2.14. Упражнения по аналитическим расчётам параметров электростатических полей в бесконечно длинных коаксиальных системах проводников
Задача 1.
Имеется система n цилиндрических (трубчатых) бесконечно длинных проводников, расположенных в пространстве коаксиально, как показано на рис. 2.14.1.
Рис.
2.14.1. Система n
коаксиальных цилиндрических проводников
Даны внутренние и наружные радиусы проводников и записаны они в массивы-строки с именами rin и rex. Даны также линейные плотности зарядов всех проводников и записаны они в массив-строку с именем tau. В COMSOL Script определить и построить графически распределение электрического смещения, напряжённости электрического поля и скалярного электрического потенциала внутри и вне системы проводников, если она находится в вакууме и если потенциал внешнего проводника равен нулю.
Решение.
Сначала составим m-функцию, рассчитывающую значения электрического смещения, напряжённости электрического поля и потенциала в точках с заданными радиальными координатами. Пусть радиальные координаты точек наблюдения хранятся в массиве-столбце с именем r. Значения интересующих величин поля на выходе будут записываться в массивы-столбцы с именами D, E, fi. Все расчётные соотношения m-функции основаны на формулах, записанных в п. 2.13. Ниже приведён текст m-функции.
% es_koax - расчёт эл-стат поля коаксиальной системы проводников
% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% rin - массив-строка внутренних радиусов проводников, м;
% rex - массив-строка наружных радиусов проводников, м;
% tau - массив-строка линейной плотности заряда проводников, Кл/м;
% r - массив-столбец радиальных координат точек наблюдения, м.
% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% D - массив-столбец значений электрического смещения в точках с
% радиальными координатами r, Кл/м^2;
% E - массив-столбец значений напряжённости электрического поля в тех же
% точках, В/м
% fi - массив-столбец значений потенциала в тех же точках, В
%
function [D,E,fi]=es_koax(rin,rex,tau,r)
D=zeros(size(r));
E=zeros(size(r));
fi=zeros(size(r));
% проверка входных параметров на ошибки
if size(rin)~=size(rex)|size(rex)~=size(tau)
return
end
if any(rin<0)|any(rex<=0)|any(rin>=rex)
return
end
e0=8.85419E-12; % Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, Ф/м
tauc=cumsum(tau);
rr=repmat(r,size(rin));
rinr=repmat([0 rin(2:end)],size(r));
rexr=repmat(rex,size(r));
taucr=repmat(tauc,size(r));
iscon=rr>=rinr&rr<rexr; % Принадлежность точки наблюдения проводнику
isdi=rr>=rexr&rr<[rinr(:,2:end) repmat(inf,size(r))];
% isdi - принадлежность точки наблюдения диэлектрику
D=sum(taucr.*isdi./rr,2)/pi/2; % распределение электрического смещения
E=D/e0;
u=zeros(size(tauc)); % напряжения между соседними проводниками, В
u(1:end-1)=tauc(1:end-1)/pi/2/e0.*log(rin(2:end)./rex(1:end-1));
fic=fliplr(cumsum(fliplr(u))); % потенциалы проводников, В
ficr=repmat(fic,size(r));
fi=sum((ficr+taucr.*log(rexr./rr)/pi/2/e0).*isdi,2);
fi=fi+sum(ficr.*iscon,2);
Для примера рассчитаем распределение поля в системе из трёх коаксиальных цилиндрических проводников. В командном окне COMSOL Script выполним следующую последовательность команд.
C» r=(1E-4:1E-4:0.1).';
C» [D,E,fi]=es_koax([0.5 2 4]*1E-2,[1 3 5]*1E-2,1E-10*[-1 3 -3],r);
C» figure
C» plot(r,D)
C» grid on
C» figure
C» plot(r,E)
C» grid on
C» figure
C» plot(r,fi)
C» grid on
В результате выполнения последовательности команд будет создано три фигуры с графиками распределения электрического смещения, напряжённости электрического поля и скалярного электрического потенциала (рис. 2.14.2, 2.14.3, 2.14.4).
Рис.
2.14.2. Распределение электрического
смещения
Рис.
2.14.2. Распределение напряжённости
электрического поля
Рис.
2.14.3. Распределение скалярного
электрического потенциала
Задача 2.
Имеется система n цилиндрических (трубчатых) бесконечно длинных проводников, расположенных в пространстве коаксиально, как показано на рис. 2.14.1.
Даны внутренние и наружные радиусы проводников и записаны они в массивы-строки с именами rin и rex. Даны также линейные плотности зарядов всех проводников и записаны они в массив-строку с именем tau. После того, как проводники получили свои заряды, проводник с номером k электрически соединили с проводником с номером k+1. В COMSOL Script определить и построить графически распределение электрического смещения, напряжённости электрического поля и скалярного электрического потенциала внутри и вне системы проводников, если она находится в вакууме и если потенциал внешнего проводника равен нулю.
Решение.
В результате электрического соединения потенциалы проводников с номерами k и k+1 выравниваются. Это означает, что векторы электрического поля в диэлектрике между указанными проводниками равны нулю. Это возможно, если при электрическом соединении заряд проводника с номером k будет компенсировать все заряды проводников, находящихся внутри него. Насколько уменьшится заряд k-го проводника, настолько же увеличится заряд k+1 -го проводника. В соответствии со сказанным, можно модифицировать текст функции es_koax (см. ниже).
% es_koax1 - расчёт эл-стат поля коаксиальной системы проводников
% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% rin - массив-строка внутренних радиусов проводников, м;
% rex - массив-строка наружных радиусов проводников, м;
% tau - массив-строка линейной плотности заряда проводников, Кл/м;
% k - номер проводника, электрически соединяемого со следующим проводником;
% r - массив-столбец радиальных координат точек наблюдения, м.
% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% D - массив-столбец значений электрического смещения в точках с
% радиальными координатами r, Кл/м^2;
% E - массив-столбец значений напряжённости электрического поля в тех же
% точках, В/м
% fi - массив-столбец значений потенциала в тех же точках, В
%
function [D,E,fi]=es_koax1(rin,rex,tau,k,r)
D=zeros(size(r));
E=zeros(size(r));
fi=zeros(size(r));
% проверка входных параметров на ошибки
if size(rin)~=size(rex)|size(rex)~=size(tau)
return
end
if any(rin<0)|any(rex<=0)|any(rin>=rex)
return
end
e0=8.85419E-12; % Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, Ф/м
tauc=cumsum(tau);
tauc(k+1)=tauc(k+1)+tauc(k);
tauc(k)=0;
rr=repmat(r,size(rin));
rinr=repmat([0 rin(2:end)],size(r));
rexr=repmat(rex,size(r));
taucr=repmat(tauc,size(r));
iscon=rr>=rinr&rr<rexr; % Принадлежность точки наблюдения проводнику
isdi=rr>=rexr&rr<[rinr(:,2:end) repmat(inf,size(r))];
% isdi - принадлежность точки наблюдения диэлектрику
D=sum(taucr.*isdi./rr,2)/pi/2; % распределение электрического смещения
E=D/e0;
u=zeros(size(tauc)); % напряжения между соседними проводниками, В
u(1:end-1)=tauc(1:end-1)/pi/2/e0.*log(rin(2:end)./rex(1:end-1));
fic=fliplr(cumsum(fliplr(u))); % потенциалы проводников, В
ficr=repmat(fic,size(r));
fi=sum((ficr+taucr.*log(rexr./rr)/pi/2/e0).*isdi,2);
fi=fi+sum(ficr.*iscon,2);
Можно также ставить задачи расчёта поля при различных значениях диэлектрической проницаемости в различных слоях изоляции. Можно также задавать дополнительные условия электрических соединений несоседних проводников. В этих случаях условия перетекания зарядов имеют более сложный вид.