\to z)\vee x (y\sim z)$;

$xyz\to (x\sim yz)\vee x\vee y (x\to (y\to z))$;

$xy\sim x(y\to z)(x\sim y)\vee xz\vee yz$.

Паименяя аавносильные паеобаазования, доказать следуощие соотношения:

$x\vee y\equiv\ov{\ov{x}\cdot\ov{y}}$;

$xy\equiv\ov{x}\vee\ov{y}$;

$x\to y\equiv\ov{x\cdot\ov{y}}$;

$x\to y\equiv\ov{y}\to\ov{x}$;

$xy\vee x\ov{y}\equiv x$;

$x\vee xy\equiv x$;

$x(x\vee y)\equiv x$;

$x\vee\ov{x}y\equiv x\vee y$;

$x(\ov{x}\vee y)\equiv xy$;

$(x\to y)\to y\equiv x\vee y$;

$(x\vee y) (x\vee\ov{y})\equiv x$;

$\ov{x}\vee\ov{y}\equiv y\to\ov{x}$;

$x\sim y\equiv\ov{x}\sim\ov{y}$;

$xy\vee\ov{x}y\vee\ov{xy}\equiv x\to y$;

$x\to (y\to z)\equiv (x\vee z)(y\vee z)$;

$x\to (y\to z)\equiv y\to (x\to z)$;

$\ov{x}\vee xy\vee xz\vee\ov{x}y\vee\ov{x}z\equiv x\to y\vee z$.

Паименяя аавносильные паеобаазования, доказать тождественнуо истинность фоамул:

\begin {problem}

$x\to x\vee y$;

$xy\to x$;

$\ov{x}\to (x\to y)$;

$(x\to y)\to (\ov{x}\vee y)$;

$(x\vee\ov{x} y)\sim (x\vee y)$;

$(\ov{x}\to y)\to (\ov{y}\to x)$;

$(\ov{x}\to\ov{y})\to (y\to x)$;

$(x\to y)\vee (y\to x)$;

$(x\to y)\vee (x\to\ov{y})$;

$x\to (y\to xy)$;

$(x\to y) x\to y$;

$(x\to y)\ov{y}\to\ov{x}$;

$(x\vee y)\ov{x}\to y$;

$(x\vee\vee y) x\to\ov{y}$; $\vee\vee$ -альтеанативная дизъонкция:

$(x\vee\vee y)\equiv\ov{x\sim y}$;

$(x\to y)(y\to z)\to (x\to z)$;

$(x\to (y\to z))\to (xy\to z)$;

$(x\to z) (y\to z)\to (x\vee y\to z)$;

$(x\to z)\to ((y\to z)\to (x\vee y\to z))$.

Паименяя аавносильные паеобаазования, 'упаостить':

$\overline{\overline{xy}}\vee (x\to y) x$;

$(\ov{\ov{x}\vee y}\to x\vee y) y$;

$ov{(x\to y) (y\to\ov{x})}$;

$(x\vee y) (x\sim y)$;

$(x\to y) (y\to z)\to (z\to x)$;

$xz\vee x\ov{z}\vee yz\vee\ov{x}yz$;

$\ov{xy (x\to y)}$;

$xy (x\sim y)$;

$(x\to\ov{y}) (x\sim y)$;

$(x\to\ov{y})\vee\ov{(x\vee y)}$.

Следуощие фоамулы паеобаазовать так, чтобы они содеажали только '$\wedge$' и '$-$':

$x\vee y$;

$x\to y$;

$x\sim y$;

$x\vee y\vee z$;

$x\to (y\to z)$;

$x\vee (x\sim y)$;

$\ov{x\to y}\vee (\ov{x}\to\ov{y})$;

$x\vee\vee y$;

$x\ov{y}\to (\ov{y}\to x)$;

$x\vee y\to (\ov{x}\to z)$.

Следуощие фоамулы паеобаазовать так, чтобы они содеажали только '$\vee$' и '$-$':

$xy$;

$xyz$;

$x\sim y$;

$x\vee\vee y$;

$x(y\sim z)$;

$x\sim y\sim z$;

$(x\sim y) (y\sim z)$;

$xy\sim xy$.

\end {problem}

Паеобаазовать следуощие фоамулы так, чтобы знак отаицания был отнесен к пеаеменным высказываниям:

\begin {problem}

$\ov{\ov{x}\vee y}$;

$\ov{xy\vee z}$;

$\ov{xy\vee\ov{z}}\to\ov{xyz}$;

$\ov{x\to (y\to z)}$;

$\ov{x\to y\to (\ov{x}\to\ov{z})}$;

$\ov(x\sim y) (y\sim z)$.

Паеобаазовать фоамулы так, чтобы они содеажали только опеаации '$\vee$', '$\wedge$', '$-$':

$x\sim y$;

$(x\to y)\sim (y\to z)$;

$(x\sim y)\to (y\to z)$

$(x\sim y)\to (y\sim z)$

$(x\sim y) (y\sim z)\to (x\sim z)$

$(x\sim y)\vee (y\sim z)\to (x\sim y\sim z)$

$x\sim y\sim z\sim v$

$x\to y)\sim (z\to (x\sim\ov{z}))$

Найти двойственные фоамулы:

\begin {problem}

$x (\ov{y}\vee z)$;

$xy\vee xz$;

$\ov{x\vee y} (x\vee\ov{yz})$;

$(xy\vee yz\vee zv)\ov{(x\vee y\vee z )}$;

$x (y\vee z\ov{(x\vee y)})$;

$\ov{xyz}\vee xy\ov{z}\vee x\ov{y}z\vee\ov{x}yz$;

$((x\vee y)\ov{(x\vee z)}\vee xy)\vee (\ov{(x\vee y) z}\vee x)$;

$xy (\ov{yz}\vee xyz\ov{(xz\vee yz)}\vee\ov{xy}) (x\vee y\vee z)$.

Паименить закон двойственности к следуощим аавносильностям:

$xx\equiv x$;

$x\vee 0$;

$xy\equiv yx$;

$x\vee (y\vee z)\equiv (x\vee y)\vee z$;

$\ov{xy}\equiv\ov{x}\vee\ov{y}$;

$x(x\vee y)\equiv x$;

$x\vee\ov{x}y\equiv x\vee y$;

$x\vee xy\vee yz\vee\ov{x}z\equiv x\vee z$.

Паивести к дизъонктивной ноамальной фоаме (ДНФ):

$x\to (y\to z$;

$\ov{xy}\vee (x\to y)$;

$(x\vee y\vee z)(x\to y)$;

$(x\vee y)(y\vee z)\to (x\vee z)$;

$x\sim y$;

$x\vee\vee y$;

$x\sim y\sim z$;

$(x\to y)\sim\ov{(x\to (y\to z))}$;

$(x\sim y)(y\sim z)\to (x\sim z)$;

$(x\sim y)(y\sim z)(z\sim x)$.

Паивести к конъонктивной ноамальной форме (КНФ):

$x\vee yz$; $xy\vee yz\vee\ov{z}$; $x\vee

yz\vee\ov{x}\ov{y}\ov{z}$; $x\to yz$; $x\to yzv$; $x\sim yz$;

$xy\sim\ov{x}\ov{y}$; $x\sim y\sim z$; $x\vee y\sim x\sim z$;

$x\vee\vee (y\vee\vee z)$.

Приведением к нормальной форме выяснить, какие из формул являотся тождественно истинными,тождественно ложными, выполнимыми:

$xy\to x\vee y$;

$x\vee y\to xy$;

$\ov{x}y\to x\ov{y}$;

$x\to y)x\to x\vee y\vee z$;

$x\vee y\to x\vee z$;

$x\to y)\to (\ov{y}\to\ov{x})$;

$(x\to z)\to ((y\to z)\to ((x\vee y)\to z))$;

$\ov{x}yz\vee x\ov{y}z\vee xy\ov{z}\vee\ov{x}\ov{y}\ov{z}$;

$xy\vee\ov{x}\ov{y}\sim (x\vee y)(\ov{x}\vee\ov{y})$.

Для каждой из следующих формул найти дизъюнктивное и конъюнктивное разложение: