ТОЭ, ТЭМП, Шмелёв, Сбитнев, 2003 г. / ГЛАВА2

r2/r1=k = const. Здесь k – параметр семейства эквипотенциальных линий в плоскости рисунка.

Выразим r2 и r1 в декартовых координатах и выведем уравнение эквипотенциали в канонической форме относительно координат х и у

r2 = ((x + a) 2 + y 2)0,5; r1 = ((x – a) 2 + y 2)0,5 (x + a)2 + y2 = k 2 (x – a)2 + k 2y 2

(x + a)2 – k 2 (x – a)2 + y2(1 – k 2)= 0

где s = a(k 2+1)/(k 2– 1) – координата центра окружности. R = a|2k/(1 – k 2)| – радиус окружности.

Мы получили выражения для координаты центра и для радиуса эквипотенциальной линии по задаваемому параметру k, где k = exp(2πεε0φ/τ).

В соответствии с уравнением (1) линии равного потенциала представляют собой окружности, а поверхности равного потенциала – круговые цилиндры, геометрические оси которых смещены относительно электрических осей. Одна из этих поверхностей вырождается в плоскость с нулевым значением потенциала (при k = 1; s→ ±∞; r→∞).

Линии напряженности представляют собой дуги окружности, начинающиеся на оси с положительным зарядом и кончающиеся на оси с отрицательным зарядом.

Если семейство равнопотенциальных поверхностей рассечь параллельными плоскостями, перпендикулярными заряженным осям, то в каждой плоскости получится одна и та же картина линий. Поля, обладающие

37

таким свойством, называются плоскопараллельными (иначе их называют двумерными полями).

Установив картину поля и использовав следствие теоремы о единственности, можно считать решенными столько новых задач, сколько имеется различных по взаимному расположению пар равнопотенциальных поверхностей, которые можно рассматривать как поверхности проводников.

Рассмотрим важнейшие частные случаи таких задач.

Поле и емкость параллельных цилиндров с несовпадающими осями

Случай 1. «Коаксиальный» кабель со смещенной жилой.

Дано: R1 – радиус жилы; R2 – радиус оболочки; d – смещение осей жилы и оболочки; U =φ1 – φ2 – напряжение между жилой и оболочкой (рис.4). Определить: емкость кабеля на единицу длины и потенциалы проводников относительно средней плоскости между электрическими осями + τ и – τ.

k1/k2 = exp(2πεε0U/τ) U = τ/(2πε0ε)ln(k1/k2)

из пояснений к уравнению (1) следует, что

{ s – a = 2a/(k 2 – 1); s + a = 2ak2/( k2 – 1) }

(s – a)(s + a) = R2

38

Значит C0 = τ/U = 2πε0ε/ln((s2 – a)(s1 + a)/(R1 R2))

φ1 = τ/(2πε0ε)ln(k1) = τ/(2πε0ε)ln((s1 + a)/R1); φ2 = τ/(2πε0ε)ln(k2) = τ/(2πε0ε)ln(R2/(s2 – a));

s2, s1, a вычисляются из решения системы уравнений

{ (s1 – a)(s1 + a) =R12, (s2 – a)(s2 + a) =R22, s2 – s1 = d }; т. е.

s1 = (R22 – R22 – d2)/(2d); s2=(R22 – R12 + d2)/(2d);

a= (s1 2 – R1 2)0,5 = (s2 2 – R2 2)0,5;

Алгоритм вычислений: сначала рассчитываются s2, s1, a, затем C0, потом φ1, φ2.

Если нужно определить параметры эквипотенциали φi, то вычисляются величины ki, si, Ri, по формулам, дополняющим уравнение (1).

Случай 2. Двухпроводная линия с проводами разного радиуса.

d

Рис. 5.

Дано: R1 – радиус положительно заряженного провода; R2 – радиус отрицательно заряженного провода; U =φ1 – φ2 – напряжение между проводами; d – смещение осей цилиндрических проводов (рис. 5).

Определить: емкость линии на единицу длины и потенциалы проводников относительно средней плоскости между электрическими осями + τ и

– τ. Так же как и в предыдущем случае

k1/k2 = exp(2πεε0U/τ)

39

U = τ/(2πε0ε)ln(k1/k2)

Для s1, а, R1, k1 справедливо соотношение (2), поскольку k> 1. Если k<1, то вместо (2) имеем

(s + a)/R = R/(s – a) = – k,

В это соотношение подставим s = – s2, R = R2, k = k2, (s2 – a)/ R2 = R2/(s2 + a) = k2,

Значит,

C0 = τ/U = 2πε0ε/ln((s2 + a)(s1 + a)/(R1 R2)) φ1 = τ/(2πε0ε)ln(k1) = τ/(2πε0ε)ln((s1 + a)/R1); φ2 = τ/(2πε0ε)ln(k2) = τ/(2πε0ε)ln(R2/(s2 + a));

s2, s1, a вычисляются из решения системы уравнений

{ (s1 – a)(s1 + a) =R1 2, (s2 – a)(s2 + a) =R2 2, s2 + s1 = d }; т. е.

s1 = (R12 – R22 + d2)/(2d); s2=(R22 – R12 + d2)/(2d) = d – s1;

a= (s12 – R12)0,5 = (s22 – R22)0,5;

Алгоритм вычислений тот же, что и в предыдущем случае.

В рассмотренных двух случаях результирующую напряженность электрического поля можно определить по формуле

E(Q) = – grad φ(Q) = τ/(2πε0ε)(r1/r12 – r2/r22)

Значения емкости на единицу длины C0, полученные при решении этих задач, могут быть использованы при анализе работы линии при переменных токах и напряжениях.

Известно, что при наличии переменного магнитного поля электрическое напряжение между двумя точками зависит от формы пути, соединяющего эти точки. Однако в длинных линиях переменного тока линии магнитной индукции практически лежат в плоскостях поперечного сечения; контур, лежащий в этой плоскости, не пронизывается переменным магнитным потоком, поэтому циркуляция вектора E вдоль такого контура

40

равна нулю, т.е. электрическое поле имеет потенциальный характер. Это и дает возможность говорить об однозначном мгновенном значении напряжения между точками двух проводников, лежащими в одной и той же плоскости поперечного сечения, и постоянстве отношения мгновенных значений C0 = τ/U, справедливом для любого поперечного сечения.

Поле и емкость системы цилиндр – плоскость

Рис. 6.

Пусть заданы радиус R цилиндра, высота h над плоскостью (например, над поверхностью земли) и приложенное напряжение U (рис. 6). Положение электрических осей можно определить из уравнений

{ (s – a)(s + a) = R2, s = h }; a= (s2 – R2)0,5;

φ1 = τ/(2πε0ε)ln((s + a)/R);

Потенциал плоскости φ2 = 0, поэтому U = φ1. Линейная плотность заряда

τ = 2Uπε0εln((s + a)/R);

Емкость на единицу длины

C0 = τ/U = 2πε0ε/ln((s + a)/R)

Если h>>R, т.е. тонкий провод подвешен высоко над поверхностью земли, то (s+ a) ≈ 2h;

C0 = τ/U = 2πε0ε/ln(2h/R)

41

Поле и емкость двухпроводной линии

Рис. 7.

Дано: R – радиус цилиндров (провод); d – расстояние между геометрическими осями цилиндров; U =φ1 – φ2 – напряжение между проводами (рис. 7). Определить: потенциалы проводов, линейную плотность заряда, емкость на единицу длины.

a= (s 2 – R 2)0,5, d = 2s

C0 = τ/U = 2πε0ε/ln((s + a)2/R2) = πε0ε/ln((s + a)/R); τ = C0U φ1 = τ/(2πε0ε)ln((s + a)/R);

φ2 = τ/(2πε0ε)ln(R/(s + a)) = – φ1

Значит, φ1 = U/2

Если d>>R, то a ≈ s (смещением электрических осей относительно геометрических можно пренебречь) и емкость линии на единицу длины можно определить по формуле

C0 = πε0ε/ln(d/R);

42

Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния Земли

h1 h2

φ= 0 Земля Рис. 8.

Дано: над плоской поверхностью Земли подвешены горизонтально два цилиндрических провода с параллельными осями (рис. 8).

h1 – высота подвеса 1-го провода; h2 – высота подвеса 2-го провода; R – радиусы проводов; d – расстояние между нормальными проекциями осей проводов на поверхности Земли.

По условию задачи требуется: вывести уравнения, связывающие между собой линейные плотности зарядов на проводах τ1, τ2 и потенциалы проводов. Определить параметры этих уравнений: потенциальные и емкостные коэффициенты, частичные емкости и рабочую емкость линии, если d, h1 и h2>>R.

Для решения поставленной задачи можно воспользоваться методом изображений. Распределение поля над поверхностью Земли не изменится, если Землю убрать, а под поверхностью Земли расположить на глубинах h1 и h2 провода с линейной плотностью заряда – τ1 и –τ2.

После такого преобразования можно считать, что в системе действует электростатическое поле двух пар параллельных разноименно заряженных осей (рис. 9).

43

α12, α21 – это взаимные потенциальные коэффициенты.

α11 = 1/(2πε0ε)ln(2h1/R); α22 = 1/(2πε0ε)ln(2h2/R);

Коэффициенты βij называются емкостными коэффициентами на единицу длины линии и измеряются в Ф/м. Собственные потенциальные и емкостные коэффициенты всегда положительны.

Взаимные потенциальные коэффициенты положительны, а взаимные емкостные коэффициенты всегда отрицательны.

Систему уравнений (2) можно записать иначе

Коэффициенты Сij называют частичными емкостями на единицу дли-

ны.

Если провода линии не связаны с Землей и питаются от незаземленного источника ЭДС, то суммарный заряд линии равен нулю, т.е. τ2 = –τ1.

{ φ1 = (α11 – α12) τ1, φ2 = (α21 – α22) τ1 }

Вычтем второе уравнение из первого и получим

U =φ1 – φ2 = (α11 + α22 – α21 – α12) τ1

Отношение линейной плотности заряда провода к напряжению называют в данном случае рабочей емкостью линии на единицу длины

45

Рис. 10.

Анализируя эту схему, можно получить другое выражение для рабочей емкости линии

Можно доказать, что выражения (3) и (4) тождественны.

Распределение зарядов и потенциалов в системе заряженных проводников

Пусть имеется система из n заряженных проводников: qi (i = 1,…, n ) – заряды проводников, φi (i = 1,…, n ) – потенциалы проводников.

Потенциалы проводников можно представить в виде линейной комбинации их зарядов.

n

φi = ∑ αij qj;

j=1

46