ТОЭ, ТЭМП, Шмелёв, Сбитнев, 2003 г. / ГЛАВА2

Граничные условия для векторов электростатического поля

На поверхности раздела сред, где εa или Pr изменяются скачками, справедливы следующие соотношения

E1t = E2t; D2n – D1n = σ

На поверхности проводящего тела

Et = 0; Dn = σ

Тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля непрерывна на любой поверхности раздела сред.

Скачок нормальной составляющей вектора электрического смещения равен поверхностной плотности электрических зарядов.

Скалярный электрический потенциал. Краевая задача анализа электростатического поля

Поле вектора E является безвихревым, поэтому его можно предста-

Уравнение (4) является уравнением электростатики относительно скалярного электрического потенциала. Это уравнение является основой для постановки краевой задачи анализа электростатического поля.

Для обеспечения единственности решения уравнения (4) необходимо дополнить его граничными условиями для искомого потенциала или для нормальной составляющей вектора электрического смещения на поверхности, ограничивающей расчетную область, т.е.

28

φ = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г1, Dn = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г2, Г = Г1 + Г2 – замкнутая граничная поверхность.

Первое граничное условие называется граничным условием первого рода (иногда его называют граничным условием Дирихле). Второе граничное условие называется граничным условием второго рода (иногда его называют граничным условием Неймана).

Если задавать только граничные условия Неймана, то единственность решения будет обеспечена только с точностью до постоянной (однородной) составляющей скалярного поля φ.

В случае однородного распределения диэлектрической проницаемости среды и вектора остаточной поляризованности среды уравнение (4)

(5) называется уравнением Пуассона, (6) называется уравнением Лапласа. Для уравнений (5) и (6) граничное условие Неймана может задаваться в виде распределения нормальной производной скалярного электрического потенциала на части граничной поверхности Г2.

Энергия системы заряженных проводников

Энергия электростатического поля системы заряженных проводников равна

Wэл = 0,5 ∫ EDdV = – 0,5 ∫ D grad φdV = – 0,5 ∫ div (φD)dV +

V∞ V∞ V∞

29

∫ φDdS = 0, т.к. с ростом радиуса замкнутой поверхности произведение

S∞

убывает быстрее, чем растет площадь поверхности (в наихудшем случае произведение φD является бесконечно малой величиной третьего порядка, а площадь поверхности интегрирования – бесконечно большой величиной второго порядка).

φi – потенциал i-го – проводника, qi – заряд i-го – проводника.

Формула (7) справедлива, если φ( ∞) = 0. В противном случае форму-

n

ла (7) справедлива, если ∑ qi = 0 (сумма зарядов всех тел системы равна i =1

нулю).

Понятие о методе изображений

При анализе электростатических полей обычно требуется определить распределение векторов E, D а также распределение скалярного электрического потенциала, если известны форма и расположение проводников и диэлектриков и неоднородные граничные условия:

а) потенциалы проводников; б) суммарный заряд каждого проводника, потенциал которого неизвестен.

Решение, удовлетворяющее уравнению (4) и вышеназванным граничным условиям, является единственным.

Из этой теоремы, которую называют теоремой единственности, вытекают два важных следствия.

30

Следствие 1. Электрическое поле (и соответствующее ему решение) в некотором объеме, ограниченном равнопотенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, т.е. превратятся в границы проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы.

Следствие 2. Электростатическое поле по одну сторону от поверхности S (не обязательно равнопотенциальной) не изменяется, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S.

Вновь распределенные заряды называются изображениями преобразованных зарядов, а основанный на таком преобразовании метод расчета – методом изображений.

Оба следствия из теоремы о единственности позволяют значительно расширить область применения интегральных форм уравнений электростатики для расчета полей.

Фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа

Фундаментальным решением этих уравнений является частное решение, соответствующее распределению скалярного электрического потенциала в бесконечной линейной однородной среде вокруг точечного электрического заряда при открытых граничных условиях φ( ∞) = 0:

φ = q/(4πε0εR),

где R – расстояние между точечным зарядом и точкой наблюдения. Если в расчетной области известно распределение объемных и поверхностных зарядов, а также вектора диэлектрической поляризованности вещества, то распределение скалярного электрического потенциала может быть определено по формуле

31

Как правило, при анализе сложных электростатических полей распределение зарядов и поляризованности вещества неизвестно, поэтому прямое применение формулы (8) невозможно. В этом случае формула (8) используется в качестве основы для построения интегральных методов анализа электростатических полей.

Контрольные вопросы

1.Что такое электростатическое поле?

2.Какой вид имеют уравнения электростатики в интегральной и дифференциальной форме?

3.Какими выражениями описываются граничные условия для векторов электростатического поля на поверхностях раздела сред?

4.Какой вид имеет уравнение электростатики относительно скалярного электрического потенциала?

5.Как формулируется краевая задача анализа электростатического

поля?

6.Чему равна энергия системы заряженных проводников?

7.Как формулируются следствия из теоремы о единственности решения краевой задачи электростатики относительно скалярного электрического потенциала?

8.Что является фундаментальным решением уравнений Пуассона и Лапласа для электростатического поля?

9.На каком соотношении основываются интегральные методы анализа электростатических полей?

32

§ 2.2. Электростатические поля простых геометрических форм

Поле электрического диполя

Рис. 1.

φ(Q) = φ+ + φ- = q/(4πε0εR1) – q/(4πε0εR2) = q/(4πε0ε)·(R2 – R1)/(R1 R2)

Если источником электростатического поля является точечный диполь с электрическим дипольным моментом (рис. 1)

Pэ = qh, то h<<R1, h<<R2,

R2 →R1 → R, R2 – R1 = h

R2 – R1 = hR/R

В результате получим

φ(Q) = 1/(4πε0ε)·(qhR)/(R3) = Pэ R/(4πε0εR3) (9)

Зная распределение скалярного электрического потенциала, можно определить распределение вектора напряженности электрического поля

E(Q) = – grad φ(Q)

В выражении (9) от положения точки Q зависят R и R, поэтому для определения градиента выражения (9) можно применить правила дифференцирования из векторного анализа

grad (φ1φ2) = φ1 grad φ2 + φ2 grad φ1

33

grad (φn) = nφn – 1gradφ

grad (FG) = (F )G +(G )F +F × rot G + G × rot F (R ) Pэ = 0; rot Pэ = 0; rot R = 0;

grad (PэR) = (Pэ )R = Pэ

Окончательно получим

E(Q) = 1/(4πε0ε)·(3(PэR)R /R5 + Pэ/R3)

или в сферической системе координат

ER(Q) = 2Pэcos( θ)/(4πε0εR3)

Eθ(Q) = Pэsin( θ)/(4πε0εR3)

Можно доказать, что уравнение линий напряженности электрического

где А – параметр семейства линий; уравнение эквипотенциальных линий

где В – параметр семейства линий потенциала.

Чтобы провести через некоторую точку линию напряженности или равнопотенциальную кривую следует подставить в (10) или (11) координаты этой точки и вычислить значение параметра А или В, соответствующее искомой кривой. Затем, задаваясь различными значениями θ, находят значение R искомых точек линии.

Если построить несколько произвольных равнопотенциальных поверхностей и рассечь их различными меридианными плоскостями, то в каждой такой плоскости получится одна и та же картина линий равного потенциала. Такое поле называют плоскомеридианным. В современной литературе такие поля называют «осесимметричными».

34

Поле бесконечно длинной заряженной оси

Пусть имеется бесконечно длинная заряженная ось, имеющая заряд на единицу длины τ (рис. 2).

S dS

r τ z

l

Рис. 2.

Охватим эту ось цилиндрической поверхностью, ось которой совпадает с заряженной осью. На этой поверхности вектор электрического смещения имеет только нормальную составляющую Dn, причем Dn = const. В соответствии с теоремой Гаусса в интегральной форме

∫ DdS = ∫ DndS = DnS = Dn2πrl = τl,

S S

откуда D = Dn = Dr= τ/(2πr)

E= Er= τ/(2πε0εr)

E = – grad φ

E = – ∂∂ϕr

φ= – ∫ Edr

φ= – ∫ τdr/(2πε0εr) = – τ/(2πε0ε) ln(r) + A

Во многих практических случаях электрическое поле можно представить в виде линейной комбинации полей нескольких заряженных осей или нескольких пар разноименно заряженных осей. Поэтому целесообразно рассмотреть поле одной такой пары.

35

Контрольные вопросы

1.Какими соотношениями описывается поле электрического диполя?

2.Какие поля называются плоскомеридианными (осесимметричны-

ми)?

3. Какими соотношениями описывается поле бесконечно длинной заряженной оси?

§ 2.3. Электростатические поля простых двухпроводных линий

Поле двух разноименно заряженных осей

Пусть в однородном диэлектрике находятся две параллельные бесконечно длинные оси, равномерно и разноименно заряженные с линейной плотностью заряда +τ и – τ (рис. 3). Изобразим на рисунке следы этих осей в плоскости поперечного сечения

y

Рис. 3.

φ(Q) = φ+ + φ- = – τ/(2πε0ε)ln(r1) + τ/(2πε0ε)ln(r2) + A = τ/(2πε0ε)ln(r2/r1) + A

Если принять φ(x= 0) = 0, т.е. на оси симметрии. то А =0. Теперь определим уравнение эквипотенциальных поверхностей. На этих поверхностях

36